2023-2024學(xué)年浙江省臺州市高二年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年浙江省臺州市高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.集合a=[x\x<3},集合B={2,3,4,5},則4nB=()

A.{x\x<3}B.{2,3}

C,{2,3,4,5}D.{x\x<3或x=4或x=5}

2.復(fù)數(shù)z及其共軌復(fù)數(shù)萬滿足z+2，=3+2i(其中i是虛數(shù)單位)，貝！|z=()

22

A.-3+—iB.-3——iC.1+2iD.l—2i

3.已知向量2=(1,%),b=(%,4),xGR.若(a+b)〃力，則%=

A.2B.2或-2C.-4D.-4或—1

4已知a力為正實(shí)數(shù),衰+1=L則

A.ab的最小值為4B.ab的最大值為4C.就的最小值為2D.ab的最大值為2

5.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=sin2久.記fi(x)=f(%),對任意的nGN*,/n+i(x)=[fn(x)]',則/12024

0)=()

A.sin2xB.-cos2xC.—22023cos2xD.22024sin2x

6.甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙兩人在同一排相鄰的排法共有

A.12種B.24種C.36種D.48種

7.現(xiàn)有2道單選題，假定學(xué)生張君對每道題有思路與無思路的概率均為05他對題目若有思路，做對的概率

為0.75：若沒有思路，做對的概率為0.25.在已知張君恰做對1題的條件下，則其恰有1題有思路的概率為

A工B—c—￡)—

A16D-2J168

32

8.設(shè)/(久)=a3x+a2x+arx+。。(的由二g6R且豐0),方程/'(久)=。在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的三個(gè)根為久1,冷

2

，久3，可以將上述方程變形為&30-巧)0-刀2)0-刀3)=。，展開得到口3久^一(^(孫+X2+X3)X+CZ3(^1^2+

*2X3+*3%1)刀一口3萬1*2乂3=。，比較該方程與方程/(X)=0，可以得到乂1+*2+乂3=-智%1^2+X2X3+

乂3%1=詈，=-猾?已知/(i)=1+是虛數(shù)單位)，且12110^球411/是/0)=°的三個(gè)實(shí)根，則tan

(a+S+y)=

A.1B.-1C.2D,-2

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列命題正確的是()

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A.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布貝亞X)=|

B,若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(5,4),則P(X>7)+P(XN3)=1

C.當(dāng)事件4B,C兩兩獨(dú)立時(shí)，P(ABC)=P(4)P(B)P(C)

D.當(dāng)事件48,。兩兩互斥時(shí)，P(4+B+C)=P(4)+P(B)+P(C)

10.關(guān)于函數(shù)f(久)的圖象的切線，下列說法正確的是

A.在點(diǎn)4(1,1)處的切線方程為y=3x-2

B.經(jīng)過點(diǎn)力(1,1)的切線方程為y=3x-2

C.切線-kx+b(k豐0)與y=/(x)的圖象必有兩個(gè)公共點(diǎn)

D,在點(diǎn)P(xi，琳)處的切線過點(diǎn)Q(%o就)(配H%i),則xo=-2%i

11.已知AABC的內(nèi)角48,c所對的邊分別為a,b,c,其中a為定值.若AABC的面積5=我，貝U

A.tanA的最大值為gB.房+o2的最小值為2a2

C.AABC周長的最小值為("+l)aD］的取值范圍是愕匚,史尹］

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(%+2y戶的展開式中爐好的系數(shù)是_(用數(shù)字作答).

13.已知a,0G(。3)，sin(a—￡)cosacos。=彳，則tan(a—￡)=,cos(cr+0)=.

14.在正方體48CD—48忑1。1中，P為正方形4DD1&的中心，直線/<=底面4BCD,則二面角I-P的平

面角的正弦值的最大值是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

TT

15.已知函數(shù)/(%)=2sin(3%-。)(3>0,0<(p<^),x6R.給出如下三組條件：

①函數(shù)f(x)的最小正周期為兀，且當(dāng)X=罵時(shí)，f(x)取到最大值；

②函數(shù)/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間是裳同(kGZ),單調(diào)遞增區(qū)間是麻—色,/OT+g］(fcGZ)；

③句,久2是方程f(x)=1的兩個(gè)根，|%1-初的最小值為今且/弓+乂)+=0.

