2021高考數(shù)學(xué)專題輔導(dǎo)與訓(xùn)練配套練習(xí)：課時沖關(guān)練(十二)-5.2點、直線、平面之間的位置關(guān)系

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時沖關(guān)練(十二)點、直線、平面之間的位置關(guān)系(45分鐘100分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2022·濟(jì)南模擬)在正三棱錐P-ABC中,D,E分別是AB,AC的中點,有下列論斷:①AC⊥PB;②AC⊥平面PDE;③AB⊥平面PDE,其中正確論斷的個數(shù)為()A.3個 B.2個 C.1個 D.0個【解析】選C.過P作PO⊥平面ABC于點O,則PO⊥AC,又正三角形中BE⊥AC,PO∩BE=O,所以AC⊥平面PBE,所以AC⊥PB,所以①正確,DE∥BC,所以∠AED=60°,即DE不垂直于AC,所以②錯誤.由于AB不垂直于DE,所以③不正確,所以正確的論斷有1個,選C.2.(2022·廣東高考)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4滿足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論確定正確的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】選D.由于l2∥l3,所以l1⊥l2,l3⊥l4實質(zhì)上就是l1與l4同垂直于一條直線,所以l1⊥l4,l1∥l4,l1與l4既不垂直也不平行都有可能成立,但不是確定成立,故l1與l4的位置關(guān)系不確定.3.已知l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是()A.若l∥α,m∥α,則l∥mB.若l⊥m,m∥α,則l⊥αC.若l⊥m,m⊥α,則l∥αD.若l∥α,m⊥α,則l⊥m【解析】選D.由A可知l∥α,m∥α,不能得到l∥m,l與m可以相交,可以平行,也可以異面,故A不正確;由B可知l⊥m,m∥α,不能得到l⊥α,l可以與α平行,垂直,還可以在α平面內(nèi),故B不正確;由C可知l⊥m,m⊥α得到l與α可以平行,l可以在平面α內(nèi),故C不正確,D正確.4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分別是AA1,A1D1,CC1,BC的中點,給出以下結(jié)論:①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1A.① B.② C.③ D.④【解析】選B.作出過M,N,P,Q四點的截面交C1D1于點S,交AB于點R,如圖中的六邊形MNSPQR,明顯點A1,C分別位于這個平面的兩側(cè),故A1C與平面MNPQ確定相交,不行能平行,故結(jié)論②5.(2022·哈爾濱模擬)已知直線l,m,平面α,β,且l⊥α,m?β,給出下列命題:①若α∥β,則l⊥m; ②若l⊥m,則α∥β;③若α⊥β,則l∥m; ④若l∥m,則α⊥β.其中真命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【解題提示】依據(jù)條件l⊥α,mβ,對四個命題逐個驗證.【解析】選B.①由于l⊥α,α∥β,所以l⊥β,又由于mβ,所以l⊥m,①正確;②由l⊥m推不出l⊥β,②錯誤.③當(dāng)l⊥α,α⊥β時,l可能平行于β,也可能在β內(nèi),所以l與m的位置關(guān)系不能推斷,③錯誤.④由于l⊥α,l∥m,所以m⊥α,又由于mβ,所以α⊥β,④正確,故選B.6.(2022·中山模擬)已知兩個平面垂直,下列命題中:①一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線.②一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的很多條直線.③一個平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個平面.④過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確命題的個數(shù)有()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.①依據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理以及直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知,只有當(dāng)這個平面內(nèi)的已知直線垂直于交線時,這條直線才垂直于另一平面內(nèi)的任意一條直線,所以①的說法錯誤;②依據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知,另一個平面內(nèi)與交線垂直的直線有很多條,這些直線都與已知直線垂直,即對任意一條直線,在另一個平面內(nèi)都能找到與交線垂直的直線,所以②的說法正確;③依據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知,只有這個平面內(nèi)的直線垂直于交線時,它才垂直于另一個平面,所以③的說法錯誤;④假如這一點在交線上,那么過這點的交線的垂線有很多條,其中有的可能在另一個平面內(nèi),所以④的說法錯誤,所以正確的命題只有②1個.7.