探究與發(fā)現(xiàn) 牛頓法-用導數(shù)方法求方程的近似解說課稿-2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊001

探究與發(fā)現(xiàn)牛頓法——用導數(shù)方法求方程的近似解說課稿-2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）探究與發(fā)現(xiàn)牛頓法——用導數(shù)方法求方程的近似解說課稿-2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊教學內(nèi)容本節(jié)課教學內(nèi)容選自2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊第三章“探究與發(fā)現(xiàn)牛頓法——用導數(shù)方法求方程的近似解”。主要內(nèi)容包括：

1.牛頓法的基本原理及推導過程；

2.牛頓法求方程近似解的步驟；

3.利用導數(shù)求解方程近似解的實際應用；

4.方程求解過程中誤差的分析與控制。核心素養(yǎng)目標1.理解并運用導數(shù)方法解決實際問題，發(fā)展數(shù)學抽象與邏輯推理能力；

2.通過牛頓法的學習，培養(yǎng)數(shù)學建模與數(shù)學運算能力；

3.在方程求解過程中，提高數(shù)學分析及問題解決能力；

4.增強對數(shù)學探究的興趣，培養(yǎng)獨立思考與創(chuàng)新能力。重點難點及解決辦法重點：

1.牛頓法原理的理解與應用。

2.導數(shù)在方程求解中的應用。

難點：

1.牛頓法迭代過程的推導。

2.迭代誤差的控制與理解。

解決辦法：

1.通過實例演示和圖形化解釋，幫助學生直觀理解牛頓法的迭代過程及其幾何意義。

2.通過詳細推導步驟，講解牛頓法中導數(shù)的應用，強調(diào)每一步的數(shù)學邏輯。

3.安排課堂練習，讓學生親自操作，逐步掌握牛頓法的計算過程。

4.對迭代誤差進行案例分析，引導學生通過實際計算來感受誤差變化，并探討如何合理控制誤差，例如通過選擇合適的初始值和迭代次數(shù)。教學資源1.軟硬件資源：多媒體教室、投影儀、計算機、黑板。

2.課程平臺：學校數(shù)學教學平臺。

3.信息化資源：數(shù)學軟件（如GeoGebra）、教學PPT、在線數(shù)學練習題庫。

4.教學手段：案例教學、圖形演示、課堂討論、小組合作。教學過程一、導入新課

1.各位同學，大家好。上一節(jié)課我們學習了導數(shù)在函數(shù)研究中的應用，今天我們將利用導數(shù)的知識來探究一種新的數(shù)學方法——牛頓法。牛頓法可以幫助我們求解方程的近似解。請大家打開課本，翻到第三章“探究與發(fā)現(xiàn)牛頓法——用導數(shù)方法求方程的近似解”。

二、探究牛頓法原理

1.首先，我們來看一下牛頓法的原理。請大家跟隨我一起閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容。牛頓法的基本思想是利用函數(shù)在某一點的切線來逼近函數(shù)的根。

2.（板書）設(shè)方程f(x)=0的根為a，我們選擇一個初始值x0，然后通過以下公式迭代計算：

x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)

3.現(xiàn)在，我想請大家嘗試解釋一下這個公式的含義。哪位同學愿意分享一下？

（學生回答后，老師總結(jié)）很好，這位同學說得非常準確。這個公式是通過函數(shù)在某一點的切線斜率（即導數(shù)）來調(diào)整下一次的近似值。

三、示例講解

1.接下來，我們通過一個具體的例子來理解牛頓法。請看教材例1，求解方程x^3-x-2=0在x=2附近的根。

2.（板書并演示）首先，我們確定初始值x0=2，然后根據(jù)牛頓法公式計算x1、x2、x3，直到我們得到一個足夠接近真實根的近似值。

3.現(xiàn)在，請大家跟隨我一起計算，看看能否得到相同的結(jié)果。

（學生跟隨計算，老師指導并解答疑問）

四、課堂練習

1.現(xiàn)在，請大家嘗試獨立完成教材練習題1，求解方程x^2-5=0在x=2附近的根。

2.（學生在練習，老師巡視并指導）

3.好的，我看到大多數(shù)同學都已經(jīng)完成了練習?，F(xiàn)在，請一位同學來分享一下你的答案和計算過程。

（學生分享，老師點評并總結(jié)）

五、難點講解

1.接下來，我們來探討一下牛頓法的難點。第一個難點是如何選擇合適的初始值x0。請大家閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，并思考為什么初始值的選擇會影響牛頓法的收斂性。

