平方根-課教案

2/8平方根【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)與技能：1．通過實(shí)際生活中的例子理解算術(shù)平方根的概念，會(huì)求非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根并會(huì)用符號(hào)表示；2．會(huì)用計(jì)算器求算術(shù)平方根；了解無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn)；會(huì)用算術(shù)平方根的知識(shí)解決實(shí)際問題。3．了解平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示正數(shù)的平方根；了解開平方與平方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根。二、過程與方法：1．通過生活中的實(shí)例，總結(jié)出算術(shù)平方根的概念，通過計(jì)算非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，真正掌握算術(shù)平方根的意義。2．通過折紙認(rèn)識(shí)第一個(gè)無(wú)理數(shù)，并通過估計(jì)它的大小認(rèn)識(shí)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn)。通過學(xué)習(xí)平方根，進(jìn)一步建立數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維。3．通過對(duì)正數(shù)平方根特點(diǎn)的探究，了解平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系，體驗(yàn)類比、化歸等問題解決數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，提高學(xué)生對(duì)問題的遷移能力。三、情感態(tài)度與價(jià)值觀：1．通過學(xué)習(xí)算術(shù)平方根，認(rèn)識(shí)數(shù)與人類生活的密切聯(lián)系，建立初步的數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)做好準(zhǔn)備。2．通過探究的大小，培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，了解兩個(gè)方向無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想，并且鍛煉學(xué)生克服困難的意志，建立自信心，提高學(xué)習(xí)熱情?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1．算術(shù)平方根的概念和求法。2．算術(shù)平方根的求法。3．認(rèn)識(shí)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn)，會(huì)估算一些數(shù)的算術(shù)平方根。4．會(huì)用算術(shù)平方根的知識(shí)解決實(shí)際問題。5．了解開方和乘方互為逆運(yùn)算，弄懂平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系?！菊n時(shí)安排】3課時(shí)【教學(xué)過程】【第一課時(shí)】一、情境引入：?jiǎn)栴}：學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽，小歐很高興，他想裁出一塊面積為的正方形畫布，畫上自己得意的作品參加比賽，這塊正方形畫布的邊長(zhǎng)應(yīng)取多少？二、探索歸納：1．探索：學(xué)生能根據(jù)已有的知識(shí)即正方形的面積公式：邊長(zhǎng)的平方等于面積，求出正方形畫布的邊長(zhǎng)為。接下來(lái)教師可以再深入地引導(dǎo)此問題：如果正方形的面積分別是1．9．16．36．，那么正方形的邊長(zhǎng)分別是多少呢？學(xué)生會(huì)求出邊長(zhǎng)分別是1．3．4．6．，接下來(lái)教師可以引導(dǎo)性地提問：上面的問題它們有共同點(diǎn)嗎？它們的本質(zhì)是什么呢？這個(gè)問題學(xué)生可能總結(jié)不出來(lái)，教師需加以引導(dǎo)。上面的問題，實(shí)際上是已知一個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)正數(shù)的問題。2．歸納：（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根。（2）算術(shù)平方根的表示方法：的算術(shù)平方根記為，讀作“根號(hào)”或“二次很號(hào)”，叫做被開方數(shù)。三、應(yīng)用：求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100（2）（3）（4）0.0001（5）0解：（1）因?yàn)樗?00的算術(shù)平方根是10，即；（2）因?yàn)?，所以的算術(shù)平方根是，即；（3）因?yàn)開_________，所以的算術(shù)平方根是，即；（4）因?yàn)椋?.0001的算術(shù)平方根是0.01，即；（5）因?yàn)?，所?的算術(shù)平方根是0，即。注：①根據(jù)算術(shù)平方根的定義解題，明確平方與開平方互為逆運(yùn)算；②求帶分?jǐn)?shù)的算術(shù)平方根，需要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，然后根據(jù)定義去求解；③0的算術(shù)平方根是0.由此例題教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：你能求出-1，-36，-100的算術(shù)平方根嗎？任意一個(gè)負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根嗎？歸納：一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根有1個(gè)；0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。即：只有非負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根，如果有意義，那么。注：且這一點(diǎn)對(duì)于初學(xué)者不太容易理解，教師不要強(qiáng)求，可以在以后的教學(xué)中慢慢滲透。求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）分析：此題本質(zhì)還是求幾個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根。解：（1）（2）（3）（4）求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）（2）（3）（4）解：（1）因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以。根?jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和理解能力可進(jìn)行如下總結(jié)：1．由，，可得2．由，，可得教師需強(qiáng)調(diào)時(shí)對(duì)兩種情況都成立。四、隨堂練習(xí)：1．算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有＿＿＿＿＿。2．求下列各式的值：，，，3．求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：0.0025，121，，，4．已知，求的值。五、課堂小結(jié)1．這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么呢？