【名師一號】2020-2021學年北師大版高中數(shù)學必修5雙基限時練15

雙基限時練(十五)一、選擇題1．在△ABC中，sin2A·sin2B＝1，則△ABCA．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．直角三角形解析在△ABC中，由sin2A·sin2B＝1，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2A＝1，,sin2B＝1.))又A、B為△ABC的內(nèi)角，∴A＝B＝45°.∴△ABC為等腰直角三角形，故選B.答案B2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，則A．30° B．60°C．120° D．150°解析由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可知A＝120°.答案C3．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，則△ABC的外接圓的直徑是()A．4eq\r(3) B．5C．5eq\r(2) D．6eq\r(2)解析∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝2，∴c＝4eq\r(2).又b2＝a2＋c2－2ac·cos＝1＋32－2×1×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝25，∴b＝5，又2R＝eq\f(b,sinB)＝5eq\r(2).答案C4．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，則AC邊上的高為()A.eq\f(3,2)eq\r(2) B.eq\f(3,2)eq\r(3)C.eq\f(3,2) D．3eq\r(3)解析由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝eq\f(1,2)，又A為三角形的內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,3)，∴h＝AB·sinA＝eq\f(3\r(3),2).答案B5．在△ABC中，A＝60°，且最大邊的長和最小邊的長是方程x2－7x＋11＝0的兩根，則第三邊的長為()A．2 B．3C．4 D．5解析設最大的邊長為x，最小的邊長為y.由韋達定理eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7,xy＝11))，A＝60°，∴y≤a≤x，由余弦定理，得a2＝x2＋y2－2xycos60°＝(x＋y)2－3xy＝49－33＝16，故a＝4.答案C6．在鈍角△ABC中，a＝1，b＝2，則最大邊c的取值范圍是()A．1<c<3 B．2<c<3C.eq\r(5)<c<3 D．2eq\r(2)<c<3解析由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0得c2>a2＋b2＝5.∴c>eq\r(5).又c<a＋b，∴eq\r(5)<c<3.答案C二、填空題7．在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，則三角形為____________．解析由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝2cosBsinC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.答案等腰三角形8．在△ABC中，若m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝sin2C，則角C解析∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，得cosC＝eq\f(1,2)，又C為△ABC的內(nèi)角，∴C＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)9．在△ABC中，AB＝12，∠ACB的平分線CD把三角形面積分成32兩部分，則cosA＝________.解析∵CD是∠ACB的平分線，∴eq\f(S△ACD,S△BCD)＝eq\f(\f(1,2)AC·CD·sin\f(∠ACB,2),\f(1,2)BC·CD·sin\f(∠ACB,2))＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(3,2).又B＝2A，∴eq\f(2sinAcosA,sinA)＝eq\f(3,2)，∴cosA＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)三、解答題10．在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(\r(2),2)，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面積．解∵sinA＋cosA＝eq\r(2)cos(A－45°)＝eq\f(\r(2),2)，∴cos(A－45°)＝eq\f(1,2).又0°<A<180°，∴A－45°＝60°，∴A＝105°，tanA＝tan(45°＋60°)＝eq\f(1＋\r(3),1－\r(3))＝－2－eq\r(3)，sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·AB·sinA＝eq\f(1,2)×2×3×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝eq\f(3,4)(eq\r(2)＋eq\r(6))．11．△ABC中，D為BC上的一點，BD＝33，sinB＝eq\f(5,13)，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求AD.解由cos∠ADC＝eq\f(3,5)>0，知B<eq\f(π,2).由已知得cosB＝eq\f(12,13)，知sin∠ADC＝eq\f(4,5)，從而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(33,65).由正弦定理，得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD).∴AD＝eq\f(BD·sinB,sin∠BAD)＝eq\f(33×\f(5,13),\f(33,65))＝25.12．已知銳角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊．(1)求角A的大?。?2)求eq\r(3)cosC－sinB的取值范圍．解(1)由正弦定理得b2－a2＝(b－c)·c.即b2＋c2－a2＝bc.∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).又∵A為三角形內(nèi)角，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵B＋C＝eq\f(2,3)π，∴C＝eq\f(2,3)π－B.∵△ABC為銳角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<B<\f(π,2)，,0<\f(2,3)π－B<\f(π,2).))∴eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2).又∵eq\r(3)cosC－sinB＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－B))－sinB＝－eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,3)))，∵eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)<B－eq\f(π,3)<eq\f(π,6).∴－eq\f(1,2)<sin(B－eq\f(π,3))<eq\f(1,2).即eq\r(3)cosC－sinB的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).思維探究13．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，cosB＝eq\f(3,5)，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－21.(1)求△ABC的面積；(2)若a＝7，求角C.解(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－21，∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝21.∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cosB＝accosB＝21.∴ac＝35，∵cosB＝eq\f(3,5)，∴sinB＝eq\f(4,5).∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×35×eq\f(4,5)＝