經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課件：邊際成本和收益的計(jì)算

邊際成本和收益的計(jì)算名言恩格斯在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了。故事有一個(gè)人，他的名字叫杰米揚(yáng)，他特別會(huì)做湯，所以他也以此為榮，每當(dāng)客人到他家做客的時(shí)候，杰米揚(yáng)必然要給客人做湯。這一天，他的一個(gè)朋友來他家做客，他給朋友調(diào)制了一盆味道非常好的湯。朋友很快就喝完了盛上來的第一碗湯。還沒等朋友說話呢，杰米揚(yáng)馬上大聲說，真是美味的湯，再來一碗，說著立刻為朋友盛上了第二碗湯，朋友和杰米揚(yáng)一邊聊天一邊喝湯，一會(huì)這碗湯也被喝了下去。杰米揚(yáng)馬上為朋友盛來了第三碗湯，朋友說喝不下去了，杰米揚(yáng)卻說，我的湯很好喝，喝吧！朋友勉強(qiáng)又喝下了這第三碗湯。杰米揚(yáng)沒等朋友說話呢，就說再喝一碗吧，多么好喝的湯??！結(jié)果朋友連飯也沒吃，酒也沒喝，被杰米揚(yáng)的湯嚇得落荒而逃……目錄邊際成本問題及解決方案1.微軟數(shù)學(xué)使用初步率2.邊際分析典型案例3.進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)4.第一節(jié)邊際成本問題及解決方案一、問題引入從杭州開往南京的長途車即將出發(fā)。無論哪個(gè)公司的車，票價(jià)均為50元。一個(gè)匆匆趕來的乘客見一家國營公司的車上尚有空位，要求以30元上車，被拒絕了。他又找到一家也有空位的私人公司的車，售票員二話沒說，收了30元允許他上車了。哪家公司的行為更理性呢？第一節(jié)邊際成本問題及解決方案二、典型問題解決方案成本函數(shù)(costfunction)：是指生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需要的全部經(jīng)濟(jì)資源投入（包括勞動(dòng)力、原材料、設(shè)備等）的價(jià)格或費(fèi)用的總額。它由固定成本和可變成本組成。一般情況下，成本用表示，產(chǎn)品產(chǎn)量用表示，則成本是產(chǎn)量的函數(shù)，用表示。第一節(jié)邊際成本問題及解決方案案例1：我們以成本函數(shù)為例，考查產(chǎn)量

（1）在處的變化率；（2）在處的變化率。第一步：求：

第一節(jié)邊際成本問題及解決方案第二步：求平均變化率第三步：求極限，當(dāng)無限趨近0時(shí)，函數(shù)的值無限趨近

，即第一節(jié)邊際成本問題及解決方案所以，成本函數(shù)在處的變化率為同理，成本函數(shù)在處的變化率為定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作，，或并稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。第一節(jié)邊際成本問題及解決方案定義2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)對于區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)值，都有惟一確定的導(dǎo)數(shù)值與之對應(yīng)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱為函數(shù)對的導(dǎo)函數(shù)，記作，，或即在不至于引起混淆的情況下,導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)。第一節(jié)邊際成本問題及解決方案

概念2：邊際函數(shù)(marginalfunction)

設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)，則稱導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的邊際函數(shù)。稱在處的值為邊際函數(shù)值。用邊際函數(shù)來分析經(jīng)濟(jì)量的變化，就稱為邊際分析。

概念3：邊際成本(marginalcost)

設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，當(dāng)總成本函數(shù)可導(dǎo)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)叫做產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本。第一節(jié)邊際成本問題及解決方案邊際成本

