經(jīng)濟數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件：大數(shù)定律和中心極限定理

大數(shù)定律和中心極限定理第一節(jié)大數(shù)定律一、切比雪夫不等式----切比雪夫不等式

定理1設(shè)隨機變量的期望

，方差

存在，則對于任意例1設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率都是0.7，假定開、關(guān)相互獨立，用中心極限定理估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率．

設(shè)表示夜晚同時開著的燈數(shù)，則解：利用切比雪夫不等式估計注：（1）切比雪夫不等式適用范圍廣；（2）該不等式只對概率給了大概的估計范圍，精度不高，故只要用于理論研究和證明。二、大數(shù)定律定義1設(shè)是一隨機變量序列，如果存在某隨機變量，使得對任意，有則稱隨機變量序列依概率收斂于隨機變量，記為.在充分大時，則稱隨機變量序列滿足大數(shù)定律。定義2設(shè)隨機變量序列的數(shù)學(xué)期望都存在，且滿足若令,則*式可表示為：定理2（切比雪夫大數(shù)定律）則隨機變量序列滿足大數(shù)定律。設(shè)為獨立的隨機變量序列，若存在常數(shù)，使得定理3（伯努利大數(shù)定律）設(shè)為次重復(fù)獨立試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的，有定理4（辛欽大數(shù)定律）設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，且,則隨機變量序列滿足大數(shù)定律。第二節(jié)中心極限定理正態(tài)分布是貫穿概率論始終的一種最重要的分布，為什么如此重要？

正態(tài)分布最常見，現(xiàn)實生活中很多的

隨機變量都是服從或近似服從正態(tài)分布的。定理1（林德伯格-列維中心極限定理）一、獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機變量相互獨立，服從同一分布，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機變量之和的標準化變量的分布函數(shù)對任意實數(shù)，有定理1表明：

獨立同分布的隨機變量的和的標準化變量，在充分大時，近似服從標準正態(tài)分布，即：故從而，解：

表示第頁的錯誤數(shù)，例1已知一本書有500頁，每一頁的印刷錯誤個數(shù)服從泊松分布,各頁有沒有錯誤相互獨立，求這本書的錯誤個數(shù)不少于90個的概率.設(shè)表示這本書的錯誤總數(shù)，因獨立同分布,500充分大，故解：

表示第次命中目標的炸彈數(shù)例2對敵人的防御地段進行100次轟炸，每次命中目標的炸彈數(shù)是一個隨機變量，期望為2，方差為1.69，求100次轟炸中有180到200顆炸彈命中目標的概率.設(shè)表示命中目標的炸彈總數(shù)，因獨立同分布,100充分大，故定理2（棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）二、棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的二項分布，即，則隨機變量的標準化變量的分布函數(shù)對任意實數(shù)，有定理2表明：

若隨機變量，則其標準化變量，在充分大時，近似服從標準正態(tài)分布，即：故例3設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率都是0.7，假定開、關(guān)相互獨立，用中心極限定理估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率．

設(shè)表示夜晚同時開著的燈數(shù)，則解：10000充分大，例4在一家保險公司有一萬人參加保險，每年每人付12元保險費．在一年內(nèi)這些人死亡的概率都為0.006，死亡后家屬可向保險公司領(lǐng)取1000元，試求：（1）保險公司一年的利潤不少于6萬元的概率；（2）保險公司虧本的概率。設(shè)表示一萬人中一年的死亡人數(shù)，則解：10000充分大，保險公司一年的利潤為：例4在一家保險公司有一萬人參加保險，每年每人付12元保險費．在一年內(nèi)這些人死亡的概率都為0.006，死亡后家屬可向保險公司領(lǐng)取