《機(jī)械制圖》課件2第02章

第2章投影的基本知識2.1三投影面體系2.2點(diǎn)的投影2.3直線的投影2.4平面的投影

2.1三投影面體系

2.1.1投影法及其分類

1．投影法的基本概念

將投射線通過物體向選定的平面投射，并在該平面上得到圖形的方法稱為投影法。根據(jù)投影法所得到的圖形稱為投影圖(簡稱投影)。要得到投影必須有三個(gè)元素：光線、形體和投影面。光線可以是平行的(如日光)或者從一個(gè)中心點(diǎn)發(fā)出的(如白熾燈泡發(fā)出的光線)。形體可以是平面或者一個(gè)空間立體，投影法中得到投影的投影面通常采用平面，如圖2-1所示。圖2-1中心投影法

2．投影法的種類

1)中心投影法

投影線交匯于一點(diǎn)的投影法稱為中心投影法，如圖2-1所示。投影線的交匯點(diǎn)稱為投影中心，如圖2-1中的S點(diǎn)。用中心投影法繪制出的圖形符合人的視覺規(guī)律，因此經(jīng)常用此法繪制一些需要強(qiáng)調(diào)視覺效果的圖形，比如建筑效果圖等。由于用中心投影法繪制圖形的方法復(fù)雜，效率低，又不容易進(jìn)行尺寸標(biāo)注，因此此方法在機(jī)械制圖中很少使用。

2)平行投影法

投影線相互平行的投影法稱為平行投影法。在平行投影法中，又根據(jù)投射線與投影面的相對位置不同分為正投影法和斜投影法。

投射線垂直于投影面的平行投影法稱為正投影法，由此法得到的投影圖稱為正投影圖(正投影)，如圖2-2(a)所示。

投射線不垂直于投影面的平行投影法稱為斜投影法，由此法得到的圖形稱為斜投影圖(斜投影)，如圖2-2(b)所示。圖2-2平行投影法由于正投影圖能真實(shí)地表達(dá)空間物體的形狀和大小，不僅度量性好，作圖也比較方便，因此在機(jī)械工程圖中得到了廣泛應(yīng)用。本課程主要研究正投影法。后面各章除特別說明外，所述投影均指正投影。2.1.2正投影的特性

制作正投影時(shí)，當(dāng)形體(平面或直線)與投影面之間處于某種特殊位置時(shí)，這些形體的投影會表現(xiàn)出不同的特性。研究這些特性對繪制和理解形體的投影圖有非常重要的作用。

1．真實(shí)性

當(dāng)物體上的平面(或直線)與投影面平行時(shí)，其投影反映實(shí)形(或?qū)嶉L)，這種投影特性稱為真實(shí)性，如圖2-3(a)所示。

2．積聚性

當(dāng)物體上的平面(或直線)與投影面垂直時(shí)，在投影面上的投影積聚為一條線(或一個(gè)點(diǎn))，這種投影特性稱為積聚性，如圖2-3(b)所示。圖2-3正投影的特性

3．類似性

當(dāng)物體上的平面(或直線)與投影面傾斜時(shí)，其投影的面積變小(或長度變短)，但投影的形狀仍與原來的形狀類似，這種投影特性稱為類似性，如圖2-3(c)所示。2.1.3三面投影

如圖2-4所示，三個(gè)不同物體向同一投影面正投影后，所得投影相同，由此說明，一個(gè)投影是不能確定物體的唯一形狀和結(jié)構(gòu)的。為了確定物體的唯一結(jié)構(gòu)和形狀，需要采用多個(gè)投影面進(jìn)行正投影。從多個(gè)方向?qū)π误w進(jìn)行觀察和描述，繪制出的視圖可以確定形體的唯一形狀和大小。圖2-4不同形體可以得到相同的投影