從這三組條件中任選一組作為條件，完成以下問題：

(I)求函數(shù)/(X)的解析式；

(口)若/■玲+勺=|,求f(%o+罵)的值.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答給分.

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1

16.已知函數(shù)/'(x)=|x-cz|+■^詢?yōu)榕己瘮?shù).

(I)求實(shí)數(shù)a的值；

(E)若不等式f(x)2人恒成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

17.如圖，在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AB1BC,AB=BB、=2,BC=24.點(diǎn)￡?,E分另1J是棱4C、CCr

的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段&E上.

(I)若而=2而，求證：47/平面8DE；

(H)若三棱錐F-4BD的體積為岑，求直線BF與平面441cle所成角的正切值.

比

18.已知函數(shù)/(x)=in(x+a)(aGR).

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)/(幻的單調(diào)區(qū)間；

(11)當(dāng)。=1時(shí)，證明：/(X)<1%+1;

(HI)若f(x)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.在做拋擲質(zhì)地均勻硬幣的試驗(yàn)過程中，將正面朝上記作1,反面朝上記作0,記錄結(jié)果得到一串由。和1

構(gòu)成的序列.在序列中，規(guī)定：僅有數(shù)字0相連的排列稱為由0構(gòu)成的游程；僅有數(shù)字1相連的排列稱為由1

構(gòu)成的游程.如在序列000111110100001101110010011000中，共有13個(gè)游程，其中由0構(gòu)成的游程有7

個(gè)，分別是000,0,0000,0,00,00,000；由1構(gòu)成的游程有6個(gè),分別是11111,1,11,111,1,11.

(I)由2個(gè)。和3個(gè)1隨機(jī)構(gòu)成的序列中，求游程個(gè)數(shù)的分布列與期望；

(E)由爪個(gè)0和n個(gè)1隨機(jī)構(gòu)成的序列，記作的42a3",%n+n,記事件41=a=1}，Ak={a—=0,ak

=l],k=2,3,+n.

(i)求「(41)，(42)；

(ii)求游程個(gè)數(shù)的期望.

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參考答案

1.5

2.D

3.B

4.A

5.C

6.C

7.0

8.B

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.40

13.272;1

14號

15.解：(I)若選擇①：由題知7=穿=兀，故3=2.

當(dāng)久=備兀時(shí)，2x招一9=2kit+5,kG.Z,

TTIT

故0=§—24兀，又OVRVTT,故

TT

所以/(%)=2sin(2%-§).

若選擇②：由單調(diào)區(qū)間可知周期為"，故T弋=71,故3=2.

由題意知當(dāng)x=一臺時(shí)，/(x)取最小值，即2x(-右一卬=2kn-^,kEZ,

故9=^-2kn.又O<0V5,故0=會，

TT

所以/(%)=2sin(2%-§).

若選擇③：令/(%)=1,即2sin(3%-0)=1,

由圖象可知，0)一(3%2―0)12[9+2面)一償+2附|=冬,

第4頁，共9頁

即皿%2-%l)|min=空，又|%1-%2|的最小值為與，故3=2.

由/(^+%)+悵-x)=0可知/(%)的對稱中心為60)，

當(dāng)久二，寸，2X看一W=kn,/ceZ,故0二^—kn,

又。<0<7T,故

TT

所以f(x)=2sin(2x-g).

(II)由/(y+器)=2sinx0=|,得sinx0=1,

2

故f(x0+罵)=2sin(2x0+方)=2cos2x0=2(l-2sinx0)=-y.

16.解：(I)f(x)的定義域?yàn)椋鹸\x豐a],

因?yàn)槿耸?是偶函數(shù)，其定義域要關(guān)于原點(diǎn)對稱，故a=0,

且此時(shí)f(x)=\x\+尚為偶函數(shù)，故a=0滿足題意.

(n)/(%)2人等價(jià)于|%|+尚n。久恒成立，

11

當(dāng)久>0時(shí)，上式等價(jià)于久即邁，故b4l；

11

當(dāng)光<0時(shí)，上式等價(jià)于一久一、>bx,即bN-1-^7，故。N.

綜上可得，b的取值范圍是一1<b<1.

17.解：(I)如圖，連接MF,

4----------------Tfg]

D\/

C

由題意可知A/h=2CiE,ArF=2FE,5./-AAXF=AC^EF,

所以△44iFs△crEF,

第5頁，共9頁

得NAFAi="iFE,故共線.

