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文檔簡介
3.1.2教學(xué)分析求方程的解是常見的數(shù)學(xué)問題,這之前我們學(xué)過解一元一次、一元二次方程,但有些方程求精確解較難.本節(jié)從另一個角度來求方程的近似解,這是一種嶄新的思維方式,在現(xiàn)實生活中也有著廣泛的應(yīng)用.用二分法求方程近似解的特點是:運算量大,且重復(fù)相同的步驟,因此適合用計算器或計算機進(jìn)行運算.在教學(xué)過程中要讓同學(xué)體會到人類在方程求解中的不斷進(jìn)步.三維目標(biāo)1.讓同學(xué)學(xué)會用二分法求方程的近似解,知道二分法是科學(xué)的數(shù)學(xué)方法.2.了解用二分法求方程的近似解特點,學(xué)會用計算器或計算機求方程的近似解,初步了解算法思想.3.回憶解方程的歷史,了解人類解方程的進(jìn)步歷程,激發(fā)學(xué)習(xí)的熱忱和學(xué)習(xí)的愛好.重點難點用二分法求方程的近似解.課時支配1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情景導(dǎo)入)師:(手拿一款手機)假如讓你來猜這件商品的價格,你如何猜?生1:先初步估算一個價格,假如高了再每隔10元降低報價.生2:這樣太慢了,先初步估算一個價格,假如高了每隔100元降低報價.假如低了,每50元上升;假如再高了,每隔20元降低報價;假如低了,每隔10元上升報價……生3:先初步估算一個價格,假如高了,再報一個價格;假如低了,就報兩個價格和的一半;假如高了,再把報的低價與一半價相加再求其半,報出價格;假如低了,就把剛剛報出的價格與前面的價格結(jié)合起來取其和的半價……師:在現(xiàn)實生活中我們也經(jīng)常利用這種方法.譬如,一天,我們?nèi)A莊校區(qū)與錫南校區(qū)的線路出了故障,(相距大約3500米)電工是怎樣檢測的呢?是依據(jù)生1那樣每隔10米或者依據(jù)生2那樣每隔100米來檢測,還是依據(jù)生3那樣來檢測呢?生:(齊答)依據(jù)生3那樣來檢測.師:生3的回答,我們可以用一個動態(tài)過程來呈現(xiàn)一下(呈現(xiàn)多媒體課件,區(qū)間靠近法).思路2.(事例導(dǎo)入)有12個小球,質(zhì)量均勻,只有一個球是比別的球重,你用天平稱幾次可以找出這個球,要求次數(shù)越少越好.(讓同學(xué)們自由發(fā)言,找出最好的方法)解:第一次,兩端各放六個球,低的那一端確定有重球.其次次,兩端各放三個球,低的那一端確定有重球.第三次,兩端各放一個球,假如平衡,剩下的就是重球,否則,低的就是重球.其實這就是一種二分法的思想,那什么叫二分法呢?推動新課新知探究提出問題①解方程2x-16=0.②解方程x2-x-2=0.③解方程x3-2x2-x+2=0.④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.⑤我們知道,函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點.進(jìn)一步的問題是,如何找出這個零點的近似值?⑥“取中點”后,怎樣推斷所在零點的區(qū)間?⑦什么叫二分法?⑧試求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)零點的近似值.⑨總結(jié)用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟.⑩思考用二分法求函數(shù)零點近似值的特點.爭辯結(jié)果:①x=8.②x=-1,x=2.③x=-1,x=1,x=2.④x=,x=,x=1,x=2.⑤假如能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小,那么在確定精確度的要求下,我們可以得到零點的近似值.為了便利,我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍.〔“取中點”,一般地,我們把x=稱為區(qū)間(a,b)的中點〕⑥比如取區(qū)間(2,3)的中點2.5,用計算器算得f(2.5)<0,由于f(2.5)·f(3)<0,所以零點在區(qū)間(2.5,3)內(nèi).⑦對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步靠近零點,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫二分法(bisection).⑧由于函數(shù)f(x)=lnx+2x-6,用計算器或計算機作出函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的對應(yīng)值表.x123456789f(x)-4-1.3061.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表可知,f(2)<0,f(3)>0,則f(2)·f(3)<0,這說明f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點x0,取區(qū)間(2,3)的中點x1=2.5,用計算器算得f(2.5)≈-0.084,由于f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).同理,可得表(下表)與圖象(如圖3-1-2-1).