1．三投影面體系

通常選用三個(gè)互相垂直相交的投影面，建立一個(gè)三投影面體系，如圖2-5所示。三個(gè)投影面分別稱為：正立投影面，簡稱正面，以V表示；水平投影面，簡稱水平面，以H表示；側(cè)立投影面，簡稱側(cè)面，以W表示。三個(gè)投影面之間的交線OX、OY、OZ稱為投影軸，三根互相垂直的投影軸的交點(diǎn)O稱為原點(diǎn)。圖2-5三面投影體系

2．三視圖的形成

如圖2-6所示，將物體放在三投影面體系中，用正投影法向三個(gè)投影面投影，就得到了物體的三面投影。這三面投影圖也叫三面視圖，簡稱三視圖。其中：由前向后投射在V面所得的視圖稱為主視圖；由上向下投射在H面所得的視圖稱為俯視圖；由左向右投射在W面所得的視圖稱為左視圖。圖2-6三視圖的形成

3．三面投影體系的展開

為了方便畫圖和看圖，假想三個(gè)投影面展開、攤平在同一平面(紙面)上，并且規(guī)定：正面V不動；水平面H繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°；側(cè)面W繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°，如圖2-7所示。圖2-7三面投影視圖的展開三視圖的配置關(guān)系為：俯視圖在主視圖的正下方，左視圖在主視圖的正右方，如圖2-8(a)所示。

畫圖時(shí)，投影面的邊框線和投影軸均不必畫出，同時(shí)按上述方法展開，即按投影關(guān)系配置視圖時(shí)，也不需要說明視圖名稱，最后得到的三視圖如圖2-8(b)所示。圖2-8物體的三視圖

4．視圖與物體之間的關(guān)系

物體上有上、下、左、右、前、后六個(gè)方向的位置關(guān)系，如圖2-9(a)所示。每一個(gè)視圖只反映四個(gè)方向的位置關(guān)系，如圖2-9(b)所示。其中：主視圖反映了物體的左、右、上、下之間的位置關(guān)系，即反映了物體上的長度和高度；俯視圖反映了物體的前、后、左、右之間的位置關(guān)系，即反映物體上的寬度和長度；左視圖反映了物體的前、后、上、下之間的位置關(guān)系，即反映了物體上的寬度和高度，如圖2-9(c)所示。圖2-9三視圖中的尺寸與方向

5．三視圖之間的投影關(guān)系

由上面的討論可知，在三視圖中：主、俯視圖同時(shí)反映了物體上的長度；主、左視圖同時(shí)反映了物體上的高度；俯、左視圖同時(shí)反映了物體上的寬度，如圖2-10所示。同時(shí)，三視圖又是按上述的規(guī)定方法展開的，所以，三個(gè)視圖之間的投影關(guān)系可以總結(jié)如下：

主、俯視圖——長對正；

主、左視圖——高平齊；

俯、左視圖——寬相等。

這個(gè)“三等”關(guān)系就是物體三視圖的投影規(guī)律。它對于物體整體是如此，同時(shí)對于物體上的直線、點(diǎn)也都是適用的。圖2-10三視圖之間的投影關(guān)系

6．畫物體的三視圖

下面舉例來說明運(yùn)用三視圖之間的位置關(guān)系和投影關(guān)系畫出三視圖的方法和步驟。

(1)分析物體。分析物體上的面、線與三個(gè)投影面的位置關(guān)系，再根據(jù)正投影特性判斷其投影情況，然后綜合出各個(gè)視圖。

(2)確定圖幅和比例。根據(jù)物體上最大的長度、寬度和高度及物體的復(fù)雜程度確定繪圖的圖幅和比例。

(3)選擇主視圖的投影方向。以最能反映物體形狀特征和位置特征且使三個(gè)視圖投影虛線少的方向作為正投影方向。

(4)布圖，畫底圖。畫作圖基準(zhǔn)線、定位線，畫三視圖底圖。從主視圖畫起，三個(gè)視圖配合著畫圖。

(5)檢查、修改底圖。

(6)加深描粗圖線，完成三視圖，如圖2-11所示。

畫三視圖時(shí)，作圖所需尺寸可在模型(在軸測圖中可以沿前后、左右或上下三個(gè)方向)上去量，每個(gè)尺寸測量一次就夠了。相鄰視圖之間相應(yīng)的投影尺寸關(guān)系可用丁字尺來保持高相等，用三角板與丁字尺配合起來保持長相等，用分規(guī)或作45°斜線來保持寬相等。

