云南省昆明市2024屆高三“三診一模”摸底診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試卷

數(shù)學(xué)試卷·第1頁（共10頁）秘密★啟用前【考試時(shí)間：1月15日15∶00—17∶00】昆明市2024屆高三“三診一?！泵自\斷測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合，，則 A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且的縱坐標(biāo)為，則 A． B． C． D．4．在中，點(diǎn)滿足，則 A． B． C． D．5．某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)男子100m決賽中，八名選手的成績(jī)（單位：）分別為：，，，，，，，，則下列說法錯(cuò)誤的是 A．若該八名選手成績(jī)的第百分位數(shù)為，則 B．若該八名選手成績(jī)的眾數(shù)僅為，則 C．若該八名選手成績(jī)的極差為，則 D．若該八名選手成績(jī)的平均數(shù)為，則6．，且，則 A． B． C． D．7．若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”．已知，互為“平行函數(shù)”，則 A． B． C． D．8．第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICNE7）的會(huì)徽?qǐng)D案是由若干三角形組成的．如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個(gè)三角形的斜邊與第一次重疊為止．則所作的所有三角形的面積和為 A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，則 A． B．與平面所成的角為C． D．平面10．已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)最大時(shí)，則 A．直線的斜率為1 B．四邊形的面積為 C． D．11．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密（Ptolemy85-165）對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他研究出角與弦之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表．托勒密用圓的半徑的作為一個(gè)度量單位來度量弦長(zhǎng)，將圓心角（）所對(duì)的弦長(zhǎng)記為．例如圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)等于60個(gè)度量單位，即．則 A． B．若，則 C． D．（）12．已知函數(shù)，則 A．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn) C．存在，使得有3個(gè)零點(diǎn) D．存在，使得有5個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)（）在角終邊上，且，則的值可以是.（寫一個(gè)即可）14．春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個(gè)敬老院做義工，每個(gè)敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個(gè)敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為.（用數(shù)字作答）15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個(gè)交點(diǎn)為，若為等腰三角形，則的離心率為．16．已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為．四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在中，，，.（1）求的面積；（2）如圖，，，求.18．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，，．（1）證明：平面平面；（2）若存在，求；若不存在，說明理由．20．（12分）聊天機(jī)器人（chatterbot）是一個(gè)經(jīng)由對(duì)話或文字進(jìn)行交談的計(jì)算機(jī)程序．當(dāng)一個(gè)問題輸入給聊天機(jī)器人時(shí)，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對(duì)某款聊天機(jī)器人進(jìn)行測(cè)試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則應(yīng)答被采納的概率為30%．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%．（1）求一個(gè)問題的應(yīng)答被采納的概率；（2）在某次測(cè)試中，輸入了8個(gè)問題，每個(gè)問題的應(yīng)答是否被采納相互獨(dú)立，記這些應(yīng)答被采納的個(gè)數(shù)為，事件（）的概率為，求當(dāng)最大時(shí)的值.21．（12分）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在不過原點(diǎn)的直線上，交于，兩點(diǎn).當(dāng)與互補(bǔ)時(shí)，，.（1）求的方程；（2）證明：為定值.22．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍.

昆明市2024屆高三“三診一?！泵自\斷測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單選題；二、多選題題號(hào)123456789101112答案CADCABBDABACBCDBCD三.填空題13.（,,均可）14.15.16.17．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理可得，解?又因?yàn)?，所?………5分（2）由（1）可知，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，即，故，所以，，在中，由余弦定理可得，解?………10分18．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即.……6分（2）由題意，，則，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以.…12分19．解：（1）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得，又，所以平面，由平面得，平面平面．………………6分（2）存在點(diǎn)滿足條件，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則令得，所以平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由已知得，即，解得，即，所以存在點(diǎn)使平面與平面的夾角為，此時(shí)．…………12分20．解：（1）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件，“一次應(yīng)答被采納”為事件，由題意，，，則，.……6分（2）依題意，，，當(dāng)最大時(shí)，有即解得：，，故當(dāng)最大時(shí)，.……………12分21．解：（1）因?yàn)榕c互補(bǔ)，所以與關(guān)于軸對(duì)稱，所以軸，又因?yàn)橹本€過，故的方程為.設(shè)在第一象限，因?yàn)椋瑒t，設(shè)為的左焦點(diǎn)，則，故，即,因?yàn)樵谏?，，解得，所以的方程?……………6分（2）設(shè)，，直線，聯(lián)立得，，，所以，…………9分故，所以為定值.…………12分22．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，得，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，令，得或.ⅰ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.ⅱ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.ⅲ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上