中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專(zhuān)題22 中點(diǎn)四邊形（原卷版）

專(zhuān)題22中點(diǎn)四邊形中點(diǎn)四邊形的定義：依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形。中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)：已知點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，則①四邊形EFGH是平行四邊形②CEFGH=AC+BD③sEFGH=12s證明：模型證明過(guò)程∵EH是△ABD的中位線(xiàn)∴EH∥BD，EH=12∵FG是△BCD的中位線(xiàn)∴FG∥BD，F(xiàn)G=12∴EH∥FGEH=FG∴四邊形EFGH是平行四邊形∵EF是△ABC的中位線(xiàn)∴EF∥AC，EF=12∵GH是△ACD的中位線(xiàn)∴GH∥AC，GH=12∴EF∥GHEF=GH∴四邊形EFGH是平行四邊形結(jié)論一：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形。模型證明過(guò)程∵EH是△ABD的中位線(xiàn)∴EH=12∵FG是△BCD的中位線(xiàn)∴FG=12∴EH=FG=12B同理EF=GH=12∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+FG+EF+GH=BD+AC證明：CEFGH=AC+BD過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BD，垂足為點(diǎn)N，AN與EH交于點(diǎn)Ms?PHEQ=PQ?MN=12AN?12BD=12?(12AN?BD同理s?PGFQ=12S△∴sEFGH=12s證明：sEFGH=12s結(jié)論二：中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)等于原四邊形對(duì)角線(xiàn)之和。結(jié)論三：中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的一半。已知條件模型證明過(guò)程特例點(diǎn)E、F、G、H是任意四邊形ABCD的中點(diǎn)，AC⊥DB，垂足為點(diǎn)O，則四邊形EFGH是矩形。根據(jù)已知條件可知四邊形EFGH為平行四邊形∵AC⊥DB∠DOC=90°∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90

°∴四邊形EFGH是矩形。點(diǎn)E、F、G、H是任意四邊形ABCD的中點(diǎn)，AC=DB，垂足為點(diǎn)O，則四邊形EFGH是菱形?！逧F是?ABC的中位線(xiàn)∴EF=1∵HG是?ADC的中位線(xiàn)∴HG=1∴EF=HG=12AC∵AC=DB∴EF=HG=EH=FG∴四邊形EFGH是菱形點(diǎn)E、F、G、H是任意四邊形ABCD的中點(diǎn)，AC⊥DB，AC=DB垂足為點(diǎn)O，則四邊形EFGH是正方形。已知四邊形EFGH是菱形（參考上述證明過(guò)程）∵AC⊥DB∴EF⊥EH∴四邊形EFGH是正方形結(jié)論四：順次連接對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形。結(jié)論五：順次連接對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形。結(jié)論六：順次連接對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形。速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正?！九鄡?yōu)過(guò)關(guān)練】1．（2023春·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）順次連接菱形中點(diǎn)得到的四邊形具備，而平行四邊形不具備的性質(zhì)是（

）A．對(duì)角線(xiàn)相互平分 B．對(duì)角線(xiàn)相等C．兩組對(duì)角分別相等 D．兩組對(duì)邊分別平行2．（2023秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是的中點(diǎn)，添加下列條件，可以判定四邊形為菱形的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和均為等腰三角形，，，．若點(diǎn)、、、分別為邊、、、的中點(diǎn)，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．5．（2017春·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┤繇槾芜B接一個(gè)四邊形的四邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形，則原四邊形一定是（

）A．一般平行四邊形 B．對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形 C．對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形 D．矩形6．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）順次連接一個(gè)四邊形的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，則這個(gè)四邊形可能是（

）．A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形7．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在任意四邊形ABCD中，M，N，P，Q分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，對(duì)于四邊形MNPQ的形狀，以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的是A．當(dāng)M，N，P，Q是各邊中點(diǎn)，四邊MNPQ一定為平行四邊形B．當(dāng)M，N，P，Q是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形MNPQ為正方形C．當(dāng)M，N、P，Q是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形MNPQ為菱形D．當(dāng)M，N、P、Q是各邊中點(diǎn)，且時(shí)，四邊形MNPQ為矩形8．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．則下列說(shuō)法：①若，則四邊形EFGH為矩形；②若，則四邊形EFGH為菱形；③若AC與BD互相垂直且相等，則四邊形EFGH是正方形；④若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形中，點(diǎn)，，，分別是，，，邊上的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．四邊形是矩形B．四邊形的內(nèi)角和小于四邊形的內(nèi)角和C．四邊形的周長(zhǎng)等于四邊形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度之和D．四邊形的面積等于四邊形面積的10．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，若四邊形EFGH的周長(zhǎng)是3，則AC＋BD的長(zhǎng)為（

）A．3 B．6 C．9 D．1211．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的四邊形，如果添加下列四個(gè)條件中的一個(gè)條件：①；②；③；④，可以使這個(gè)新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（2022·福建·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，AB，BC，CD的中點(diǎn)，若在四邊形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為_(kāi)____________．13．（2022·廣東佛山·校考一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．給出以下判斷：①AC垂直平分BD；②四邊形ABCD的面積S＝AC?BD；③順次連接四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)得到的四邊形可能是正方形；④將△ABD沿直線(xiàn)BD對(duì)折，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接BE并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，當(dāng)BF⊥CD時(shí)，四邊形ABCD的內(nèi)切圓半徑為．其中正確的是_____．（寫(xiě)出所有正確判斷的序號(hào)）14．（2022秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿(mǎn)足的條件是_____．15．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且EG、FH交于點(diǎn)O．若AC=4，則EG2+FH2=______．16．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知如圖，矩形ABCD的周長(zhǎng)為18，其中E、F、G、H為矩形ABCD的各邊中點(diǎn)，若AB=x，四邊形EFGH的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______．17．（2021秋·遼寧朝陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，且順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形，再順次連接四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形…如此進(jìn)行下去，得到四邊形，下列結(jié)論正確的有__________．①四邊形是矩形；②四邊形是菱形；③四邊形的周長(zhǎng)是．18．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我們把順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．（1）任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？（2）任意平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是什么形狀？為什么？（3）任意矩形、菱形和正方形的中點(diǎn)四邊形分別是什么形狀？為什么？19．（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫(xiě)出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．20．（2021春·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接E、F、G、H．（1）判斷四邊形EFGH形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AC＝BD，判斷四邊形EFGH形狀，并說(shuō)明理由．21．（2021春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱(chēng)為中點(diǎn)四邊形．（1）我們知道：無(wú)論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為_(kāi)_________形；②當(dāng)對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．22．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期中）我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，直接寫(xiě)出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀．（不必證明）23．（2019·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H，得到的四邊形EFGH叫中點(diǎn)四邊形．（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖，當(dāng)四邊形ABCD變成等