模型的三視圖舉例如圖2-12和圖2-13所示。圖2-11三視圖繪制方法圖2-12模型三視圖舉例1圖2-13模型三視圖舉例2

2.2點(diǎn)的投影

通過2.1節(jié)的學(xué)習(xí)及畫圖實(shí)踐，可以體會到畫一個(gè)物體的三視圖實(shí)質(zhì)上是畫出組成物體的各個(gè)面的投影，而各個(gè)面是由各棱線圍成的，棱線是由兩個(gè)端點(diǎn)決定的，如圖2-14所示。因此，為了迅速、正確地畫出物體的視圖，還需研究構(gòu)成物體的基本幾何元素點(diǎn)、線、面的投影。圖2-14三棱錐的三視圖和立體圖如圖2-15(a)所示，設(shè)有一空間點(diǎn)A，由點(diǎn)A分別向H、V和W面投影，可得到A點(diǎn)的水平投影a、正面投影a′和側(cè)面投影a″。圖中每兩條投影線確定一個(gè)平面，它們與三投影軸分別相交于aX、aY和aZ，以空間點(diǎn)A、三個(gè)投影a、a′和a″以及aX、aY、aZ和原點(diǎn)O為頂點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)長方體。

將各投影面展開(展開方法同2.1.3節(jié))可得A點(diǎn)的投影圖，如圖2-15(b)所示。在點(diǎn)的投影圖中一般不畫出投影面的邊界線，也不標(biāo)出投影面的名稱和投射線與投影軸的交點(diǎn)aX、aY、aZ等，而只畫出坐標(biāo)軸OX、OY、OZ(簡稱X、Y、Z軸)及點(diǎn)的投影a、a′和a″，如圖2-15(c)所示。圖2-15點(diǎn)在三面投影體系中的投影如果把三投影面體系看做空間直角坐標(biāo)系，把投影面H、V、W視為坐標(biāo)面，投影軸OX、OY、OZ視為坐標(biāo)軸，則空間點(diǎn)A分別到三個(gè)坐標(biāo)面的距離Aa″、Aa′、Aa可用點(diǎn)A的三個(gè)直角坐標(biāo)XA、YA和ZA表示，記為A(XA，YA，ZA)。同時(shí)，點(diǎn)A的三個(gè)投影a、a′、a″也可用坐標(biāo)來確定，即水平投影a由XA和YA確定，反映了空間點(diǎn)A到W面和V面的距離Aa″和Aa′；正面投影a′由XA和ZA確定，反映了空間點(diǎn)A到W面和H面的距離Aa″和Aa；側(cè)面投影a″由YA和ZA確定，反映了空間點(diǎn)A到V面和H面的距離Aa′和Aa。根據(jù)上述分析，可以得到點(diǎn)在三面投影體系中的投影規(guī)律：

(1)點(diǎn)的正面、水平投影連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX軸。

(2)點(diǎn)的正面、側(cè)面投影連線垂直于OZ軸，即a′a″⊥OZ軸。

(3)點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離，即aaX＝a″aZ＝Y(jié)A。

為了表示aaX＝a″aZ＝?YA的關(guān)系，常用過原點(diǎn)O的45°斜線或以O(shè)為圓心的圓弧把水平投影和側(cè)面投影之間的投影連線聯(lián)系起來，如圖2-15(c)所示。

