數(shù)學(xué)建模及人才培養(yǎng)(紹興)

數(shù)學(xué)建模與

數(shù)學(xué)建模競賽

2011年12月8日

你為什么要到大學(xué)里來學(xué)習(xí)？在大學(xué)里你應(yīng)當(dāng)怎樣學(xué)習(xí)？（要想到將來總有一天你要走上工作崗位，那時，你能挑起大梁嗎？）浙江大學(xué)竺可楨老校長要求學(xué)生：求是創(chuàng)新，用今天的話說，就是：學(xué)習(xí)新知識，提高綜合素質(zhì)與能力

新知識：數(shù)學(xué)知識、專業(yè)知識、計算機(jī)知識、外語知識、文學(xué)藝術(shù)知識等等等等

能力：收集與處理數(shù)據(jù)的能力、觀察能力、想象能力、分析能力、邏輯推理能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力、計算機(jī)使用與編程等能力、外語能力、寫作能力、與人合作能力等。

怎樣才能上好大學(xué)要培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，（沒有興趣的學(xué)習(xí)是被動的學(xué)習(xí)）。要多動腦腦筋，不能光聽，還要多想，多提問題（例：極限究竟是什么、函數(shù)的本質(zhì)是什么？連續(xù)與可導(dǎo)有什么關(guān)系？…）要多做練習(xí)，多做不同類型的題目要適時復(fù)習(xí)（溫故而知新）要多實踐，掌握運(yùn)用知識解決實際問題的能力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模、參加數(shù)學(xué)建模實踐能使你得到全方位的鍛煉

數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。

數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）

應(yīng)用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程。

什么是數(shù)學(xué)建模

1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數(shù)據(jù)資料。

2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎(chǔ)上，通過對資料的分析計算，找出起主要作用的因素，經(jīng)必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設(shè)。

3.在所作假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具去刻劃各變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——即建立數(shù)學(xué)模型。

4.模型求解。

5.模型的分析與檢驗。

在難以得出解析解時，也應(yīng)當(dāng)借助計算機(jī)求出數(shù)值解。

數(shù)學(xué)建模的一般步驟實體信息(數(shù)據(jù))假設(shè)建模求解驗證應(yīng)用例1假設(shè)你有一杯牛奶和一杯咖啡，你從牛奶里拿出一瓢牛奶倒到咖啡里，拌勻后又從含有牛奶的咖啡里取出一瓢放回牛奶里，問題：這樣以來，是咖啡里面的牛乃多還是牛奶里面的咖啡多？例2

兄妹帶狗散步，妹妹2公里/小時，哥哥3公里/小時，狗5公里/小時，……

幾個簡單實例例3

23個人中有兩人生日相同的概率差不多是1/2，50個人中有兩人生日相同的概率為0.97，也就是說，在一個班級中幾乎總能找出兩個同一天生的人，你覺得奇怪嗎？例4（1）某人周末到郊外度假，由于交通擁擠，去度假村時平均車速為30公里/小時，傍晚回家時平均車速為20公里/小時，問這一天此人開車的平均速度是多少？

（2）假定回來時交通特別擁擠，使得此人在這一天全天開車的平均速度降到了15公里/小時，求回程時他的平均速度？例5交換座位教室里有九排座位，每排共有7個座位，座位上坐滿了學(xué)生?，F(xiàn)在教師要求每一個同學(xué)都換一個座位，并規(guī)定交換以后每人只許坐在與其原先位置相鄰的前后左右四個位子中的一個上。問：這樣的交換是否能做到，如能做到，請給出一種交換方法，如不可能做到，請說明原因（需要學(xué)生有一定的觀察、分析能力）123456714131211109815161718192021282726252423222930313233343542414039383736434445464748495655545352515057585960616263例6將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長度與重量均為1，其重心在中點(diǎn)1/2磚長處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n塊磚受到的兩個力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，從而上面n塊磚向右推出的總距離為，故磚塊向右可疊至任意遠(yuǎn)

，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。

例7

我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。顯然，這是一個對策問題，較為復(fù)雜。僅討論以下簡單情形：

敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追趕方案的設(shè)計）設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r(θ)，見圖3-2。BAA1drdsdθθ圖3-2由題意，，故ds=2dr圖3-2可看出，故有:即:（3.3）解為：（3.4）

先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離,然后按（3.4）對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。通過建立數(shù)學(xué)模型研究實際問題的幾個實例追趕方法如下：例1

交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)——亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說，在離街口距離為L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。

馬路的寬度D是容易測得的，問題的關(guān)鍵在于L的確定。為確定L，還應(yīng)當(dāng)將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時間內(nèi)駛過的路程，L2為剎車制動后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對司機(jī)的平均反應(yīng)時間t1早有測算，反應(yīng)時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來（留作習(xí)題）。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計算出L應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時間應(yīng)當(dāng)讓已過線的車順利穿過馬路，即T至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到（L+D）/v。

DL

研究應(yīng)當(dāng)步步深入

例2崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測定時間，你又怎樣來推算山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑表功能的計算器。方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運(yùn)動的公式來計算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。

我學(xué)過微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識，此時可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了反應(yīng)時間

進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時間后應(yīng)為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落的真正時間為t1，聲音傳回來的時間記為t2，還得解一個方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個非線性主程組似乎不合情理

相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。例3（最短路徑問題）

設(shè)有一個半徑為r的圓形湖，圓心為O。A、B

位于湖的兩側(cè)，AB連線過O，見圖?，F(xiàn)擬從A點(diǎn)步行到B點(diǎn)，在不得進(jìn)入湖中的限制下，問怎樣的路徑最近。

ABOr將湖想象成凸出地面的木樁，在AB間拉一根軟線，當(dāng)線被拉緊時將得到最短路徑。根據(jù)這樣的想象，猜測可以如下得到最短路徑：過A作圓的切線切圓于E，過B作圓的切線切圓于F。最短路徑為由線段AE、弧EF和線段FB連接而成的連續(xù)曲線（根據(jù)對稱性，AE′，弧E′F′，F(xiàn)′B連接而成的連續(xù)曲線也是）。EFE′F′猜測證明如下：（方法一）顯然，由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F(xiàn)′B圍成的區(qū)域R是一凸集。利用分離定理易證最短徑不可能經(jīng)過R外的點(diǎn)，若不然，設(shè)Γ為最短路徑，Γ過R外的一點(diǎn)M，則必存在直線l分離M與R，由于路徑Γ是連續(xù)曲線，由A沿Γ到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。這樣，直線段M1M2的長度必小于路徑M1MM2的長度，與Γ是A到B的最短路徑矛盾，至此，我們已證明最短路徑必在凸集R內(nèi)。不妨設(shè)路徑經(jīng)湖的上方到達(dá)B點(diǎn)，則弧EF必在路徑F上，又直線段AE是由A至E的最短路徑，直線FB是由F到B的最短路徑，猜測得證。ABOrEFE′F′M1M2MΓl

例4敏感問題的調(diào)查

因為需要，人們有時候會去調(diào)查一些敏感問題。例如，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)可能想通過調(diào)查了解在校學(xué)生中究竟有多少人在考試中作弊過，或者究竟有多少學(xué)生在談戀愛，…。衛(wèi)生部門為了控制和預(yù)防艾滋病，希望了解本地區(qū)大約有多少人是同性戀者、有多少人在吸毒，等等。直截了當(dāng)去問別人非但了解不到真實情況，還很可能會引起別人的反感，你能想出辦法來解決這一困難嗎？（分析：不能只提一個問題）培養(yǎng)分析問題的能力方法一（隨機(jī)回答法）要調(diào)查敏感問題，所提問題必定要涉及到這一敏感問題，但是，如果你直截了當(dāng)?shù)厝ヌ釂?，你又成了在打聽別人的隱私。有什么辦法可以解決這一困難呢？方法之一就是多提幾個問題，采用所謂的隨機(jī)回答法（RandomizedResponseMethod）。調(diào)查者不是只提出敏感問題，而是將此敏感問題包含在所提的問題之中，讓被調(diào)查者回答其中的一個問題。由于調(diào)查者并不知道被調(diào)查者回答的是哪一個問題，只要被調(diào)查者知道這一點(diǎn)并確信調(diào)查者不可能從自己的回答中了解到他個人的隱私，也就沒有必要再講假話了。例如調(diào)查者提出以下兩個問題：問題1）你曾經(jīng)在考試中作弊過嗎？問題2）你從不在考試中作弊嗎？

