《金版學(xué)案》2022屆高考數(shù)學(xué)文科一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)-2-3函數(shù)的奇偶性與周期性-

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性題號(hào)1234567答案1．(2021·廣東卷)定義域?yàn)镽的四個(gè)函數(shù)y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．4B．3C．2D．1解析：四個(gè)函數(shù)中，y＝x3和y＝2sinx是奇函數(shù)．故選C.答案：C2．(2021·山東濱州一模)函數(shù)y＝eq\f(sinx,x)，x∈(－π，0)∪(0，π)的圖象大致是()解析：函數(shù)y＝eq\f(sinx,x)，x∈(－π，0)∪(0，π)為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排解B，C.當(dāng)x→π時(shí)，y＝eq\f(sinx,x)→0，故選A.答案：A3．(2021·遼寧遼源模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，則f(2)等于()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(15,4)D．a(chǎn)2解析：將f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2中的x用－x代替得f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，由函數(shù)的奇偶性可得－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2，將兩式相加和相減可得g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，由于g(2)＝a，所以a＝2，則有f(2)＝22－2－2＝eq\f(15,4).答案：C4．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)為奇函數(shù)，則a＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D．1解析：方法一由已知得，f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由于該函數(shù)定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)且x≠a))))，∴a＝eq\f(1,2).故選A.方法二∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．又f(x)＝eq\f(x,2x2＋（1－2a）x－a)，則eq\f(－x,2x2－（1－2a）x－a)＝eq\f(－x,2x2＋（1－2a）x－a)在函數(shù)的定義域內(nèi)恒成立，可得a＝eq\f(1,2).故選A.答案：A5．已知函數(shù)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)，g(x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)，則()A．f(x)與g(x)均為偶函數(shù)B．f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)C．f(x)與g(x)均為奇函數(shù)D．f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)解析：兩個(gè)函數(shù)的定義域均為(－1，1)，則f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；又g(－x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，故選D.答案：D6.(2021·浙江重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體摸底測試)函數(shù)f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)確定在函數(shù)f(x)圖象上的是()A．(－a，－f(a))B．(a，f(－a))C．(a，－f(a))D．(－a，－f(－a))解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x)＝f(－x)，∴f(x)為偶函數(shù)．∴f(a)＝f(－a)．而點(diǎn)(a，f(a))在函數(shù)圖象上，∴(a，f(－a))也在函數(shù)圖象上．故選B.答案：B7.(2022·湖北卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的集合為()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－eq\r(7)，1，3}D．{－2－eq\r(7)，1，3}解析：設(shè)x＜0，則－x＞0.所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)等價(jià)于求方程f(x)＝－3＋x的解，當(dāng)x≥0時(shí)，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；當(dāng)x＜0時(shí)，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－eq\r(7)，故選D.答案：D點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于求方程的根，等價(jià)于求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，此題還可以通過畫圖求解．留意“零點(diǎn)”不是“點(diǎn)”，是一個(gè)數(shù)值．8．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(6)的值為________．解析：由已知等式得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(6)＝f(2)，由f(x＋2)＝－f(x)得f(2)＝－f(0)，由于f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.答案：09．函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x＋2)＝eq\f(1,f（x）)，若f(1)＝－5，則f(f(5))＝________________________________.解析：由f(x＋2)＝eq\f(1,f（x）)，得f(x＋4)＝eq\f(1,f（x＋2）)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，f(5)＝f(1)＝－5，f(－5)＝f(－1)＝eq\f(1,f（－1＋2）)＝eq\f(1,f（1）)＝－eq\f(1,5).答案：－eq\f(1,5)10．設(shè)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)>1，f(2015)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵f(2015)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)<－1，∴eq\f(2a－3,a＋1)<－1，解得－1<a<eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0))是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：(1)易知f(1)＝1，f(－1)＝1－m，又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)．∴1－m＝－1.∴m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2>－1，,a－2≤1.))∴1＜a≤3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，3]．12．(2021·四川瀘州模擬)設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)當(dāng)－4≤x≤4時(shí)，求f(x)的圖象與x軸所圍圖形的面積．解析：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的函數(shù)，從而得f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函