區(qū)間中點的值中點函數(shù)的近似值(2,3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53-1-2-5-0.009(2.53-1-2-5,2.5625)2.5468750.029(2.53-1-2-5,2.546875)2.53906250.010(2.53-1-2-5,2.5390625)2.535156250.001圖3-1-2-1由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零點所在的范圍的確越來越小了.假如重復(fù)上述步驟,那么零點所在的范圍會越來越小(見上表).這樣,在確定的精確度下,我們可以在有限次重復(fù)相同步驟后,將所得的零點所在區(qū)間內(nèi)的任意一點作為函數(shù)零點的近似值.特殊地,可以將區(qū)間端點作為函數(shù)零點的近似值.例如,當(dāng)精確度為0.01時,由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01,所以,我們可以將x=2.53-1-2-5作為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6零點的近似值.⑨給定精度ε,用二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟如下:1°確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)·f(b)<0,給定精度ε.2°求區(qū)間(a,b)的中點c.3°計算f(c):a.若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點;b.若f(a)·f(c)<0,則令b=c〔此時零點x0∈(a,c)〕;c.若f(c)·f(b)<0,則令a=c〔此時零點x0∈(c,b)〕.4°推斷是否達(dá)到精度ε;即若|a-b|<ε,則得到零點值a(或b);否則重復(fù)步驟2°~4°.⑩由函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的關(guān)系,我們可用二分法來求方程的近似解.由于計算量較大,而且是重復(fù)相同的步驟,因此,我們可以通過設(shè)計確定的計算程序,借助計算器或計算機完成計算.應(yīng)用示例思路1例1借助計算器或計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確度為0.1).活動:①師生共同探討溝通,引出借助函數(shù)f(x)=2x+3x-7的圖象,能夠縮小根所在區(qū)間,并依據(jù)f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在區(qū)間(1,2);②引發(fā)同學(xué)思考,如何進(jìn)一步有效縮小根所在的區(qū)間;③共同探討各種方法,引導(dǎo)同學(xué)探尋出通過不斷對分區(qū)間,有助于問題的解決;④用圖例演示根所在區(qū)間不斷被縮小的過程,加深同學(xué)對上述方法的理解;⑤引發(fā)同學(xué)思考在有效縮小根所在區(qū)間時,到什么時候才能達(dá)到所要求的精確度.同學(xué)簡述上述求方程近似解的過程.解:原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用計算器或計算機做出函數(shù)f(x)=2x+3x-7的對應(yīng)值表與圖象(3-1-2-2).x012345678f(x)-6-2310214075142273圖3-1-2-2觀看圖表可知f(1)·f(2)<0,說明這個函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點x0.取區(qū)間(1,2)的中點x=1.5,用計算器算得f(1.5)≈0.33.由于f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).再取區(qū)間(1,1.5)的中點x=1.25,用計算器算得f(1.25)≈-0.87.由于f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).同理,可得,x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,所以,原方程的近似解可取為1.4375.例2利用計算器,求方程x2-2x-1=0的一個近似解(精確度0.1).活動:老師掛念同學(xué)分析:畫出函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象,如圖3-1-2-3所示.從圖象上可以發(fā)覺,方程x2-2x-1=0的一個根x1在區(qū)間(2,3)內(nèi),另一個根x2在區(qū)間(-1,0)內(nèi).依據(jù)圖象,我們發(fā)覺f(2)=-1<0,f(3)=2>0,這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2,3)上穿過x軸一次,即方程f(x)=0在區(qū)間(2,3)上有唯一解.圖3-1-2-3計算得f()=>0,發(fā)覺x1∈(2,2.5)(如圖3-1-2-3),這樣可以進(jìn)一步縮小x1所在的區(qū)間.解:設(shè)f(x)=x2-2x-1,先畫出函數(shù)圖象的簡圖,如圖3-1-2-3.由于f(2)=-1<0,f(3)=2>0,所以在區(qū)間(2,3)內(nèi),方程x2-2x-1=0有一解,記為x1.取2與3的平均數(shù)2.5,由于f(2.5)=0.25>0,所以2<x1<2.5.再取2與2.5的平均數(shù)2.25,由于f(2.25)=-0.4375<0,所以2.25<x1<2.5.