2．算術(shù)平方根的具體意義是怎么樣的？3．怎樣求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根？【作業(yè)布置】課本習(xí)題6．1第1．2題【第二課時(shí)】一、通過實(shí)驗(yàn)引入：怎樣用兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形？如圖，把兩個(gè)小正方形沿對(duì)角線剪開，將所得的4個(gè)直角三角形拼在一起，就得到一個(gè)面積為2的大正方形。你知道這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)是多少嗎？設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則，由算術(shù)平方根的意義可知，所以大正方形的邊長(zhǎng)為。二、討論的大小：由上面的實(shí)驗(yàn)我們認(rèn)識(shí)了，它的大小是多少呢？它所表示的數(shù)有什么特征呢？下面我們討論的大小。因?yàn)椋?，即……如此進(jìn)行下去，我們發(fā)現(xiàn)它的小數(shù)位數(shù)無(wú)限，且小數(shù)部分不循環(huán)，像這樣的數(shù)我們成為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。=1.41421356……注：這種估算體現(xiàn)了兩個(gè)方向向中間無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生第一次接觸，不好理解，教師在講解時(shí)速度要放慢，可能需要講兩遍。=1.41421356……，是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，但是很抽象，沒有辦法全部表示出來(lái)它的大小，類似這樣的數(shù)還有很多，比如等，圓周率π也是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。三、用計(jì)算器求算術(shù)平方根：大多數(shù)計(jì)算器都有“”鍵，用它可以求出一個(gè)有理數(shù)的算術(shù)平方根或近似值。用計(jì)算器求下列各式的值：（1）；（2）(精確到0001)解：（1）依次按鍵，3136，=，顯示：56，所以（2）依次按鍵，2，=，顯示：1．414213562，這是一個(gè)近似值。所以注：不同品牌的計(jì)算器，按鍵的順序可能有所不同。四、探索規(guī)律：（1）利用計(jì)算器計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果填在表中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？…………（2）用計(jì)算器計(jì)算（結(jié)果保留4個(gè)有效數(shù)字），并利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出的近似值。你能根據(jù)的值求出的值嗎？學(xué)生通過計(jì)算器可求出（1）的答案，依次是：0.25，0.791，2.5，7.91，25，79，1250。從運(yùn)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)擴(kuò)大或縮小100倍時(shí)，它的算術(shù)平方根就擴(kuò)大或縮小10倍。由可得，由的值不能求出的值，因?yàn)橐?guī)律是被開方數(shù)擴(kuò)大或縮小100倍時(shí)，它的算術(shù)平方根才擴(kuò)大或縮小10倍，而3到30擴(kuò)大的是10倍，所以不能由此規(guī)律求出。此題學(xué)生可獨(dú)立完成。五、實(shí)際應(yīng)用：例1．小麗想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片，使它的長(zhǎng)與寬之比為3：2，不知道能否裁出來(lái)，正在發(fā)愁，小明見了說(shuō)：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片?！蹦阃庑∶鞯恼f(shuō)法嗎？小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？分析：學(xué)生一般認(rèn)為一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片。通過計(jì)算和講解糾正這種錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為。根據(jù)邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系可得：∴長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為。因?yàn)?0>49，所以﹥7，從而﹥21即長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)應(yīng)該大于，而已知正方形紙片的邊長(zhǎng)只有，這樣長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)將大于正方形紙片的邊長(zhǎng)。答：不能同意小明的說(shuō)法。小麗不能用這塊正方形紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片。六、隨堂練習(xí)：1．用計(jì)算器求下列各式的值：（1）（2）（3）（精確到0.01）2．估計(jì)大?。海?）與12（2）與0.53．已知，求的值。七、課堂小結(jié)1．被開方數(shù)增大或縮小時(shí)，其相應(yīng)的算術(shù)平方根也相應(yīng)地增大或縮小，因此我們可以利用夾值的方法來(lái)求出算術(shù)平方根的近似值；2．利用計(jì)算器可以求出任意正數(shù)的算術(shù)平方根的近似值；3．被開方數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┡c它的算術(shù)平方根擴(kuò)大（或縮小）的規(guī)律是怎樣的呢？4．怎樣的數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)？【作業(yè)布置】課本第習(xí)題6．1第5．6題【第三課時(shí)】一、情境導(dǎo)入如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，這個(gè)數(shù)是多少？討論：這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是3和-3．注意中括號(hào)的作用。又如：，則等于多少呢？二、探索歸納：1．平方根的概念：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)就叫做的平方根。即：如果，那么叫做的平方根。求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方與開平方互為逆運(yùn)算。2．觀察：課本P45的圖6．1-2．圖6．1-2中的兩個(gè)圖描述了平方與開平方互為逆運(yùn)算的運(yùn)算過程，揭示了開平方運(yùn)算的本質(zhì)。并根據(jù)這個(gè)關(guān)系說(shuō)出1，4，9的平方根。例4求下列各數(shù)的平方根。（1）100（2）（3）0.253．按照平方根的概念，請(qǐng)同學(xué)們思考并討論下列問題：正數(shù)的平方根有什么特點(diǎn)？0的平方根是多少？負(fù)數(shù)有平方根嗎？一個(gè)是正數(shù)有兩個(gè)平方根，即正數(shù)進(jìn)行開平方運(yùn)算有兩個(gè)結(jié)果，一個(gè)是負(fù)數(shù)沒有平方根，即負(fù)數(shù)不能進(jìn)行開平方運(yùn)算，符號(hào)：正數(shù)的算術(shù)平方根可用表示；正數(shù)的負(fù)的平方根可用-表示。例5求下列各式的值。（1），（2），（3）（4）