的經(jīng)濟(jì)意義為：在產(chǎn)量為時(shí)再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本的“近似”改變量為。第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步一、微軟數(shù)學(xué)軟件簡介微軟數(shù)學(xué)(MicrosoftMathematics)是一款適合于學(xué)生和教師的計(jì)算軟件，從微軟官方網(wǎng)站可以免費(fèi)下載該軟件。它的強(qiáng)大功能主要體現(xiàn)在7個(gè)方面：①強(qiáng)大的多種解方程、不等式或方程組的功能；②常用數(shù)學(xué)與科學(xué)公式和方程庫；③向?qū)浇獯鸺疤峁┫嚓P(guān)計(jì)算；④直觀形象的圖形計(jì)算器；⑤三角形計(jì)算器；⑥單位轉(zhuǎn)換器；⑦手寫輸入。第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步圖3-1MicrosoftMath的主界面第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步二、利用微軟數(shù)學(xué)求導(dǎo)數(shù)案例1：求的導(dǎo)數(shù)第一步：在主界面左側(cè)的計(jì)算器鍵盤中依次點(diǎn)擊【微積分】→

【】第二步：在右側(cè)工作表輸入窗口的括號(hào)“()”中輸入函數(shù)

圖3-2輸入函數(shù)第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步第三步：單擊工作表右下角的【輸入】，顯示求導(dǎo)結(jié)果為圖3-3輸出結(jié)果第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步三、利用微軟數(shù)學(xué)進(jìn)行二維繪圖案例2：作一次函數(shù)的圖像。第一步：單擊主界面的【繪圖】按鈕。第二步：在展開的【方程和函數(shù)】下拉菜單中選擇“二維”

及“笛卡爾坐標(biāo)”。

第三步：單擊第一個(gè)輸入框。第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步第四步：輸入框以放大的形式出現(xiàn)，在這個(gè)放大的輸入框內(nèi)輸入函數(shù)表達(dá)式單擊【輸入】圖3-4輸入函數(shù)第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步第五步：單擊【圖形】按鈕，出現(xiàn)如圖3-5所示的函數(shù)圖像。圖3-5一次函數(shù)圖像第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步案例3：作二次函數(shù)的圖像圖3-6二次函數(shù)圖像第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步四、綜合應(yīng)用案例案例4：生產(chǎn)某產(chǎn)品件時(shí)的總成本函數(shù)為（百元），求產(chǎn)量為100件時(shí)的邊際成本。解求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第一步：在工作表中輸入圖3-7輸入函數(shù)第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步第二步：點(diǎn)擊【輸入】按鈕得(百元／件)，所以，產(chǎn)量為100件時(shí)的邊際成本為(百元/件)(元／件)

由邊際成本可知，生產(chǎn)第101件產(chǎn)品所花費(fèi)的成本為800元，這與實(shí)際成本804元已很接近。第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步案例5：求成本函數(shù)為的邊際成本函數(shù)，以及產(chǎn)量分別為50、100、200時(shí)的邊際成本，并指出它們的經(jīng)濟(jì)意義。解第一步：在工作表中輸入圖3-9輸入函數(shù)第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步第二步：點(diǎn)擊【輸入】按鈕得，即于是，產(chǎn)量為50、100、200時(shí)的邊際成本分別為第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步它們的經(jīng)濟(jì)意義是:在產(chǎn)量分別為50、100、200時(shí)的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本的增加分別為17.5、10、40。第二節(jié)微軟數(shù)學(xué)使用初步邊際成本函數(shù)是二次函數(shù)，圖形為開口向上的拋物線注意：微軟數(shù)學(xué)二維繪圖的方程必須包含變量或，因此邊際成本函數(shù)輸入時(shí)變成。第三節(jié)邊際分析典型案例一、問題引入有一個(gè)房地產(chǎn)老板投資5000萬元去建一棟30層的房子，預(yù)期投資回報(bào)率為25%，但建到第29層的時(shí)候就沒錢了，于是他就到民間放貸人那里去借500萬元，月息為5%（如果折算成年息就是60%，這樣的利率絕不是危言聳聽，而是現(xiàn)實(shí)存在的），這樣的利率看起來很高，但實(shí)際上是沒有關(guān)系的。為什么投資回報(bào)率只有25%的房地產(chǎn)投資項(xiàng)目可以承擔(dān)起年息60%的高利貸呢？有了邊際分析法，算算邊際收益，你就會(huì)理解投資者即使投資回報(bào)率很低的項(xiàng)目有時(shí)也可以承擔(dān)起高利息的。第三節(jié)邊際分析典型案例二、典型案例概念1：邊際收益(marginalbenefit)：設(shè)銷售某種產(chǎn)品個(gè)單位時(shí)的總收益函數(shù)為。當(dāng)總收益函數(shù)可導(dǎo)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)叫做銷量為時(shí)的邊際收益。邊際收益