如此連續(xù)下去,得f(2)<0,f(3)>0x1∈(2,3),f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2,2.5),f(2.25)<0,f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5),f(2.375)<0,f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5),f(2.375)<0,f(2.4375)>0x1∈(2.375,2.4375).由于2.375與2.4375精確到0.1的近似值都為2.4,所以此方程的近似解為x1≈2.4.點評:利用同樣的方法,還可以求出方程的另一個近似解.思路2例1利用計算器,求方程lgx=3-x的近似解(精確度0.1).活動:同學(xué)先思考或爭辯后再回答,老師點撥、提示并準(zhǔn)時評價同學(xué).分別畫出y=lgx和y=3-x的圖象,如圖3124所示.在兩個函數(shù)圖象的交點處,函數(shù)值相等.因此,這個點的橫坐標(biāo)就是方程lgx=3-x的解.由函數(shù)y=lgx與y=3-x的圖象可以發(fā)覺,方程lgx=3-x有唯一解,記為x1,并且這個解在區(qū)間(2,3)內(nèi).圖3-1-2-4解:設(shè)f(x)=lgx+x-3,設(shè)x1為函數(shù)的零點即方程lgx=3-x的解.用計算器計算,得f(2)<0,f(3)>0x1∈(2,3),f(2.5)<0,f(3)>0x1∈(2.5,3),f(2.5)<0,f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75),f(2.5)<0,f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625),f(2.5625)<0,f(2.625)>0x1∈(2.5625,2.625).由于2.5625與2.625精確到0.1的近似值都為2.6,所以原方程的近似解為x1≈2.6.例2求方程lnx-2x+3=0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根(精確度0.1).解:設(shè)f(x)=lnx-2x+3,則原方程的根為函數(shù)f(x)的零點.設(shè)x1為函數(shù)的零點即方程lnx-2x+3=0的解.如圖3-1-2-5,由于f(1)=1,f(2)=-0.306852819,所以f(1)f(2)<0,即函數(shù)f(x)在[1,2]內(nèi)有一個零點.依據(jù)二分法,用計算器得出以下表格:xy112-0.3068528193-1.9013877114-3.6137056395-5.3905620886-7.2082405317-9.0540898518-10.92055846(步長為1)xy111.550.4054651082-0.3068528192.5-1.0837092683-1.9013877113.5-2.74723703243.6137056394.5-4.495922603(步長為0.5)xy111.250.7231435511.50.4054651081.750.0596157872-0.3068528192.25-0.6890697832.5-1.0837092682.75-1.488399088(步長為0.25)xy111.1250.8677830351.250.7231435511.3750.5684537311.50.4054651081.6250.2355078151.750.0596157871.875-0.12139134(步長為0.125)xy1.50.4054651081.56250.3-2-1-2871021.6250.2355078151.68750.1482481431.750.0596157871.8125-0.0302928921.875-0.121391341.9375-0.213601517(步長為0.0625)由上述表格可以得到下表與圖象3-1-2-5:區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值(1,2)1.50.405465108(1.5,2)1.750.059615787(1.75,2)1.875-0.12139134(1.75,1.875)1.8125-0.030292892圖3-1-2-5由于f(1.75)=0.059615787>0,f(1.8125)=-0.030292892<0,所以x1∈(1.75,1.8125).由于|1.8125-1.75|=0.0625<0.1,所以區(qū)間(1.75,1.8125)內(nèi)的每一個實數(shù)都可以作為方程lnx-2x+3=0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根.點評:①先設(shè)出方程對應(yīng)的函數(shù),畫出函數(shù)的圖象,初步確定解所在的區(qū)間,再用二分法求方程近似解.②二分法,即漸漸靠近的方法.③計算量較大,而且是重復(fù)相同的步驟,借助計算器或計算機完成計算比較簡潔.知能訓(xùn)練1.依據(jù)下表中的數(shù)據(jù),可以斷定方程ex-x-2=0的一個根所在的區(qū)間為()x-10123ex0.3712.277.3920.0x+212345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)2.用二分法推斷方程2x=x2的根的個數(shù)為()A.1B.2C.3答案:1.C.設(shè)f(x)=ex-x-2,f(1)<0,f(2)>0,即f(1)f(2)<0,∴x∈(1,2).2.C.設(shè)f(x)=2x-x2(下表),畫出函數(shù)y=2x與y=x2的圖象(圖3-1x-1012345f(x)-0.5112-107圖3-1由圖與表,知有三個根.