(2022·嘉興模擬)如圖1,在等腰△ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分別是AC,AB上的點,CD=BE=QUOTE,O為BC的中點.將△ADE沿DE折起,得到如圖2所示的四棱錐A'-BCDE.若A'O⊥平面BCDE,則A'D與平面A'BC所成角的正弦值等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意,平面A'CB⊥平面BCDE,過D點在平面BCDE內(nèi)作DF⊥CB,則DF⊥平面A'CB,連接FA',則∠DA'F即A'D與平面A'BC所成的角.由于△ABC是底邊為6的等腰直角三角形,所以DF=CD·sin45°=1,CA=QUOTE=3QUOTE,所以DA'=DA=3QUOTE-QUOTE=2QUOTE,所以sin∠DA'F=QUOTE=QUOTE=QUOTE.8.(2021·江西高考)如圖,正方體的底面與正四周體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m,n,那么m+n=()A.8 B.9 C.10 D.11【解析】選A.取CD中點G,連接EG,FG,可知CD⊥平面EFG,由于AB∥CD,所以AB⊥平面EFG,簡潔知道平面EFG與正方體的左右兩個側(cè)面平行,所以EF與正方體的兩個側(cè)面平行,觀看可知n=4;又正方體的底面與正四周體的底面共面,所以過點A可作AH∥CE,易知CE與正方體的上底面平行,在下底面內(nèi),與其他四個面相交,所以m=4,即得m+n=8.二、填空題(每小題4分,共16分)9.(2022·武漢模擬)下列正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出直線AB∥平面MNP的圖形的序號是(寫出全部符合要求的圖形序號).【解析】對于①,留意到該正方體的面中過直線AB的側(cè)面與平面MNP平行,因此直線AB平行于平面MNP;對于②,留意到直線AB和過點A的一個與平面MNP平行的平面相交,因此直線AB與平面MNP相交;對于③,留意到此時直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線MP平行,且直線AB位于平面MNP外,因此直線AB與平面MNP平行;對于④,易知此時AB與平面MNP相交.綜上所述,能得出直線AB平行于平面MNP的圖形的序號是①③.答案:①③【加固訓(xùn)練】(2021·安徽高考)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是①當(dāng)0<CQ<QUOTE時,S為四邊形.②當(dāng)CQ=QUOTE時,S為等腰梯形.③當(dāng)CQ=QUOTE時,S與C1D1的交點R滿足C1R=QUOTE.④當(dāng)QUOTE<CQ<1時,S為六邊形.⑤當(dāng)CQ=1時,S的面積為QUOTE.【解析】①當(dāng)0<CQ<QUOTE時,截面如圖1所示,截面是四邊形APQM,故①正確.②當(dāng)CQ=QUOTE時,截面如圖2所示,易知PQ∥AD1且PQ=QUOTEAD1,S是等腰梯形,故②正確.③當(dāng)CQ=QUOTE時,如圖3.作BF∥PQ交CC1的延長線于點F,則C1F=QUOTE.作AE∥BF,交DD1的延長線于點E,D1E=QUOTE,AE∥PQ,連接EQ交C1D1于點R,由于Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,所以C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,所以C1R=QUOTE,故③正確.④當(dāng)QUOTE<CQ<1時,如圖3,連接RM(點M為AE與A1D1的交點),明顯S為五邊形APQRM,故④錯誤.⑤當(dāng)CQ=1時,如圖4.同③可作AE∥PQ交DD1的延長線于點E,交A1D1于點M,明顯點M為A1D1的中點,所以S為菱形APQM,其面積為QUOTEMP×AQ=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,故⑤正確.答案:①②③⑤10.給出下列命題:①直線a與平面α不平行,則a與平面α內(nèi)的全部直線都不平行;②直線a與平面α不垂直,則a與平面α內(nèi)的全部直線都不垂直;③異面直線a,b不垂直,則過a的任何平面與b都不垂直;④若直線a和b共面,直線b和c共面,則a和c共面.其中錯誤的命題是.【解析】對于命題①,當(dāng)直線a在平面α內(nèi)時,a可與平面α內(nèi)的某些直線平行,故①錯;對于命題②,當(dāng)直線a在平面α內(nèi)時,直線a可與平面α內(nèi)的很多條直線垂直,故命題②錯誤;對于命題③,假設(shè)過a的一個平面與b垂直,則異面直線a,b垂直,與已知沖突,故命題③正確;對于命題④,當(dāng)直線a和b平行,直線b和c相交時,a和c可能是異面直線,故命題④錯誤.答案:①②④11.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且EF=QUOTE,則下列結(jié)論中正確的是.①AC⊥BE;②EF∥平面ABCD;③三棱錐A-BEF的體積為定值;④△AEF的面積與△BEF的面積相等.【解析】由于AC⊥平面BB1D1D,又BE平面BB1D1D,所以AC⊥BE,故①正確.