例2.1

已知空間點(diǎn)A(20，10，15)，試作它的三面投影圖。

作圖步驟：

(1)如圖2-16所示，在展開的三面投影體系中，由原點(diǎn)O向左沿軸OX量取20mm得aX，過aX作OX軸的垂線，在垂線上自aX向下量取10mm得水平投影a，再向上量取25mm得正面投影a′。圖2-16點(diǎn)的三面投影與坐標(biāo)的關(guān)系

(2)過a′作OZ軸的垂線交OZ軸于aZ，在垂線上自aZ向右量取10mm得a″(a″也可由a通過作圓弧或45°斜線求得)。

a、a′、a″為A點(diǎn)的三面投影。

例2.2

已知B點(diǎn)的正面投影b′和水平投影b，求該點(diǎn)的側(cè)面投影b″，如圖2-17(a)所示。圖2-17已知點(diǎn)的兩面投影繪制點(diǎn)的第三面投影

分析：

由點(diǎn)的投影規(guī)律可知：側(cè)面投影和正面投影連線垂直于Z軸，即bb′⊥OZ軸，所以b″一定在過b′且垂直于OZ軸的直線上，又因?yàn)樗酵队暗絏軸的距離等于側(cè)面投影到Z軸的距離，所以可以求得b″，如圖2-17所示。

作圖：

如圖2-17(b)所示，由b′作OZ軸的垂線與OZ軸相交于bZ，在此垂線上自bZ向右量取bbX＝b″bZ，即得B點(diǎn)的側(cè)面投影。也可以過O點(diǎn)繪制45°斜線，然后過b點(diǎn)繪制水平線，交于45°斜線后，向上繪制OYW垂直線與過b′點(diǎn)繪制的水平線相交得到bbX＝b″bZ的關(guān)系。

例2.3

已知空間點(diǎn)A(15，10，20)，B點(diǎn)在A點(diǎn)的正右方5，C點(diǎn)在A點(diǎn)的左方5、前方5、下方5，求作A、B、C點(diǎn)的三面投影。

分析：

A點(diǎn)的投影可根據(jù)投影與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系及點(diǎn)的三面投影規(guī)律作出。

B點(diǎn)在A點(diǎn)的正右方5，說明B點(diǎn)的Y、Z坐標(biāo)值與A點(diǎn)相同，X坐標(biāo)值比A點(diǎn)的X坐標(biāo)值小5，則B點(diǎn)的投影可根據(jù)它們之間的關(guān)系作出。從三視圖所反映物體的位置關(guān)系可知，X軸方向是長度方向，通過X坐標(biāo)的大小可知它們的左右相對位置；Y軸方向是寬度方向，通過Y坐標(biāo)的大小可知它們的前后相對位置；Z軸方向是高度方向，通過Z坐標(biāo)的大小可知它們的上下相對位置。對于兩點(diǎn)的相對位置，可由兩點(diǎn)各方向的坐標(biāo)值大小來確定。所以，點(diǎn)C的投影可根據(jù)相對坐標(biāo)作出。作圖方法如圖2-18所示。

由于A、B兩點(diǎn)的Y、Z坐標(biāo)值相同，它們的側(cè)面投影重合，因此此兩點(diǎn)稱為側(cè)立投影面的重影點(diǎn)，此時(shí)，兩點(diǎn)必位于該投影面的同一條投射線上。重影點(diǎn)的可見性由不重合投影的相對位置來判斷(或由第三坐標(biāo)大小來判斷，大的可見，小的不可見，不可見的投影加括號)。圖2-18根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和相對坐標(biāo)繪制點(diǎn)的三面投影