拓展提升從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點,現(xiàn)在某接點發(fā)生故障,需準(zhǔn)時修理,為了盡快斷定故障發(fā)生點,一般至少需要檢查接點的個數(shù)為多少?(此例既體現(xiàn)了二分法的應(yīng)用價值,也有利于進(jìn)展同學(xué)的應(yīng)用意識)答案:至少需要檢查接點的個數(shù)為4.課堂小結(jié)活動:同學(xué)先思考或爭辯,再回答.老師提示、點撥,準(zhǔn)時評價.引導(dǎo)方法:從基本學(xué)問基本技能和思想方法兩方面來總結(jié).①把握用二分法求方程的近似解,及二分法的其他應(yīng)用.②思想方法:函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想.作業(yè)課本P92習(xí)題3.1A組1、3.設(shè)計感想“猜價格”的玩耍深受人們的寵愛,它是二分法的具體應(yīng)用,用它引入拉近了數(shù)學(xué)與生活的距離.二分法是科學(xué)的數(shù)學(xué)方法,它在求方程的近似解和現(xiàn)實生活中都有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)設(shè)計緊緊圍繞這兩個中心開放,充分借助現(xiàn)代教學(xué)手段,用多種角度處理問題,使同學(xué)充分體會數(shù)學(xué)思想方法的科學(xué)性與完善性.習(xí)題詳解(課本第88頁練習(xí))1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函數(shù)f(x)的圖象(圖3-1-2-7(1)),它與x軸有兩個交點,所以方程-x2+3x+5=0有兩個不相等的實數(shù)根.(2)2x(x-2)=-3可化為2x2-4x+3=0,令f(x)=2x2-4x+3,作出函數(shù)f(x)的圖象(圖3-1-2-7(2)),它與x軸沒有交點,所以方程2x(x-2)=-3無實數(shù)根.(3)x2=4x-4可化為x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函數(shù)f(x)的圖象(圖3-1-2-7(3)),它與x軸只有一個交點(相切),所以方程x2=4x-4有兩個相等的實數(shù)根.(4)5x2+2x=3x2+5可化為2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函數(shù)f(x)的圖象(圖3-1-2-7(4)),它與x軸有兩個交點,所以方程5x2+2x=3x2+5有兩個不相等的實數(shù)根.圖3-1-2-72.(1)作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(1)),由于f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在區(qū)間(1,1.5)上有一個零點.又由于f(x)是(-∞,+∞)上的減函數(shù),所以f(x)=-x3-3x+5在區(qū)間(1,1.5)上有且只有一個零點.(2)作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(2)),由于f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在區(qū)間(3,4)上有一個零點.又由于f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函數(shù),所以f(x)在(3,4)上有且僅有一個零點.(3)作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(3)),由于f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=ex-1+4x-4在區(qū)間(0,1)上有一個零點.又由于f(x)=ex-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函數(shù),所以f(x)在(0,1)上有且僅有一個零點.(4)作出函數(shù)圖象(圖3-1-2-8(4)),由于f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一個零點.圖3-1-2-8(課本第91頁練習(xí))1.由題設(shè)可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個零點x0.下面用二分法求函數(shù)f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點.取區(qū)間(0,1)的中點x1=0.5,用計算器可算得f(0.5)=-0.55.由于f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取區(qū)間(0.5,1)的中點x2=0.75,用計算器可算得f(0.75)≈0.32.由于f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75),x0∈(0.625,0.6875),x0∈(0.65625,0.6875).由于|0.6875-0.65625|=0.03125<0.1,所以原方程的近似解可取為0.65625.2.原方程可化為x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用計算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以這個方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)有一個解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在區(qū)間(2,3)的近似解.