【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修四導(dǎo)學(xué)案：《簡單的三角恒等變換》

第6課時(shí)簡潔的三角恒等變換能運(yùn)用和角公式、差角公式和二倍角公式進(jìn)行簡潔的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,但對這三組公式不要求記憶).前面我們學(xué)習(xí)了和角、差角及二倍角公式,初步體會到三角恒等變換在解題中的作用,本節(jié)課我們將在之前的基礎(chǔ)上連續(xù)探究公式在更多方面的運(yùn)用,體會學(xué)習(xí)公式的重要意義.問題1:代數(shù)式變換與三角變換有什么不同呢?代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換.對于三角變換,由于不同的三角函數(shù)不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會有所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此三角恒等變換經(jīng)常先查找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角恒等變換的重要特點(diǎn).問題2:三角恒等變換的要求是什么?(1)化簡:要求使三角函數(shù)式化為最簡,項(xiàng)數(shù)盡量少,名稱盡量少,次數(shù)盡量低,分母盡量不含三角函數(shù),根號內(nèi)盡量不含三角函數(shù),能求值的要求值.(2)求值:要留意角的范圍,三角函數(shù)值的符號之間的聯(lián)系與影響,較難的問題需要依據(jù)三角函數(shù)值進(jìn)一步縮小角的范圍.(3)證明:是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊,或右邊變同于左邊,或?qū)⒆笥叶歼M(jìn)行變換使其左右相等.問題3:三角恒等變換有哪些技巧?(1)常值的代換:如“1”的代換就是一種特殊的常值代換.(2)切化弦:當(dāng)化簡式中既含有正弦、余弦,又含有正切,利用同角的基本三角函數(shù)關(guān)系式

將正切化為正弦和余弦,這就是“切化弦”的思想方法,切化弦的好處在于削減了三角函數(shù)名稱.(3)升冪與降冪公式:sin2α=,cos2α=,運(yùn)用它就是降冪.反過來,直接運(yùn)用倍角公式或變形公式1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,就是升冪.

(4)角的變換:角的變換把已知角與未知角聯(lián)系起來,使公式順當(dāng)運(yùn)用,解題過程中常見的角的代換有:α=()-β,α=β-(),α=12[(α+β)+(α-β)],α+β=()問題4:三角應(yīng)用問題解答的一般步驟是什么?(1):審讀題意,分清已知與未知,理解數(shù)學(xué)關(guān)系,畫出示意圖.

(2):依據(jù)已知條件與求解目標(biāo),設(shè)角建立三角式,選擇適當(dāng)三角函數(shù)模型.

(3):利用三角變換,對所建立的三角函數(shù)模型進(jìn)行分析爭辯得到數(shù)學(xué)結(jié)論,即求得數(shù)學(xué)模型的解.

(4):檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義,把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的解答,從而得出實(shí)際問題的解.

1.cosπ5cos25π的值是(A.14 B.12 C.-142.若cosα=-45,α是第三象限的角,則1-tanα2A.2 B.12 C.-2 D.-3.若sin(π2+θ)=35,則cos2θ=4.已知0<α<π4,0<β<π4,且3sinβ=sin(2α+β),4tanα2=1-tan2α2,恒等式的證明已知5sinα=3sin(α-2β),求證:tan(α-β)+4tanβ=0.與平面對量的綜合運(yùn)用已知向量m=(3sinx4,1),n=(cosx4,cos2x4),若m·n=1,求cos(2π二倍角、半角公式在解三角形中的運(yùn)用在△ABC中,設(shè)sinA+sinC=2sinB,A-C=π3,求sinB的值求證:sin2x(sin已知向量m=(sinx,1),n=(3Acosx,A2cos2x)(A>0),函數(shù)f(x)=m·n的最大值為6(1)求A;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π12個(gè)單位,再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的12倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.求g(x)在[0,5π已知角A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,OM=(sinB+cosB,cosC),ON=(sinC,sinB-cosB),OM·ON=-15(1)求tan2A的值;(2)求2cos1.2sin2α1+cos2α·cos2A.tanα B.tan2α C.1 D.12.若f(tanx)=sin2x,則f(-1)的值是().A.-1 B.-sin2 C.12 D.3.已知sinα=12+cosα,且α∈(0,π2),則cos2α4.若xacosθ+ybsinθ=1①,且xasinθ-ybcosθ=1②,求證:x2(2021年·陜西卷)已知向量a=(cosx,-12),b=(3sinx,cos2x),x∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=a·b(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值考題變式(我來改編):

