2024學(xué)年莆田市十五中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷及答案解析

學(xué)年莆田市十五中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若點是橢圓上任意一點，分別是的左、右焦點，則（）A． B．2 C． D．42．等比數(shù)列中，、是方程的兩根，則的值為（

）A． B． C． D．3．已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，焦距為，則該橢圓的方程為（）A．B．C． D．4．在等差數(shù)列中，，若它的前項和有最大值，則當(dāng)時，的最大值為（

）A．11 B．12 C．13 D．145．雙曲線上一點到該雙曲線的一個焦點的距離為，則點到另一個焦點的距離是（）A． B． C．， D．，6．若曲線是雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．或7．已知點為雙曲線左支上的一點，分別為的左?右焦點，則（

）A．2 B．4 C．6 D．88．如圖，唐金筐寶鈿團花紋金杯出土于西安，這件金杯整體造型具有玲瓏剔透之美，充分體現(xiàn)唐代金銀器制作的高超技藝，是唐代金銀細(xì)工的典范之作.該杯主體部分的軸截面可以近似看作雙曲線的一部分，若的中心在原點，焦點在軸上，離心率，且點在雙曲線上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，成等比數(shù)列，則（

）A． B．C．當(dāng)時，是的最大值 D．當(dāng)時，是的最小值10．對于曲線，下面說法正確的是（

）A．若，曲線C的長軸長為4B．若曲線是橢圓，則的取值范圍是C．若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍是D．若曲線是橢圓且離心率為，則的值為或11．已知分別為橢圓的左、右焦點，下列說法正確的是（

）A．若點的坐標(biāo)為，P是橢圓上一動點，則線段長度的最小值為B．若橢圓上恰有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是C．若圓的方程為，橢圓上存在點P，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則橢圓E的離心率的取值范圍是D．若點的坐標(biāo)為，橢圓上存在點P使得，則橢圓的離心率的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則．13．已知P為橢圓C上一點，，為C的兩個焦點，，，則C的離心率為．14．已知為橢圓的兩個焦點，M為橢圓C上一點，若，則的面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數(shù)列滿足，的前n項和為．(1)求及；(2)令，求數(shù)列的前n項和．16．已知雙曲線的漸近線方程為，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長．17．已知點和點在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過點P的直線l交橢圓C于一點B，且的面積為，求直線l的方程.18．已知橢圓的左頂點為，右頂點為，橢圓上不同于點的一點滿足.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，直線交于點，證明：點在定直線上.19．已知曲線上的點滿足，曲線過點的切線與直線相交于點.(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