取區(qū)間(2,3)的中點x1=2.5,用計算器可算得f(2.5)≈-0.10.由于f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取區(qū)間(2.5,3)的中點x2=2.75,用計算器可算得f(2.75)≈0.19.由于f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5625,2.625),x0∈(2.5625,2.59375),x0∈(2.578125,2.59375),x0∈(2.5859375,2.59375).由于|2.5859375-2.59375|=0.0078125<0.01,所以原方程的近似解可取為2.59375.(課本第92頁習(xí)題3.1)A組1.A,C點評:需了解二分法求函數(shù)的近似零點的條件.2.由x,f(x)的對應(yīng)值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又依據(jù)“假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.”可知函數(shù)f(x)分別在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)內(nèi)有零點.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以這個方程在區(qū)間(-1,0)內(nèi)有一個解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在區(qū)間(-1,0)內(nèi)的近似解.取區(qū)間(-1,0)的中點x1=-0.5,用計算器可算得f(-0.5)=3.375.由于f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1,-0.5)的中點x2=-0.75,用計算器可算得f(-0.75)≈1.58.由于f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875),x0∈(-0.9375,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.9375)|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取為-0.9375.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)沒有意義,用計算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以這個方程在區(qū)間(0.5,1)內(nèi)有一個解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在區(qū)間(0,1)內(nèi)的近似解.取區(qū)間(0.5,1)的中點x1=0.75,用計算器可算得f(0.75)≈0.13.由于f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中點x2=0.875,用計算器可算得f(0.875)≈-0.04.由于f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875).同理,可得x0∈(0.8125,0.875),x0∈(0.8125,0.84375).由于|0.8125-0.84375|=0.03125<0.1,所以原方程的近似解可取為0.84375.5.由題設(shè)有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是f(2)·f(3)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有一個零點.下面用二分法求函數(shù)f(x)=lnx在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解.取區(qū)間(2,3)的中點x1=2.5,用計算器可算得f(2.5)≈0.12.由于f(2)·f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5).再取(2,2.5)的中點x2=2.25,用計算器可算得f(2.25)≈-0.08.由于f(2.25)·f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5).同理,可得x0∈(2.25,2.375),x0∈(2.3125,2.375),x0∈(2.34375,2.375),x0∈(2.34375,2.359375),x0∈(2.34375,2.3515625),x0∈(2.34375,2.34765625).由于|2.34375-2.34765625|=0.00390625<0.01,所以原方程的近似解可取為2.34765625.B組1.將系數(shù)代入求根公式x=,得x==,所以方程的兩個解分別為x1=,x2=.下面用二分法求方程的近似解.取區(qū)間(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.在區(qū)間(1.775,1.8)內(nèi)用計算器可算得f(1.775)=-0.02375,f(1.8)=0.08.于是f(1.775)·f(1.8)
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