的經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷量為個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品，總收益的增量為。第三節(jié)邊際分析典型案例案例1：銷售某商品臺(tái)的收益函數(shù)為（元），試求：（1）邊際收益函數(shù)；（2）銷量為200臺(tái)時(shí)的邊際收益。解（1）邊際收益函數(shù)為（元／臺(tái)）（2）銷量為200臺(tái)時(shí)的邊際收益為（元／臺(tái)）第三節(jié)邊際分析典型案例案例2：設(shè)某產(chǎn)品的收益函數(shù)為（元），試求：（1）邊際收益函數(shù)；（2）產(chǎn)量分別為9000、10000、11000臺(tái)時(shí)的邊際收益，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。解（1）邊際收益函數(shù)為（元／臺(tái)）（2）（元）（元）（元）第三節(jié)邊際分析典型案例經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量為9000個(gè)單位時(shí)，若再增加一個(gè)單位產(chǎn)品，收益增加20元；當(dāng)產(chǎn)量為10000個(gè)單位時(shí)，若再增加一個(gè)單位產(chǎn)品，收益沒有增加；當(dāng)產(chǎn)量為11000個(gè)單位時(shí)，若再增加一個(gè)單位產(chǎn)品，收益減少20元。第三節(jié)邊際分析典型案例概念2：邊際利潤(marginalprofit)：設(shè)銷售某種商品個(gè)單位時(shí)的利潤函數(shù)為。當(dāng)可導(dǎo)時(shí)，稱為銷售量為時(shí)的邊際利潤。因于是可得即邊際利潤等于邊際收入與邊際成本之差。邊際利潤

的經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷量為個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，再銷售一個(gè)單位產(chǎn)品，總利潤的增量為。案例3：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天的總利潤（元）與產(chǎn)量（噸）之間的關(guān)系為：求時(shí)的邊際利潤，并解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟(jì)意義。解邊際利潤函數(shù)為當(dāng)，（元）。它表示在每天生產(chǎn)10噸的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤將增加150元。當(dāng)，（元）。它表示在每天生產(chǎn)25噸的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤沒有變化，這一噸產(chǎn)量并沒有產(chǎn)生利潤。第三節(jié)邊際分析典型案例當(dāng)，（元）。它表示在每天生產(chǎn)30噸的基礎(chǔ)上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤就要減少50元。第三節(jié)邊際分析典型案例從上例可以看出，生產(chǎn)決策者不能只盲目地追求產(chǎn)量，還需根據(jù)利潤的變化情況，確定適當(dāng)?shù)漠a(chǎn)量指標(biāo)。第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)一、導(dǎo)數(shù)概念定義1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且存在，則稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作，，或并稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)。第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)定義2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)對于區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)值，都有惟一確定的導(dǎo)數(shù)值與之對應(yīng)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱為函數(shù)對的導(dǎo)函數(shù)，記作，，或即在不至于引起混淆的情況下,導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)。第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),可分為三步:（1）求出對應(yīng)于自變量增量的函數(shù)增量：（2）算比值：（3）求極限：第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)例1：求常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（為常數(shù)）解（1）求增量：（2）算比值：（3）取極限：第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)例2：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解（1）求增量：（2）算比值：（3）取極限：即從而得第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)如：一般地,對于冪函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）;;類似地，可得下列導(dǎo)數(shù)公式：第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則函數(shù)、

、在點(diǎn)處也可導(dǎo),且二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

推論1當(dāng)（常數(shù)）,則第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)推論2例1設(shè)，求解例2設(shè)，求解第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)例3設(shè)，求解例4設(shè)，求解

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)即類似可得例5解設(shè)，求即類似可得第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)例6解設(shè)，求

第四節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：導(dǎo)數(shù)定理2如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),而