2024-2025學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高三上冊(cè)1月期末數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高三上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題中選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【詳解】因?yàn)椋?故選：D.2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C. D．【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：C.3．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則漸近線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【詳解】雙曲線(xiàn)的離心率為，故，則，故漸近線(xiàn)方程為，故選：A4．直線(xiàn)截圓所得的弦長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【詳解】由圓的方程知：圓心為，半徑，所以圓心為到直線(xiàn)距離為，所以直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)為.故選：C5．展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為8，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（

）A．-6 B．6 C．7 D．9【詳解】解：因?yàn)檎归_(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為8，即，所以，展開(kāi)式為，令，則，所以該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：B6．“”是“”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【詳解】由得，所以即或，所以充分性不成立；由知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以，所以必要性成?所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B7．在中，角，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，若，則等于（

）A． B． C． D．【詳解】方法一：，由正弦定理可得，，，．又，．．，則．方法二：因?yàn)?，由射影定理可得，又，．．，則．故選：A8．生物學(xué)上，J型增長(zhǎng)是指在理想狀態(tài)下，物種迅速爆發(fā)的一種增長(zhǎng)方式，其表達(dá)式為，其中為初始個(gè)體數(shù)，為最終個(gè)體數(shù).若某種群在該模型下，個(gè)體數(shù)由100增長(zhǎng)至120消耗了10天，則個(gè)體數(shù)由120增長(zhǎng)至160消耗的時(shí)間大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．12 B．13 C．14 D．15【詳解】由題意可得，，所以，即，所以，當(dāng)，時(shí)，，即，所以，由給定數(shù)據(jù).故選：D9．設(shè)，若是的最小值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【詳解】由題意，函數(shù)，若是的最小值，可得，對(duì)稱(chēng)軸為，若是的最小值，則，即得，可得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，要使得函數(shù)的最小值為，則，解得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.10．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫(huà)面，優(yōu)美的曲線(xiàn)是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美的產(chǎn)物，曲線(xiàn)為四葉玫瑰線(xiàn)，下列結(jié)論正確的是（

