【優(yōu)化方案】2021屆高中數(shù)學人教版高考復(fù)習知能演練輕松闖關(guān)-第七章第2課時

[基礎(chǔ)達標]1．(2022·吉林長春市調(diào)研)一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為()A．eq\f(3,2)π B．2πC．3π D．4π解析：選A．依題意知，該幾何體是一個底面半徑為eq\f(1,2)、高為1的圓柱，其表面積為2π(eq\f(1,2))2＋2π×eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)π.2.一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為2eq\r(3)，它的三視圖中的俯視圖如圖所示，側(cè)視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是()A．4 B．2eq\r(3)C．2 D．eq\r(3)解析：選B．設(shè)底面邊長為x，則V＝eq\f(\r(3),4)x3＝2eq\r(3)，∴x＝2.由題意知這個正三棱柱的側(cè)視圖為長為2，寬為eq\r(3)的矩形，其面積為2eq\r(3).3．(2021·高考江西卷)一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π解析：選A．由三視圖可知該幾何體的下面是一個長方體，上面是半個圓柱組成的組合體．長方體的長、寬、高分別為10、4、5，半圓柱底面圓半徑為3，高為2，故組合體體積V＝10×4×5＋9π＝200＋9π.4．(2022·廣東廣州模擬)設(shè)一個球的表面積為S1，它的內(nèi)接正方體的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的值等于()A．eq\f(2,π) B．eq\f(6,π)C．eq\f(π,6) D．eq\f(π,2)解析：選D．設(shè)球的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長為a，則易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))\s\up12(2))＝eq\f(π,2).5.(2021·高考浙江卷)已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．108cm3B．100cm3C．92cm3D．84cm3解析：選B．此幾何體為一個長方體ABCD-A1B1C1D1被截去了一個三棱錐A-DEF，如圖所示，其中這個長方體的長、寬、高分別為6、3、6，故其體積為6×3×6＝108(cm3)．三棱錐的三條棱AE、AF、AD的長分別為4、4、3，故其體積為eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×4×3)×4＝8(cm3)，所以所求幾何體的體積為108－8＝100(cm3)．6.(2022·安徽省“江南十校”聯(lián)考)一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示(圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形)，則該幾何體外接球的體積為________．解析：依題意可知，新的幾何體的外接球也就是原正方體的外接球，要求的直徑就是正方體的體對角線，∴2R＝2eq\r(3)(R為球的半徑)，∴R＝eq\r(3).∴球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.答案：4eq\r(3)π7．(2021·高考浙江卷)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于________cm3.解析：由三視圖可知該幾何體為一個直三棱柱被截去了一個小三棱錐，如圖所示．三棱柱的底面為直角三角形，且直角邊長分別為3和4，三棱柱的高為5，故其體積V1＝eq\f(1,2)×3×4×5＝30(cm3)，小三棱錐的底面與三棱柱的上底面相同，高為3，故其體積V2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝6(cm3)，所以所求幾何體的體積為30－6＝24(cm3)．答案：248．(2022·湖北武漢市武昌區(qū)聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形，俯視圖是兩個同心圓，如圖所示，則該幾何體的表面積為________．解析：由三視圖知該幾何體為上底直徑為2，下底直徑為6，高為2eq\r(3)的圓臺，則幾何體的表面積S＝π×1＋π×9＋eq\f(1,2)×4×(2π＋6π)＝26π.答案：26π9.(2022·浙江杭州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺側(cè)＋S圓臺下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10．一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為eq\r(3)、寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形．S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).[力氣提升]1．(2021·高考湖北卷)一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡潔幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個簡潔幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個簡潔幾何體均為多面體，則有()A．V1＜V2＜V4＜V3 B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4 D．V2＜V3＜V1＜V4解析：選C．由三視圖可知，四個幾何體自上而下依次是：圓臺、圓柱、正方體、棱臺，其體積分別為V1＝eq\f(1,3)×1×(π＋2π＋4π)＝eq\f(7,3)π，V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4＝eq\f(1,3)×1×(4＋8＋16)＝eq\f(28,3)，于是有V2<V1<V3<V4.2．(原創(chuàng)題)一四周體的三視圖如圖所示，則該四周體的四個面中最大的面積為()A．2 B．2eq\r(2)C．eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：選D．由三視圖可知該幾何體是正方體中如圖所示的四周體，它的四個面中面積最大的是邊長為2eq\r(2)正三角形，其面積為eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3).3．(2021·高考課標全國卷Ⅰ)已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________．解析：如圖，設(shè)球O的半徑為R，則由AH∶HB＝1∶2得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面積為π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝eq\f(1,9)R2＋HM2＝eq\f(1,9)R2＋1，∴R＝eq\f(3\r(2),4).∴S球＝4πR2＝4π·(eq\f(3\r(2),4))2＝eq\f(9,2)π.答案：eq\f(9,2)π4．(2021·高考湖北卷)我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸.(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)解析：圓臺的軸截面是下底長為12寸，上底長為28寸，高為18寸的等腰梯形，雨水線恰為中位線，故雨水線直徑是20寸，∴降水量為eq\f(\f(π,3)（102＋10×6＋62）×9,π×142)＝3(寸)．答案：35．一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，其正視圖、俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為直角三角形．(1)請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；(2)證明：A1C⊥平面AB1C1.解：(1)幾何體的直觀圖如圖所示，四邊形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝eq\r(3)，BC＝B1C1＝1，四邊形AA1C1C是邊長為eq\r(3)的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故該幾何體是直三棱柱，其體積V＝S△ABC·BB1＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).(2)證明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C．由于四邊形ACC1A1為正方形，所以A1C⊥AC1.而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.6．(選做題)如圖所示，從三棱錐P-ABC的頂點P沿著三條側(cè)棱PA，PB，PC剪開成平面圖形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱錐P-ABC中，求證：PA⊥BC；(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱錐P-ABC的體積．解：(1)證明：由題設(shè)知A，B，C分別是P1P3，P1P2，P2P3的中點，且P2P1＝P2P3，從而PB＝PC，AB＝AC，取BC的中點D，連接AD，PD(圖略)，則AD⊥BC，PD⊥BC．又AD∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD．故PA⊥BC．(2)由題設(shè)有AB＝AC＝eq\f(1,2)P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13，∴AD＝PD＝eq\r(AB2－BD2)＝12.在等腰三角形DPA中，底