【2021屆備考】2020全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第一期)：K單元-概率

K單元概率名目K單元概率 1\l"_Toc396208097"K1隨大事的概率 1K2古典概型 2\l"_Toc396208099"K3幾何概型 2K4互斥大事有一個(gè)發(fā)生的概率 4\l"_Toc396208101"K5相互對(duì)立大事同時(shí)發(fā)生的概率 2K6離散型隨機(jī)變量及其分布列 4\l"_Toc396208103"K7條件概率與大事的獨(dú)立性 2K8離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布 4\l"_Toc396208105"K9單元綜合 2K1隨大事的概率【數(shù)學(xué)理卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三11月月考（202211）(1)】19．（12分）某重點(diǎn)高校自主招生考試過程依次為自薦材料審查、筆試、面試共三輪考核。規(guī)定：只能通過前一輪考核才能進(jìn)入下一輪的考核，否則將被淘汰；三輪考核都通過才算通過該高校的自主招生考試。同學(xué)甲三輪考試通過的概率分別為，，，且各輪考核通過與否相互獨(dú)立。

（1）求甲通過該高校自主招生考試的概率；

（2）若同學(xué)甲每通過一輪考核，則家長(zhǎng)嘉獎(jiǎng)人民幣1000元作為高校學(xué)習(xí)的訓(xùn)練基金。記同學(xué)甲得到訓(xùn)練基金的金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。【學(xué)問點(diǎn)】概率；分布列與數(shù)學(xué)期望.K1,K6【答案】【解析】（1）（2）的分布列為數(shù)學(xué)期望為--解析：（1）設(shè)“同學(xué)甲通過該高校自主招生考試”為大事A，則P(A)＝所以同學(xué)甲通過該高校自主招生考試的概率為4分（2）的可能取值為0元，1000元，2000元，3000元5分，，9分所以，的分布列為數(shù)學(xué)期望為12分【思路點(diǎn)撥】由題意可求出變量取各值時(shí)的概率，再列出分布列，依據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望即可.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆吉林省長(zhǎng)春外國語學(xué)校高三上學(xué)期期中考試（202211）】13.袋中有三個(gè)白球，兩個(gè)黑球，現(xiàn)每次摸出一個(gè)球，不放回的摸取兩次，則在第一次摸到黑球的條件下，其次次摸到白球的概率為_____________.【學(xué)問點(diǎn)】隨大事的概率K1【答案解析】記大事A為“第一次取到黑球”，大事B為“其次次取到白球”，