）A.方程，表示的曲線(xiàn)在第一和第三象限；B.曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)1；C.曲線(xiàn)構(gòu)成的四葉玫瑰線(xiàn)面積大于；D.曲線(xiàn)上有5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．【詳解】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)椋耘c異號(hào)，所以表示的曲線(xiàn)在第二和第四象限，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，設(shè)曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則其到原點(diǎn)的距離為，考慮到該圖形對(duì)稱(chēng)性，故研究第一象限的點(diǎn)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)1，所以B正確，對(duì)于C，以為圓心，1為半徑的圓的面積為，由B知曲線(xiàn)在圓內(nèi)部，所以曲線(xiàn)構(gòu)成的四葉玫瑰線(xiàn)面積小于，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由B可知曲線(xiàn)在圓內(nèi)部，而圓內(nèi)在第一象限無(wú)整點(diǎn)，所以曲線(xiàn)在第一象限沒(méi)有經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，由曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，曲線(xiàn)在其它象限也沒(méi)有經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，所以由圖可知曲線(xiàn)只經(jīng)過(guò)整點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤，故選：B二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的距離為．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以.所以，拋物線(xiàn)：，焦點(diǎn)：所以到焦點(diǎn)的距離.故412．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且是與2的等差中項(xiàng)，則q的值是．【詳解】由題意有：，而，顯然，，則，所以，故，可得．故1.13．如圖，一倒立的圓錐和一個(gè)底面圓直徑為2R的圓柱內(nèi)裝等高H的液體，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，圓柱的軸截面為矩形，，圓錐內(nèi)液體體積為V1，圓柱內(nèi)液體體積為V2，則＝．【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面為等腰直角三角形，且，則圓錐的水面圓的直徑為，由，所以V1＝V2，即.故14．已知在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，則的最大值為；若，則的最大值為.【詳解】如圖：以為原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為,軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，，，，，圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，故的最大值為，，，，，，，，，故的最大值為3，故，315．如果數(shù)列滿(mǎn)足（k為常數(shù)），那么數(shù)列叫做等比差數(shù)列，k叫做公比差．下列四個(gè)結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號(hào)有①若數(shù)列滿(mǎn)足，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；②數(shù)列是等比差數(shù)列；③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．【詳解】①數(shù)列滿(mǎn)足，則，滿(mǎn)足等比差數(shù)列的定義，故①正確；②數(shù)列，，不滿(mǎn)足等比差數(shù)列的定義，故②錯(cuò)誤；③設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，滿(mǎn)足等比差數(shù)列，故③正確；④設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，故存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列，即④正確；故①③④解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【詳解】（1）因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以．過(guò)作，垂足為，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，，，，，所以，則，由得，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，平面，所以平面．?）由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，過(guò)且平行于的直線(xiàn)為軸，，所在直線(xiàn)分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．17．在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶(hù)外運(yùn)動(dòng)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了名高中學(xué)生戶(hù)外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求的值；(2)為進(jìn)一步了解這名高中學(xué)生戶(hù)外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪(fǎng)談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用“”表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生戶(hù)外運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的概率，當(dāng)最大時(shí)，此時(shí)k的值.（其中k=2.3.4）（直接寫(xiě)出答案，結(jié)論不需要證明）【詳解】（1）由已知，解得，所以平均數(shù)為.（2）這名高中學(xué)生戶(hù)外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生分別有人，和人；所以根據(jù)分層抽樣可知人中在的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為人，所以隨機(jī)變量的可能取值有，，所以，，則分布列為期望；（3）由頻率分布直方圖可知運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的頻率為，則，若為最大值，則，即，即，解得，又，且，則.18．已知函數(shù)．從下列四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．(1)求的解析式；(2)設(shè)，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，顯然當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)，故②不能選，若選擇①③，即最大值為，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一確定，故舍去；若選擇①④，即圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；若選擇③④，即圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，所以，解得，所以，又的最大值為，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，又x∈0,π，所以在0,π上的單調(diào)遞增區(qū)間有和.19．已知函數(shù)，且曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為．(1)求；(2)證明：存在唯一的極小值點(diǎn)，且．【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，由題意可知，，聯(lián)立解得．（2）由（1）可知，則，令，則，所以函數(shù)在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以存在唯一實(shí)數(shù)使得gx0=0，即當(dāng)x∈0,x0時(shí)，g當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，gx>0，即單調(diào)遞增，所以由①知，，所以．一方面由知，；另一方面，由于是的唯一的極小值點(diǎn)，且，所以．綜上所述，，證畢．20．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長(zhǎng)為，離心率為分別是橢圓的上下頂點(diǎn)，過(guò)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；(3)求面積的最大值.【詳解】（1）因?yàn)椋纸獾茫汗蕶E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：方法一：當(dāng)軸時(shí)，不可能垂直，故可設(shè)直線(xiàn)方程為由，得，設(shè)，則，所以，又因?yàn)?，所以即，即：，所以代入可得，整理，解得（舍）或，所以直線(xiàn)的方程為，令，得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，方法二：顯然均不可能與坐標(biāo)軸垂直，故可設(shè)由，得設(shè)所以：，因?yàn)榛ハ啻怪?，同理得所以直線(xiàn)的斜率為：，直線(xiàn)的方程為：，令得，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).（3）方法一：由（2）知：，所以面積令，所以代入可得：此時(shí)，所以面積的最大值是方法二：由（2）知，所以，因?yàn)榛ハ啻怪?，同理得，所以面積令，此時(shí)，解得或，所以面積的最大值是.21．已知等差數(shù)列，若存在有窮等比數(shù)列，滿(mǎn)足，其中，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的長(zhǎng)度為的“等比伴隨數(shù)列”．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)長(zhǎng)度為的“等比伴隨數(shù)列”；(2)等差數(shù)列的公差為，若存在長(zhǎng)度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值；(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列為數(shù)列的長(zhǎng)度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列滿(mǎn)足要求，所以數(shù)列的一個(gè)長(zhǎng)度為的“等比伴隨數(shù)列”為（答案不唯一）.（2）由題意可知，，所以，聯(lián)立，所以，即，聯(lián)立，所以，即，聯(lián)立，所以，即，由上可知，