例2.4

如圖2-19(a)、(b)所示，根據(jù)立體圖，完成立體上點(diǎn)的投影以及立體的三面投影。

分析：

因點(diǎn)在立體上的投影位置已知兩面，故另一面投影可根據(jù)投影規(guī)律直接作出。圖2-19作立體上點(diǎn)的投影

作圖：

在立體的俯視圖和左視圖中找到同一個(gè)點(diǎn)的投影，如立體上后、右、下側(cè)的點(diǎn)，各自繪制水平線和垂直線，交于一點(diǎn)，過此點(diǎn)繪制45°斜線，如圖2-19(c)所示，利用這個(gè)斜線繪制折線，可找出點(diǎn)A的側(cè)面投影，點(diǎn)C的正面投影可根據(jù)投影規(guī)律直接在主視圖中得到。繪制過程中，如果已經(jīng)知道點(diǎn)的投影在立體的某條線上，則可直接繪制，不必繪制連線。例如，A點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影在立體的最高一條線上，不必繪制主視圖和左視圖中點(diǎn)A的投影連線；點(diǎn)B在立體上左、前、上側(cè)，可直接在三視圖中找到點(diǎn)B的投影，不必繪制連線。

2.3直?線?的?投?影

1．直線的投影規(guī)律

常見的直線是平面立體的棱線，即兩平面的交線。直線的投影一般仍為直線，也有可能成為一個(gè)點(diǎn)。作直線的投影時(shí)，只需作出確定該直線的任意兩點(diǎn)的投影，將這兩點(diǎn)的同面投影相連，便可得直線的三面投影，如圖2-20(b)所示。另外，已知直線上一點(diǎn)的投影和該直線的方向，也可作出該直線的投影。圖2-20直線的投影

2．直線的分類及其投影特性

根據(jù)直線相對投影面的位置不同，直線可分為三類：一般位置直線、投影面平行線和投影面垂直線。后兩類直線統(tǒng)稱為特殊位置線。

空間直線與它的水平投影、正面投影、側(cè)面投影的夾角，分別稱為該直線對投影面H、V、W的傾角，本書中分別用α、β、γ表示，如圖2-20(a)所示。

1)一般位置直線

對三個(gè)投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。如圖2-20所示，AB為一般位置直線，它與H、V、W的傾角分別用α、β、γ表示，則直線的投影與其實(shí)長有如下關(guān)系：

ABcosα＝ab，ABcosβ＝a′b′，ABcosγ＝a″b″

由此可知，一般位置直線的投影特性如下：

三個(gè)投影都傾斜于投影軸，三個(gè)投影長度均小于實(shí)長，三個(gè)投影與各投影軸的夾角不反映直線對投影面的真實(shí)傾角。

2)投影面平行線

平行于一個(gè)投影面而與另外兩個(gè)投影面傾斜的直線稱為投影面平行線。投影面平行線有水平線、正平線和側(cè)平線三種。表2-1列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性?，F(xiàn)歸納投影面平行線的投影特性如下：

(1)直線在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長和對另兩個(gè)投影面的真實(shí)傾角。

(2)直線的另兩個(gè)投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且均小于實(shí)長。

3)投影面垂直線

垂直于一個(gè)投影面(必與另兩個(gè)投影面平行)的直線稱為投影面垂直線。投影面垂直線有鉛垂線、正垂線和側(cè)垂線三種。表2-2列出了它們的立體圖、投影圖和投影特性。現(xiàn)歸納投影面垂直線的投影特性如下：

(1)直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。

(2)直線在另兩個(gè)投影面上的投影垂直于相應(yīng)的投影軸(或同平行于一個(gè)投影軸)，且反映實(shí)長。表2-1投影面平行線的投影規(guī)律

續(xù)表

表2-2投影面垂直線

續(xù)表

3．直線上的點(diǎn)