故。后是4AC。的中位線，

故AF//DE,DEc平面BDE,AE年平面BDE,

所以AF〃平面BDE.

(E)過點(diǎn)B作14C交AC于點(diǎn)H,連接FH,FB.

由題可知AAX1平面ABC,BHu平面ABC,故AA11BH,

又BH1AC,441C4C=力，A4i/Cu平面44道1。，故BH1平面44停傳，

所以乙BFH就是直線BF與平面441cle所成角.

記點(diǎn)F到平面ABC的距離為h,

由F-ABD=4S/IABD%=*h=字，得八=|^，

故F為&E的中點(diǎn)，即DF=h.

在△ABC中，BH=ABsin60°=,AH=ABcos60°=1,故=1,

得HF=皿/2+力尸2=乎故tan/BF”=器=總擘，

2Dr13

所以直線BF與平面AA^C所成角的正切值為唁.

V

18.解：(I)當(dāng)a=0時(shí)，/0)=而，函數(shù)/⑴的定義域?yàn)?0,1)u(1,+8),

Inx—1

Zn2x

令f'(x)＞0,解得x＞e；

令f，(x)＜0,解得0＜久＜1或1＜久＜e,

故函數(shù)/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間是(e,+8),

函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),(l,e).

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x

(U)當(dāng)a=1時(shí)，以x)=ln(x+1),函數(shù)以x)的定義域?yàn)?-1,0)U(0,+8),

1X1

不等式f(%)V5%+1就是不等式in(無+1)V/+1(*),

當(dāng)—l<x<0時(shí)，(*)式等價(jià)于ln(x+1)(系2；y

當(dāng)x>。時(shí)，(*)式等價(jià)于In(久+1)〉M.

設(shè)g)=ln(x+1)一備,〃⑴=—型=(久+1<+2/>0，

故h(x)在(一1,+oo)上單調(diào)遞增，

故當(dāng)一l<x<0時(shí)，/i(x)</i(0)=0,即ln(x+l)<^^；

2y

當(dāng)久>0時(shí)，h(久)>八(0)=0,即ln(x+l)>^^.

故原式成立.

(IE)設(shè)t=x+a,令g(t)=^7，

f(x)既有極大值又有極小值等價(jià)于g(t)既有極大值又有極小值.

g'?)=lnt~~，記s(C)==Int+y-l,

ln2t1L

故S(t)在(0,1)U(1,+8)至少有兩個(gè)不同的根，

故a=t-tlnt在(0,1)U。+oo)至少有兩個(gè)不同的根，

記y=t—tint，故y'=—Int,

故在te(0,1)時(shí)，y單調(diào)遞增；在tE(1,+8)時(shí)，y單調(diào)遞減.

易知當(dāng)%>0時(shí)，In%<x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1等號成立.

下面考慮0Vt<1,

一方面有，y=t—tint==t+2dn^<t+=2y/t-t=,

2

另一方面有，y=t—tint>t—t(t—1)=2t—t=y2,

故當(dāng)ovtv1時(shí)，yivy<丫2.

當(dāng)t-0+時(shí)，yi70+且丫27。+，故y-0+.

又t=l時(shí)，y=1；時(shí)，y=0.

畫出y=t-tlnt的圖象如下，

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y

當(dāng)aNl或aWO時(shí)，方程a=t-tlnt至多一個(gè)根，故不合題意；

當(dāng)0<a<1,方程a=t-tlnt有兩個(gè)根ti，t2滿足0<ti<l<t2<e,

當(dāng)te(0,ti)時(shí),s(t)>0；當(dāng)t6?排2)時(shí)，s(t)<0；

當(dāng)te(t2,+oo)時(shí)，s(t)>o,

故tl為極大值，t2為極小值，

此時(shí)g(t)既有極大值又有極小值，也即/(X)既有極大值又有極小值.

19.解：(I)設(shè)X表示游程的個(gè)數(shù),則Xe{234,5},

由2個(gè)。和3個(gè)1在排列時(shí)，共有髭=10種排列，

當(dāng)X=2時(shí)，有2種排列：11100,00111；

當(dāng)X=3時(shí)，有3種排列：10011,11001,01110；

當(dāng)X=4時(shí)，有4種排列：10110,11010,01011,01101；

當(dāng)