則大事AB為“第一次取到黑球、其次次取到白球”，依題意知P（A）=，P（AB）=×，

∴在第一次取到黑球的條件下，其次次取到白球的概率是P（B|A）=．

故答案為：．【思路點(diǎn)撥】本題條件概率，需要做出第一次取到黑球的概率和第一次取到黑球、其次次取到白球的概率，依據(jù)條件概率的公式，代入數(shù)據(jù)得到結(jié)果．K2古典概型【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】17.（本題滿分12分）在一個(gè)盒子中，放有大小相同的紅、白、黃三個(gè)小球，現(xiàn)從中任意摸出一球，若是紅球記1分，白球記2分，黃球記3分．現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后摸出兩球，所得分?jǐn)?shù)分別記為、，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，記．（I）求隨機(jī)變量的最大值，并求大事“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【學(xué)問點(diǎn)】古典概型；離散型隨機(jī)變量的分布列；數(shù)學(xué)期望.K2K6K8【答案】【解析】（I）的最大值為，取得最大值的概率；（Ⅱ）則隨機(jī)變量的分布列為：…數(shù)學(xué)期望為2.解析：（I）、可能的取值為、、，………1分，，，且當(dāng)或時(shí)，．因此，隨機(jī)變量的最大值為………………3分有放回摸兩球的全部狀況有種……6分（Ⅱ）的全部取值為．時(shí)，只有這一種狀況．時(shí)，有或或或四種狀況，時(shí)，有或兩種狀況．，，………………8分則隨機(jī)變量的分布列為：………………10分因此，數(shù)學(xué)期望………………12分【思路點(diǎn)撥】（I）的表達(dá)式為，數(shù)組（x,y）有9個(gè)，且x、取值為、、，將x、y的取值代入的表達(dá)式得的最大值，據(jù)此可得取得最大值的概率；（Ⅱ）由（I）的方法可得的所以取值和取各值的概率，從而求得的分布列和數(shù)學(xué)期望．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三11月月考（202211）】19．（12分）新一屆中心領(lǐng)導(dǎo)集體格外重視勤儉節(jié)省，從“光盤行動(dòng)”到“節(jié)省辦春晚”。到飯店吃飯是吃光盤子或是打包帶走，稱為“光盤族”，否則稱為“非光盤族”，政治課上政治老師選派幾位同學(xué)組成爭(zhēng)辯性小組，從某社區(qū)[25,55]歲的人群中隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：組數(shù)分組頻數(shù)頻率光盤族占本組比例第1組[25,30)500.0530%第2組[30,35)1000.1030%第3組[35,40)1500.1540%第4組[40,45)2000.2050%第5組[45,50)ab65%第6組[50,55)2000.2060%（1）求的值，并估量本社區(qū)[25,55)歲的人群中“光盤族”所占比例；（2）從年齡段在[35,45)的“光盤族”中接受分層抽樣方法抽取8人參與節(jié)省糧食宣揚(yáng)活動(dòng)，并從這8人中選取2人作為領(lǐng)隊(duì).求選取的2名領(lǐng)隊(duì)分別來自[35,40)與[40,45)兩個(gè)年齡段的概率?！緦W(xué)問點(diǎn)】用樣本估量總體；古典概型.I2K2【答案】【解析】（1）a=300，b=0.30；（2）.解析：解：（1）……1分…2分………3分樣本中的“光盤族”人數(shù)為：…5分樣本中的“光盤族”所占的比例為：…………6分（2）年齡段在的“光盤族”的人數(shù)為人，年齡段在的“光盤族”人數(shù)為人，接受分層抽樣方法抽取8人中的“光盤族”有3人，在的有5人，記中的3人為，的5人記為，則選取2人做領(lǐng)隊(duì)有共28種…………10分其中分別來自與兩個(gè)年齡段的有：共15種……11分所以分別來自與兩個(gè)年齡段的概率…………12分【思路點(diǎn)撥】（1）由，，；（2）先求出抽取的8人中，的“光盤族”有3人，的有5人，再用列舉法寫出從這8人中任取2人的全部狀況，共28種，其中，分別來自與兩個(gè)年齡段的有11種，由此得所求概率.K3幾何概型【數(shù)學(xué)文卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】8、一只受傷的丹頂鶴在如圖所示（直角梯形）的草原上飛過，其中，它可能隨機(jī)在草原上任何一處（點(diǎn)），若落在扇形沼澤區(qū)域ADE以外丹頂鶴能生還，則該丹頂鶴生還的概率是（）A．B．C．D．【學(xué)問點(diǎn)】概率K3【答案】【解析】B解析：過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，易知，梯形的面積,扇形的面積，則丹頂鶴生還的概率，故選【思路點(diǎn)撥】幾何概型，可分別求出各部分的面積再求出概率.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三11月月考（202211）】8.已知菱形的邊長(zhǎng)為4，，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離大于1的概率（）A.B.C.D.【學(xué)問點(diǎn)】幾何概型.K3【答案】【解析】D解析：以A、B、C、D為圓心1為半徑的圓在菱形內(nèi)的面積為:,(任意兩圓相離)，而菱形的面積為8，所以所求概率為，故選D.【思路點(diǎn)撥】先求菱形中，到點(diǎn)A、B、C、D的某一個(gè)點(diǎn)的距離小于1的點(diǎn)構(gòu)成圖像的面積，然后利用幾何概型求得概率.K4互斥大事有一個(gè)發(fā)生的概率K5相互對(duì)立大事同時(shí)發(fā)生的概率K6離散型隨機(jī)變量及其分布列【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】17.（本題滿分12分）在一個(gè)盒子中，放有大小相同的紅、白、黃三個(gè)小球，現(xiàn)從中任意摸出一球，若是紅球記1分，白球記2分，黃球記3分．現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后摸出兩球，所得分?jǐn)?shù)分別記為、，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，記．（I）求隨機(jī)變量的最大值，并求大事“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【學(xué)問點(diǎn)】古典概型；離散型隨機(jī)變量的分布列；數(shù)學(xué)期望.K2K6K8【答案】【解析】（I）的最大值為，取得最大值的概率；（Ⅱ）則隨機(jī)變量的分布列為：…數(shù)學(xué)期望為2.解析：（I）、可能的取值為、、，………1分，，，且當(dāng)或時(shí)，．因此，隨機(jī)變量的最大值為………………3分有放回摸兩球的全部狀況有種……6分（Ⅱ）的全部取值為．時(shí)，只有這一種狀況．時(shí)，有或或或四種狀況，時(shí)，有或兩種狀況．，，………………8分則隨機(jī)變量的分布列為：………………10分因此，數(shù)學(xué)期望………………12分【思路點(diǎn)撥】（I）的表達(dá)式為，數(shù)組（x,y）有9個(gè)，且x、取值為、、，將x、y的取值代入的表達(dá)式得的最大值，據(jù)此可得取得最大值的概率；（Ⅱ）由（I）的方法可得的所以取值和取各值的概率，從而求得的分布列和數(shù)學(xué)期望．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】18．（本小題滿分12分）2022年巴西世界杯的周邊商品有80%左右為“中國制造”，全部的廠家都是經(jīng)過層層篩選才能獲此殊榮。甲、乙兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，以確定這一產(chǎn)品最終的供貨商，接受分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素滿足，且,該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)據(jù)估量乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）?！緦W(xué)問點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．K6【答案】【解析】(1)35(2)14（3）解析：（1）乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為；…2分（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為；…………4分（3），……5分，……8分的分布列為………………11分均值…12分【思路點(diǎn)撥】（1）利用分層抽樣方法能求出乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)．（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，由分層抽樣方法能求出乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量．（3）由題意知ξ=0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三11月月考（202211）(1)】19．（12分）某重點(diǎn)高校自主招生考試過程依次為自薦材料審查、筆試、面試共三輪考核。規(guī)定：只能通過前一輪考核才能進(jìn)入下一輪的考核，否則將被淘汰；三輪考核都通過才算通過該高校的自主招生考試。同學(xué)甲三輪考試通過的概率分別為，，，且各輪考核通過與否相互獨(dú)立。