直線上的點(diǎn)具有以下特性：

點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各投影必在該直線的各同面(名)投影上，且點(diǎn)分割直線長度之比等于點(diǎn)的投影分割直線投影長度之比。反之，如果點(diǎn)的各面投影均在直線的同面投影上，且分割直線各投影長度成相同比例，則該點(diǎn)必在此直線上，如圖2-21所示。如果點(diǎn)不在直線上，則點(diǎn)的投影中至少有一個(gè)投影不在直線的同面投影上，如圖2-22所示。圖2-21直線上點(diǎn)的投影圖2-22不在直線上點(diǎn)的投影對于投影面的平行線，必須確定點(diǎn)的投影落在反映直線實(shí)長的同面投影上，才可確定點(diǎn)在直線上，否則還不能確定。如圖2-23所示，點(diǎn)M和點(diǎn)K的H面投影和V面投影都在直線的同面投影上，僅根據(jù)H面投影和V面投影還不能確定這兩個(gè)點(diǎn)是否在直線上，必須根據(jù)W面投影才能得出結(jié)論，確定點(diǎn)K在直線上，點(diǎn)M不在直線上。圖2-23投影面平行線與點(diǎn)的投影關(guān)系

4．兩直線的相對位置

兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交和交叉。平行和相交兩直線均屬于同一平面(共面)的直線，而交叉兩直線則不屬于同一平面(異面)的直線。表2-3列出了它們的投影圖及投影特性。表2-3兩直線的相對位置

5．一般位置直線求實(shí)長和傾角

從前面的內(nèi)容可以了解投影面的平行線和垂直線，在三面投影中可以直接看出直線的實(shí)際長度和該直線與投影面的夾角。對于一般位置直線，直線實(shí)長以及該直線與投影面之間的夾角是不能直接看出的。有時(shí)為了空間度量和繪制形體實(shí)際形狀的需要，必須求出直線的實(shí)際長度和直線與投影面之間的夾角。下面介紹兩個(gè)求一般位置直線的實(shí)長和傾角的方法。方法一：利用直角三角形法求直線的實(shí)長、直線和投影面的夾角。

觀察直線兩投影的直觀圖，如圖2-24(a)所示，直線AB在H面和V面上分別有投影ab和a′b′，兩個(gè)投影都不平行于投影軸，這是一條一般直線。過空間直線的一個(gè)端點(diǎn)B作一條平行于水平投影ab的直線，交A點(diǎn)的投影線于A0點(diǎn)，這樣就構(gòu)成一個(gè)直角三角形A0BA。這個(gè)三角形的構(gòu)成情況是：一個(gè)直角邊BA0長度等于直線的水平投影ab，另一個(gè)直角邊長度等于直線兩端點(diǎn)A、B到水平投影面的距離之差。由于BA0是一條水平線，在正面的投影平行于OX軸，因此在正面投影中可以很容易地找到兩端點(diǎn)A、B到水平投影面的距離之差。直角三角形A0BA的斜邊即直線的空間實(shí)際長度，斜邊AB與直角邊BA0的夾角即直線與水平面的夾角α。利用這個(gè)直角三角形的關(guān)系，可以很容易地用直線的水平投影和正面投影求出直線的實(shí)長以及直線與水平面的夾角。如圖2-24(b)所示，已知直線的兩個(gè)投影ab和a′b′，過直線的一個(gè)端點(diǎn)繪制一條與直線水平投影ab垂直的直線，在正面投影中求出直線AB到水平投影面距離之差(過直線的一個(gè)端點(diǎn)畫直線平行于OX軸即可)，在水平投影中繪制的與ab垂直的直線上截取這段長度(可以用圓規(guī)畫弧的方法)，找到A1點(diǎn)，連接A1點(diǎn)與另一個(gè)端點(diǎn)，繪制斜邊，即可求得直線的實(shí)長。直線實(shí)長與直線水平投影ab之間的夾角就是直線的α角。同樣也可以利用直線的水平投影和另一個(gè)投影求直線的實(shí)長以及直線的β角。此時(shí)直角三角形的兩個(gè)直角邊分別是直線的正面投影和直線兩端點(diǎn)到正面距離之差。直角三角形的空間概念和作圖方法如圖2-25所示。讀者可以根據(jù)圖2-25自己總結(jié)空間推理以及作圖方法。圖2-24利用直角三角形法求直線的實(shí)長、直線和水平面的夾角圖2-25利用直角三角形法求直線的實(shí)長、直線和正投影面的夾角同樣的道理，可以利用直線的側(cè)面投影和另一個(gè)投影求直線的實(shí)長以及直線的γ角，只是此時(shí)必須利用直線的側(cè)面投影作直角三角形的一個(gè)直角邊。讀者可以自己總結(jié)空間推理和作圖方法。方法二：利用換面法求直線的實(shí)長、直線和投影面的夾角。