由于B1D1∥平面ABCD,又E,F在線段B1D1上運(yùn)動,故EF∥平面ABCD.故②正確.③中由于點B到直線EF的距離是定值,故△BEF的面積為定值,又點A到平面BEF的距離為定值,故VA-BEF不變.故③正確.由于點A到B1D1的距離與點B到B1D1的距離不相等,因此△AEF與△BEF的面積不相等,故④錯誤.答案:①②③12.已知α,β,γ是三個不重合的平面,a,b是兩條不重合的直線,有下列三個條件:①a∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.假如命題“α∩β=a,b?γ,且,則a∥b”為真命題,則可以在橫線處填入的條件是.【解析】由定理“一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面和此平面的交線與該直線平行”可得,橫線處可填入條件①或③.答案:①或③三、解答題(13～14題每題10分,15～16題每題12分,共44分)13.(2022·南昌模擬)在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點,PA=2,AB=1.(1)求四棱錐P-ABCD的體積V.(2)若F為PC的中點,求證:平面PAC⊥平面AEF.【解析】(1)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,所以BC=QUOTE,AC=2,在Rt△ACD中,AC=2,∠CAD=60°,CD=2QUOTE,S四邊形ABCD=QUOTEAB·BC+QUOTEAC·CD=QUOTE×1×QUOTE+QUOTE×2×2QUOTE=QUOTE,所以V=QUOTE×QUOTE×2=QUOTE.(2)由于PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又由于AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,由于E,F分別是PD,PC的中點,所以EF∥CD,所以EF⊥平面PAC,由于EF平面AEF,所以平面PAC⊥平面AEF.14.(2022·北京高考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別為A1C(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)求證:C1F∥(3)求三棱錐E-ABC的體積.【解題提示】(1)利用面面垂直的判定定理證明.(2)利用線面平行的判定定理證明.(3)求出底面ABC的面積及高AA1,再代入體積公式求解.【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥所以BB1⊥AB.又由于AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1,由于AB平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)取AB中點G,連接EG,FG.由于E,F分別是A1C1,BC的中點,所以FG∥且FG=QUOTEAC.由于AC∥A1C1,且AC=A1C所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形.所以C1F∥又由于EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F∥(3)由于AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=QUOTE=QUOTE.所以三棱錐E-ABC的體積V=QUOTES△ABC·AA1=QUOTE×QUOTE×QUOTE×1×2=QUOTE.15.(2022·紹興模擬)如圖,E是矩形ABCD中AD邊上的點,F為CD邊的中點,AB=AE=QUOTEAD=4,現(xiàn)將△ABE沿BE邊折至△PBE位置,且平面PBE⊥平面BCDE.(1)求證:平面PBE⊥平面PEF.(2)求四棱錐P-BEFC的體積.【解題提示】(1)先證明EF⊥BE,再證明EF⊥平面PBE.(2)利用S四邊形BEFC=S四邊形ABCD-S△ABE-S△DEF求S四邊形BEFC.【解析】(1)由題可知,QUOTEEF⊥BE,平面PBE⊥平面PEF.(2)S四邊形BEFC=S四邊形ABCD-S△ABE-S△DEF=6×4-QUOTE×4×4-QUOTE×2×2=14,過P作PG⊥BE,由平面PBE⊥平面BCDE知PG⊥平面BEFC,又在Rt△BPE中,PB=PE=4,所以PG=h=2QUOTE,則V=QUOTE·S四邊形BEFC·h=QUOTE×14×2QUOTE=QUOTE.【講評建議】講解本題時,請?zhí)崾就瑢W(xué)留意以下幾點:(1)強(qiáng)調(diào)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化.①本題(1)體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化思想”在立體幾何中的應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)解題過程中要留意“垂直”間的轉(zhuǎn)化.②強(qiáng)調(diào)在線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化中,線線垂直是最基本的,線面垂直是紐帶,把線線垂直與面面垂直聯(lián)系起來,如本題(1)中的