（1）求甲通過該高校自主招生考試的概率；

（2）若同學(xué)甲每通過一輪考核，則家長(zhǎng)嘉獎(jiǎng)人民幣1000元作為高校學(xué)習(xí)的訓(xùn)練基金。記同學(xué)甲得到訓(xùn)練基金的金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。【學(xué)問點(diǎn)】概率；分布列與數(shù)學(xué)期望.K1,K6【答案】【解析】（1）（2）的分布列為數(shù)學(xué)期望為--解析：（1）設(shè)“同學(xué)甲通過該高校自主招生考試”為大事A，則P(A)＝所以同學(xué)甲通過該高校自主招生考試的概率為4分（2）的可能取值為0元，1000元，2000元，3000元5分，，9分所以，的分布列為數(shù)學(xué)期望為12分【思路點(diǎn)撥】由題意可求出變量取各值時(shí)的概率，再列出分布列，依據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望即可.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆吉林省長(zhǎng)春外國語學(xué)校高三上學(xué)期期中考試（202211）】18.（12分）某站針對(duì)2022年中國好聲音歌手三人進(jìn)行上投票，結(jié)果如下觀眾年齡支持支持支持20歲以下20040080020歲以上（含20歲）100100400（1）在全部參與該活動(dòng)的人中，用分層抽樣的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.（2）若在參與活動(dòng)的20歲以下的人中，用分層抽樣的方法抽取7人作為一個(gè)總體，從7人中任意抽取3人，用隨機(jī)變量表示抽取出3人中支持的人數(shù)，寫出的分布列并計(jì)算.【學(xué)問點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列K6【答案解析】（1）40（2）（1）∵利用層抽樣的方法抽取n個(gè)人時(shí)，從“支持A方案”的人中抽取了6人，

∴=，解得n=40，

（2）X=0，1，2X012P274717∴E（X）=1×+2×=，D（X）=×(0-)2+×(1-)2+×(2-)2=．【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)分層抽樣時(shí)，各層的抽樣比相等，結(jié)合已知構(gòu)造關(guān)于n的方程，解方程可得n值．

（2）X=0，1，2，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列并計(jì)算E（X），D（X）．【數(shù)學(xué)文卷·2021屆吉林省長(zhǎng)春外國語學(xué)校高三上學(xué)期期中考試（202211）】18.（12分）某站針對(duì)2022年中國好聲音歌手三人進(jìn)行上投票，結(jié)果如下觀眾年齡支持支持支持20歲以下20040080020歲以上（含20歲）100100400（1）在全部參與該活動(dòng)的人中，用分層抽樣的方法抽取人，其中有6人支持，求的值.（2）在支持的人中，用分層抽樣的方法抽取6人作為一個(gè)總體，從這6人中任意選取2人，求恰有1人在20歲以下的概率.【學(xué)問點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列K6【答案解析】（1）40（2）（2）（1）∵利用層抽樣的方法抽取n個(gè)人時(shí)，從“支持A方案”的人中抽取了6人，

∴=，解得n=40，

（2）從“支持C方案”的人中，用分層抽樣的方法抽取的6人中，

年齡在20歲以下的有4人，分別記為1，2，3，4，年齡在20歲以上（含20歲）的有2人，記為a，b則這6人中任意選取2人，共有=15種不同狀況，分別為：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b），（3，4），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），（a，b），

其中恰好有1人在20歲以下的大事有：，（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b）共8種．故恰有1人在20歲以下的概率P=．【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)分層抽樣時(shí)，各層的抽樣比相等，結(jié)合已知構(gòu)造關(guān)于n的方程，解方程可得n值．

（2）計(jì)算出這6人中任意選取2人的狀況總數(shù)，及滿足恰有1人在20歲以下的狀況數(shù)，代入古典概率概率計(jì)算公式，可得答案K7條件概率與大事的獨(dú)立性K8離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一