如圖2-26(a)所示，作一個(gè)新的投影面V1，該面與H面垂直并平行于直線AB，V1與H面的交線為O1X1，O1X1與直線的水平投影ab平行。將直線兩端點(diǎn)A、B分別向新投影面V1投影，得到投影、，從前面已經(jīng)總結(jié)出的投影規(guī)律可以得出：到O1X1的距離反映A點(diǎn)的高度，與a′到OX軸的距離相等；到O1X1的距離反映B點(diǎn)的高度，與b′到OX軸的距離相等；與a點(diǎn)的連線垂直于O1X1；與b點(diǎn)的連線垂直于O1X1。可以利用前面學(xué)過的作圖方法對圖2-26(b)中的直線投影求實(shí)長和夾角。如圖2-26(b)所示，作軸線O1X1平行于ab，分別過a點(diǎn)和b點(diǎn)作軸線O1X1的垂線，截取到O1X1

等于a′到OX軸的距離，截取到O1X1

等于b′到OX軸的距離，得到投影、，連接和，即可得到直線AB的實(shí)長。與O1X1的夾角即為直線的α角。圖2-26利用換面法求直線的實(shí)長、直線和水平面的夾角同樣也可以利用換面法求出直線的實(shí)長，同時(shí)求出直線的β角。這時(shí)要求新投影面垂直于V面，同時(shí)平行于直線。作圖時(shí)，要利用直線的正面投影a′b′繪制軸線O1X1，新的投影a1b1度量時(shí)要利用直線的水平投影ab?？臻g構(gòu)思過程和繪圖方法如圖2-27所示，讀者可利用此方法求出直線的實(shí)長，同時(shí)求出直線的β角。

同樣的道理，也可以利用換面法求出直線的實(shí)長，同時(shí)求出直線的γ角。構(gòu)思過程和繪圖方法請讀者自行練習(xí)解決。圖2-27利用換面法求直線的實(shí)長、直線和正面的夾角

2.4平?面?的?投?影

1．平面的表示法

平面可以用各種幾何要素表示。圖2-28畫出了用不同幾何要素表示平面的直觀圖和投影圖。

圖(a)表示不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；

圖(b)表示一直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面；

圖(c)表示相交兩直線確定一個(gè)平面；

圖(d)表示平行兩直線確定一個(gè)平面；

圖(e)表示任意平面圖形如三角形、四邊形、圓形等確定一個(gè)平面。圖2-28用不同幾何要素表示平面的直觀圖和投影圖

2．各種位置平面的投影特性

根據(jù)空間平面對三個(gè)投影面的相對位置，平面可分為三類：投影面平行面、投影面垂直面和一般位置平面。前兩類平面稱為特殊平面。

1)投影面平行面

平行于一個(gè)投影面而垂直于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面。投影面平行面分為水平面、正平面和側(cè)平面三種。表2-4列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性?，F(xiàn)歸納投影面平行面的投影特性如下：

(1)平面在所平行的投影面上的投影反映空間平面的實(shí)形。

(2)平面的另兩個(gè)投影均積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線。表2-4投影面平行面的直觀圖、投影圖和投影特性