調(diào)查者又如何計算出作過弊的人所占的比例呢？這里需要用到概率論中的條件概率公式。用一個竹筒，里面裝n根竹簽，其中有p根標(biāo)有1，q根標(biāo)有2（p+q=n）。被調(diào)查者抽到1的概率為p/p+q，抽到2的概率為q/p+q。假設(shè)回答“是”的人占被調(diào)查者總數(shù)的百分比為a。從未作弊過的學(xué)生所占的比例為（1-a，由條件概率公式，回答是的比例為：k=(apn+(1-a)qn)/n，k可統(tǒng)計出來a=(k-q)/(p-q)，a即要求的數(shù)（近似值）方法二（不相關(guān)問題模型）問題1：你曾經(jīng)作弊過嗎？問題2：你是上半年出生的嗎？則可得：a=(k-rq)/p，(r為上半年生比例)

圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經(jīng)在用256/81（約3.1605）作為π的近似值了。幾千年來，人們一直沒有停止過求π的努力。方法技巧的重要性例5π的計算

古典方法

分析方法

其它方法

概率方法

數(shù)值積分方法

古典方法用什么方法來計算π的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑。起先，人們采用的都是用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近的古典方法。6邊形12邊形24邊形圓

阿基米德曾用圓內(nèi)接96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證明了由和導(dǎo)出

公元5世紀(jì)，祖沖之指出比西方得到同樣結(jié)果幾乎早了1000年

十五世紀(jì)中葉，阿爾·卡西給出π的16位小數(shù)，打破了祖沖之的紀(jì)錄

1579年,韋達(dá)證明

1630年,最后一位用古典方法求π的人格林伯格也只求到了π的第39位小數(shù)

分析方法從十七世紀(jì)中葉起，人們開始用更先進(jìn)的分析方法來求π的近似值，其中應(yīng)用的主要工具是收斂的無窮乘積和無窮級數(shù)，在本節(jié)中我們將介紹一些用此類方法求π近似值的實例。在微積分中有一類被稱為泰勒級數(shù)的公式，其中有：當(dāng)取取

在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明過下面的等式左邊三個正方形組成的矩形中，由和可得

和的展開式的收斂速度都比快得多ACBD

麥琴(Machin)給出(Machin公式)記，，得此式求得了π的第100位小數(shù)且全部正確

其它方法除用古典方法與分析方法求π的近似值以外，還有人用其他方法來求π的近似值。這里我們將介紹兩種方法：

概率方法

數(shù)值積分方法例6

在每一次人數(shù)不少于6人的聚會中必可找出這樣的3人，他們或者彼此均認(rèn)識或者彼此均不認(rèn)識。

利用圖的方法來描述該問題。將人看成頂點(diǎn)，兩人彼此都認(rèn)識用實線連，否則虛線。證明：

建模中邏輯推理能力的應(yīng)用相識問題（拉姆齊問題）

問題轉(zhuǎn)化為在一個6階圖中必存在實線三角形或虛線三角形。請大家一起畫圖證明υ2

υ1

υ3

υ4

υ6

υ5

υ1

υ2

υ3υ4

任取一頂點(diǎn)，不妨υ1考察υ2υ3、υ2υ4和υ3υ4υ2υ3、υ2υ4和υ3υ4只能是虛線，否則得證但這樣三角形υ2υ3υ4的三邊均為虛線不妨取υ1υ2、

υ1υ3、

υ1υ4

實線與υ1相連的邊必然有：實線條數(shù)不小于3或虛線條數(shù)不小于3拉姆齊問題也可這樣敘述：6階2色完全圖中必含有3階單色完全圖。其他類似可推出的結(jié)果：命題任一6階2色完全圖中至少含有兩個3階單色完全圖。