參考答案1．【答案】D【詳解】由方程可知：，由橢圓的定義可知．故選：D．2．【答案】D【詳解】由韋達(dá)定理可得，因此，.故選：D.3．【答案】D【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由得，由得，故，所以該橢圓的方程為.故選：D.4．【答案】A【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為有最大值，故，即，又，即一正一負(fù)，而，所以，，又由得，故所以，，則，，則當(dāng)時，的最大值為.故選：A.5．【答案】A【詳解】由已知雙曲線，可知，，設(shè)雙曲線的兩焦點分別為，，不妨設(shè)，則,解得或，又雙曲線上的點到焦點的距離，所以，故選：A.6．【答案】D【詳解】曲線是雙曲線，則異號.則，解得.故選：D.7．【答案】B【詳解】因為為雙曲線左支上的一點，分別為的左?右焦點，所以，故，由于，所以.故選：B8．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的方程為：，因為離心率，故半焦距，故，而雙曲線過，故，解得，故雙曲線的方程為：，故選：C.9．【答案】ACD【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，即可得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、求和公式及單調(diào)性判斷即可.【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，即，整理得，因為，所以，所以，則，故A正確、B錯誤；當(dāng)時單調(diào)遞減，此時，所以當(dāng)或時取得最大值，即，故C正確；當(dāng)時單調(diào)遞增，此時，所以當(dāng)或時取得最小值，即，故D正確；故選：ACD10．【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】曲線，A選項，，，則，A選項正確.B選項，若曲線是橢圓，則，解得且，所以B選項錯誤.C選項，若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得，C選項正確.D選項，曲線是橢圓且離心率為，，由B選項的分析可知且，當(dāng)時，橢圓焦點在軸上，，解得；當(dāng)時，橢圓焦點在軸上，，解得，所以的值為或，D選項正確.故選：ACD11．【答案】BCD【分析】A選項，設(shè)出，，則，表達(dá)出，分與兩種情況，得到不同情況下的線段長度的最小值，A錯誤；B選項，先得到上下頂點能夠使得為等腰三角形，再數(shù)形結(jié)合得到為圓心，為半徑作圓，只能交橢圓與不同于上下頂點的兩點，列出不等式組，求出答案；C選項，分與兩種情況，第一種情況成立，第二種情況下得到P點與上頂點或下頂點重合時，最大，數(shù)形結(jié)合列出不等式，最終求出離心率的取值范圍；D選項，設(shè)，，則，表達(dá)出，問題轉(zhuǎn)化為在上有解問題，數(shù)形結(jié)合得到，求出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，，則，，，若，此時，，此時當(dāng)時，取得最小值，最小值為，線段長度的最小值為；若，此時，，此時當(dāng)時，取得最小值，最小值為，線段長度的最小值為，綜上：A錯誤；如圖，橢圓左右頂點為，上下頂點為，顯然上下頂點能夠使得為等腰三角形，要想橢圓上恰有6個不同的點，使得為等腰三角形，以為圓心，為半徑作圓，只能交橢圓與不同于上下頂點的兩點，則要滿足，且，即，解得：，且，故橢圓的離心率的取值范圍是，B正確；若，此時與橢圓有公共點，故存在點P，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，使得，此時，即；若，即時，如圖所示：連接OP，OB，顯然，，則，因為在上單調(diào)遞增，要想最大，只需最大，故當(dāng)最小時，滿足要求，故P點與上頂點或下頂點重合時，最大，故當(dāng)時滿足要求，所以，即，所以，解得：，所以，綜上：若圓的方程為，橢圓上存在點P，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，使得，則橢圓E的離心率的取值范圍是，C正確；設(shè)，，則，橢圓上存在點P使得，即在上有解，即在上有解，令，注意到，，故只需滿足，由①得：，由②得：或，綜上：則橢圓的離心率的取值范圍是，D正確.故選：BCD【點睛】離心率時橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考察的知識點，這類問題一般有兩類，一是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率，另一類是根據(jù)題目條件求解離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關(guān)于的等式或不等式，并且根據(jù)化為的等式或不等式，求出離心率或離心率的范圍，再求解橢圓離心率取值范圍時常用的方法有：一，借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系；借助平面幾何圖形中的不等二，利用函數(shù)的值域求解范圍；利用函數(shù)的值域求解范圍；三，根據(jù)橢圓自身性質(zhì)或基本不等式求解范圍等.根據(jù)橢圓自身性質(zhì)或基本不12．【答案】280【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，知，，也成等比數(shù)列，即40，80，成等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：280.13．【答案】【詳解】如圖，取線段的中點M，連接，因為，，所以，且，所以，設(shè)，所以C的離心率為，故答案為：14．【答案】1【詳解】根據(jù)題意可知，即可得，即；由橢圓定義可得，又可知；所以可得，即，解得，因此的面積為.故答案為：115．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）由題設(shè)，則，故等差數(shù)列的公差，所以，；（2）由（1），則.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線斜率、雙曲線過點可構(gòu)造方程求得，由此可得雙曲線方程；（2）由雙曲線方程可得焦點坐標(biāo)，由此可得方程，與雙曲線方程聯(lián)立后，利用弦長公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由雙曲線方程知：漸近線斜率，又漸近線方程為，；雙曲線過點，；由得：，雙曲線的方程為：；（2）由（1）得：雙曲線的焦點坐標(biāo)為；若直線過雙曲線的左焦點，則，由得：；設(shè)，，則，；由雙曲線對稱性可知：當(dāng)過雙曲線右焦點時，；綜上所述：.17．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意可知，解得，橢圓的方程為.（2），則直線的方程為，即，，設(shè)點到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，設(shè)該平行線的方程為，則，解得或，當(dāng)時，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時，此時，直線的方程為，即當(dāng)時，此時，直線的方程為，即，當(dāng)時，聯(lián)立，得，，此時該直線與橢圓無交點.綜上直線的方程為或

18．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由左、右頂點為，先求，再設(shè)點的坐標(biāo)，利用斜率公式表示條件，結(jié)合點在橢圓上，由此可得橢圓方程.（2）解法一（非對稱韋達(dá)）：設(shè)點的坐標(biāo)及直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程組，化簡寫出韋達(dá)定理，然后表示出直線，的方程相除結(jié)合韋達(dá)定理化簡即可；解法二（齊次化）：設(shè)不過點的直線的方程，由題意求出的值，然后表示出直線，的斜率，設(shè)點，結(jié)合橢圓方程化簡分析即可.【詳解】（1）如圖所示：

根據(jù)題意，，設(shè)點的坐標(biāo)為，由于點在橢圓上，所以，得，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一（非對稱韋達(dá)）：由題意如圖所示：

設(shè)點，可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，得，由根與系數(shù)的關(guān)系，，直線的方程：，①直線的方程：，②①②得，因為，所以，解得，因此，點在定直線上.解法二（齊次化）：由題意如圖所示：

設(shè)不過點的直線的方程為：，由于直線過，所以.設(shè)，點.橢圓的方程轉(zhuǎn)化為，，代入直線的方程得，，即，即，由根與系數(shù)的關(guān)系，，又由題意可得：，所以兩式相除得：，即，解得，所以點在定直線上.19．【答案】(1)；(2)過定點，.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義結(jié)合條件即可求出方程；（2）切線，與橢圓方程聯(lián)立，利用，可得，