續(xù)表

2)投影面垂直面

垂直于一個(gè)投影面而傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面稱為投影面的垂直面。投影面垂直面分為鉛垂面、正垂面和側(cè)垂面三種。表2-5列出了它們的直觀圖、投影圖和投影特性?，F(xiàn)歸納投影面垂直面的投影特性如下：

平面在所垂直的投影面上的投影積聚為一斜直線，該投影與投影軸的夾角分別反映平面與另兩個(gè)投影面的真實(shí)傾角。

平面的另兩個(gè)投影均為類似形。表2-5投影面垂直面的直觀圖、投影圖和投影特性

續(xù)表

3)一般位置平面

對三個(gè)投影面都傾斜的空間平面稱為一般位置平面。其投影特性為：三個(gè)投影都為縮小的類似形，如圖2-29所示。圖2-29一般位置平面的投影

3．平面上的直線和點(diǎn)

1)平面上的直線

欲完成平面上直線的投影，需通過該平面內(nèi)的已知兩點(diǎn)，或通過該平面上的已知點(diǎn)且平行于該平面內(nèi)的任一直線。如圖2-30所示，在平面ABC中的兩條邊線AB和AC上分別選擇點(diǎn)M、N，找到這兩個(gè)點(diǎn)的兩面投影，連接這兩個(gè)投影即可完成直線MN的兩面投影。由于M、N兩點(diǎn)都在平面ABC上，因此直線MN一定在平面ABC上。在平面DEF中選擇點(diǎn)K，找到點(diǎn)K的兩面投影，在兩個(gè)投影中都過點(diǎn)K繪制平面內(nèi)一條直線的平行線，圖中顯示與直線EF平行，完成直線KL的兩面投影，由于點(diǎn)K在平面DEF中，直線KL又與平面內(nèi)的一條直線平行，因此直線KL一定在平面DEF內(nèi)。圖2-30平面上的直線

2)平面上的點(diǎn)

欲完成平面上點(diǎn)的投影，可先在該平面內(nèi)繪制直線，然后按照直線上點(diǎn)的投影方法，完成平面內(nèi)點(diǎn)的投影，如圖2-31所示。圖2-31平面上用輔助線取點(diǎn)的投影圖2-31(a)中顯示已知平面內(nèi)點(diǎn)K的一面投影，可過該點(diǎn)繪制平面內(nèi)的直線MN，完成平面內(nèi)直線MN的兩面投影，然后完成點(diǎn)K的另一面投影。圖2-31(b)中顯示已知平面內(nèi)點(diǎn)K的一面投影，可過該點(diǎn)與平面內(nèi)的已知點(diǎn)(A點(diǎn))繪制平面內(nèi)的直線AD，完成平面內(nèi)直線AD的兩面投影，然后完成點(diǎn)K的另一面投影。圖2-31(c)中顯示已知平面內(nèi)點(diǎn)K的一面投影，可過該點(diǎn)繪制與平面內(nèi)已知直線平行的直線MN，完成平面內(nèi)直線MN的兩面投影，然后完成點(diǎn)K的另一面投影。

例2.5

已知平面的投影和點(diǎn)的投影，判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)，如圖2-32(a)所示。圖2-32判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)

分析：

盡管點(diǎn)K的兩面投影都在平面ABC的范圍內(nèi)，但點(diǎn)K也不一定在平面ABC內(nèi)。如果點(diǎn)K在平面ABC內(nèi)，則其投影一定符合平面內(nèi)點(diǎn)的投影規(guī)律，因此可以用作平面上輔助線取點(diǎn)的投影的方法來判斷點(diǎn)K是否在平面ABC內(nèi)。

作圖：

過k′和平面上已知點(diǎn)A的正面投影a′繪制直線，交直線b′c′于d′點(diǎn)，d′即為D點(diǎn)的正面投影，完成直線AD的兩面投影。由于點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)，因此直線AD一定在平面ABC內(nèi)。觀察點(diǎn)K的水平投影k是否在直線AD的水平投影ad上，如果在，則點(diǎn)K