證明：前面證明必存在3階單色完全圖，不妨設(shè)υ1υ2υ3

為紅色完全圖υ1υ5、υ2υ5、υ3υ5中至少有兩條黑色、故υ1υ5與υ2υ5中至少有一條是黑色若υ4υ5υ6也是紅色三角形，命題已得證

故至少一邊與υ1υ2υ3的邊異色，不妨設(shè)υ4υ5黑色υ1υ4、υ2υ4、υ3υ4至少應(yīng)有兩條黑色，不妨設(shè)υ1υ4、υ2υ4

黑色所以存在第二個3階單色完全圖。υ2

υ1

υ3

υ4

υ6

υ5

附錄（問題）

猜測可靠嗎？觀察

你能發(fā)現(xiàn)什么。。。。。。（猜測）猜測只有被證實后才是可信的。（證明要嚴(yán)格）數(shù)字的黑洞現(xiàn)象等等，等等……。學(xué)得越多，越知道自己懂得的太少，這就是人們所說的學(xué)無止境?？傊?，人類對自然界的認(rèn)識過程是：觀察-分析思考-猜測-求證-應(yīng)用-………

在校學(xué)生既應(yīng)當(dāng)努力學(xué)習(xí)前人積累下來的知識，又應(yīng)當(dāng)去探求新知識，為后人開辟新天地，任重而道遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)建模競賽準(zhǔn)備及注意事項組隊?wèi)?yīng)體現(xiàn)取長補(bǔ)短，準(zhǔn)備應(yīng)有分工

（數(shù)學(xué)、算法、編程、軟件使用等）。

做題不在多而在精（我校一般要求每類至少各做2題）。不同基礎(chǔ)的學(xué)生應(yīng)當(dāng)用不同方法培訓(xùn)

在做題過程中培養(yǎng)快速掌握未學(xué)過的知識的能力（例：MCM99C)分析對比獲獎?wù)撐牡母鞣N做法：

（1）找出每一篇的閃光點(diǎn)

（2）學(xué)習(xí)論文寫作方法（各隊可養(yǎng)成自己的寫作習(xí)慣）善于隨時總結(jié)，找出出本隊弱點(diǎn)，及時彌補(bǔ)盲點(diǎn)。指導(dǎo)競賽的幾點(diǎn)經(jīng)驗教訓(xùn)1.

認(rèn)真選題

（例1）CMCM97(零件參數(shù)設(shè)計與截斷切割）（例2）MCM2004（quickpass與校園網(wǎng))

（例3）MCM2010（A棒球桿、B系列犯罪預(yù)測、C太平洋污染）*有時題目本身有一定的局限性：登機(jī)問題，SARS的預(yù)防等，基礎(chǔ)較好的隊?wèi)?yīng)盡量避免做這種題目。2.充分查閱資料（例1）MCM2000A題（自行車競賽資料、自行車資料及賽場資料等）（例2）MCM2004A題（指紋鑒定與DNA鑒定)指紋鑒定的原理、指紋的收集等（例3）小行星撞擊地球隕石坑形狀、南極的地貌與環(huán)境、地震與海嘯、南極附近海域的生態(tài)狀況等，在此基礎(chǔ)上找出解決問題的主攻方向3.解答要符合題意，要有清晰的思路，要有總體安排

（例1）MCM2004B(quickpass)（例2）上海世博會的影響力（1.如何采集數(shù)據(jù)，2.如何通過對比加強(qiáng)說服力）

5.要區(qū)分問題與實例（例）災(zāi)情巡視（Multi-TSP——近似算法？）6.算法要好例（整理問題）給定n個實數(shù)a1,a2,…,an，要求將它整理成由小到大排列（或由大到小排列）的順序：b1,b2，…，bn，b1≤b2≤…≤bn。（算法比較）多項式算法與指數(shù)算法，P問題與NP難題，（計算量的估計）。7.算法思想的敘述應(yīng)注意簡單清晰（例）CMCM99A（自動化機(jī)床管理）

8.論文是研究成果，要反復(fù)修改寫論文要早開始論文要寫得像論文論文的各部分都要注意到