2.（學生思考后，老師總結(jié)）對，選擇合適的初始值可以加快收斂速度，甚至影響牛頓法是否能夠收斂到方程的根。

3.第二個難點是迭代誤差的控制。請大家閱讀教材中關(guān)于迭代誤差的分析，并嘗試解釋如何控制誤差。

4.（學生思考后，老師總結(jié)）正確，通過選擇適當?shù)牡螖?shù)和觀察近似值的變化，我們可以合理控制迭代誤差。

六、小組討論

1.現(xiàn)在，請大家分成小組，討論以下問題：牛頓法在實際應用中有哪些限制？如何克服這些限制？

2.（學生分組討論，老師巡視并指導）

3.各小組分享討論成果，老師總結(jié)并點評。

七、總結(jié)與反思

1.通過今天的學習，我們了解了牛頓法的基本原理和應用。請大家回顧一下我們今天所學的內(nèi)容，并思考牛頓法在實際問題中的應用。

2.現(xiàn)在，請大家合上課本，閉上眼睛，思考一下：如果你遇到一個復雜的方程求解問題，你會如何利用牛頓法來求解？

（學生反思后，老師總結(jié)）很好，今天我們學習了牛頓法，這是一種非常實用的數(shù)學方法。希望大家能夠?qū)⑺鶎W知識運用到實際問題中，解決更多的數(shù)學問題。

八、布置作業(yè)

1.請大家完成教材課后習題1、2、3。

2.思考題：如何利用牛頓法求解非線性方程組的近似解？

（學生記錄作業(yè)，老師結(jié)束本節(jié)課）教學資源拓展1.拓展資源：

-拓展閱讀：推薦學生閱讀《數(shù)學分析》中關(guān)于實根存在定理和牛頓迭代法的相關(guān)章節(jié)，以加深對實數(shù)根求解方法的理解。

-數(shù)學研究論文：介紹一些利用牛頓法進行方程求解的數(shù)學研究論文，如《牛頓法在求解非線性方程中的應用》等，讓學生了解該方法的實際應用和前沿動態(tài)。

-數(shù)學軟件使用：推薦學生使用Mathematica、MATLAB等數(shù)學軟件，這些軟件內(nèi)置了牛頓法求解方程的功能，可以幫助學生更好地理解算法和進行實際操作。

-在線教育資源：介紹一些在線教育平臺，如KhanAcademy、Coursera上的相關(guān)課程，這些資源可以為學生提供額外的學習材料和練習題。

2.拓展建議：

-深入理解牛頓法原理：鼓勵學生通過閱讀教材外的數(shù)學資料，進一步理解牛頓法背后的數(shù)學原理，如切線逼近法、函數(shù)的連續(xù)性和可導性等。

-實踐操作與模擬：建議學生使用數(shù)學軟件進行牛頓法的實際操作，通過模擬方程求解過程，加深對迭代步驟和誤差控制的理解。

-探索不同初始值的影響：鼓勵學生通過改變初始值，觀察牛頓法求解方程的收斂性和解的變化，從而更好地掌握初始值選擇的重要性。

-研究牛頓法的改進算法：引導學生研究牛頓法的改進算法，如牛頓下山法、擬牛頓法等，了解它們在處理特定類型方程時的優(yōu)勢。

-參與數(shù)學競賽：鼓勵學生參加數(shù)學競賽，如數(shù)學建模競賽，這些競賽中常常會涉及到利用牛頓法求解實際問題的題目，通過競賽可以鍛煉學生的實際應用能力。

-跨學科學習：建議學生將牛頓法的學習與其他學科相結(jié)合，如物理、工程等，探索牛頓法在其他領(lǐng)域中的應用。

-開展小組討論：鼓勵學生組成學習小組，針對牛頓法的不同應用場景進行討論，分享各自的學習心得和發(fā)現(xiàn)，促進知識的深入理解和交流。

-撰寫研究報告：建議學生選擇一個與牛頓法相關(guān)的研究課題，撰寫研究報告，通過整理和總結(jié)學習內(nèi)容，提高自己的學術(shù)研究能力。內(nèi)容邏輯關(guān)系①牛頓法的基本原理

-重點知識點：牛頓法的迭