答案第6課時(shí)簡潔的三角恒等變換學(xué)問體系梳理問題3:(2)tanα=sinαcosα(3)1-cos2α2β-α2α+β問題4:(1)分析(2)建模(3)求解(4)檢驗(yàn)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.A原式=12sinπ5·2sinπ5cosπ5cos2π5=14sinπ5·2sin2π2.C依題意得sinα=-35,則1-tanα21+tanα2=cosα3.-725由sin(π2+θ)=35可知,cosθ=35,則cos2θ=2cos2θ-1=2×(35)24.解:由4tanα2=1-tan2α2得tanα=2tanα21-tan2α2=12.由3sin[(α+β)-α]=sin[(∴tan(α+β)=1.又∵0<α<π4,0<β<π∴0<α+β<π2,∴α+β=π重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】由于5sinα=3sin(α-2β),所以5sin[(α-β)+β]=3sin[(α-β)-β],所以5sin(α-β)cosβ+5cos(α-β)sinβ=3sin(α-β)cosβ-3cos(α-β)sinβ,所以2sin(α-β)cosβ+8cos(α-β)sinβ=0,即tan(α-β)+4tanβ=0.【小結(jié)】證明三角恒等式,一般要考慮三個(gè)“統(tǒng)一”:①統(tǒng)一角度,即化為同一個(gè)角的三角函數(shù);②統(tǒng)一名稱,即化為同一種三角函數(shù);③統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.探究二:【解析】(1)∵m·n=3sinx4·cosx4+cos2x4=32sinx2+1+cosx22=sin(x∴sin(x2+π6)=∴cos(x+π3)=1-2sin2(x2+π6)cos(2π3-x)=-cos(x+π3)【小結(jié)】向量是一種解決問題的工具,是一個(gè)載體,通常是用向量的數(shù)量積運(yùn)算或性質(zhì)轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問題.探究三:【解析】∵sinA+sinC=2sinB,即2sinA+C2cosA-C2=4sinB2cosB2,∴sinB2=12cosA∴sinB=2sinB2cosB2=2×34×(±1314[問題]sinB=-398嗎[結(jié)論]sinB≠-398,∵B是△ABC的一個(gè)內(nèi)角,∴B∈(0,π),∴sinB>0于是,正確解答如下:∵sinA+sinC=2sinB,即2sinA+C2cosA-C2=4sinB2cosB2,∴sinB2=12cosA∴cosB2=134,∴sinB=2sinB2cosB2=2×34【小結(jié)】在解三角形問題中,不僅要考慮題中角度的范圍,還需考慮三角形內(nèi)角的范圍,有時(shí)要依據(jù)三角函數(shù)值的符號和三角形內(nèi)角的范圍將角的范圍適當(dāng)縮小,再確定三角函數(shù)值或角度.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:由于左邊=2sin=2sinxcos=2sinxcosx-=sinx(1+cosx)所以原等式成立.應(yīng)用二:(1)f(x)=m·n=3Asinxcosx+A2cos2=A(32sin2x+12cos2=Asin(2x+π6)由于A>0,由題意知A=6.(2)由(1)知f(x)=6sin(2x+π6將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移π12y=6sin[2(x+π12)+π6]=6sin(2x+π3再將所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的12倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=6sin(4x+π3)因此g(x)=6sin(4x+π3)由于x∈[0,5π24],所以4x+π3∈[π故g(x)在[0,5π24]上的值域?yàn)閇-3,6應(yīng)用三:(1)∵OM·ON=(sinB+cosB)sinC+cosC(sinB-cosB)=sin(B+C)-cos(B+C)=-15∴sinA+cosA=-15,兩邊平方整理得:2sinAcosA=-2425∵-2425<0,∴A∈(π2,π),∴sinA-cosA=1-聯(lián)立①②得:sinA=35,cosA=-4∴tanA=-34,∴tan2A=2tanA1-ta(2)∵tanA=-34,∴2cos2A2-3sinA基礎(chǔ)智能檢測1.B2sin2α1+cos2α·cos22.A(法一)由sin2x=2sinxcosxsin2x+cos2x=2tanx1+tan2x,知(法二)f(-1)=f[tan(-π4)]=-sinπ2=-3.-142由sinα=12+cosα得sinα-cosα=∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=14∴2sinαcosα=34∴cos2αsin(α-π4)=co而(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=74又∵0<α<π2,∴sinα+cosα=72,∴原式=-4.解:①×cosθ-②×sinθ得,xa=cosθ+sin①×sinθ-②×cosθ得,yb=sinθ-cos③2+④2得x2a2+y全新視角拓展f(x)=(cosx,-12)·(3sinx,cos2x=3cosxsinx-12cos2=32sin2x-12=cosπ6sin2x-s