平移與旋轉(zhuǎn)的教學(xué)研究與案例分析

平移與旋轉(zhuǎn)的教學(xué)研究與案例分析邯山區(qū)渚河路小學(xué)李敏一、引子領(lǐng)導(dǎo)老師們好！感謝書記能再次給我這個機會，交流假期備課和教學(xué)實踐中的一些思考。今天，和大家交流的主題是“平移與旋轉(zhuǎn)的教學(xué)研究與案例分析”選擇這個話題，因為曾經(jīng)在教學(xué)三年級“簡單圖形的平移”內(nèi)容時感覺學(xué)生理解有一定難度，曾經(jīng)學(xué)習(xí)過相關(guān)的一些內(nèi)容給我?guī)硪恍┧伎?，假期針對這一內(nèi)容進行了比較深入的學(xué)習(xí)，并設(shè)計其中冀教版三年級下冊“簡單圖形的平移”一課，拿來與大家分享，希望能得到在座專家、老師們的一些指導(dǎo)、建議，使我們能更有效的把握這部分內(nèi)容的教學(xué)。我們知道“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)四大領(lǐng)域中的一項重要內(nèi)容，其中包括“圖形的認識”、“測量”、“圖形的運動”、“圖形與位置”四部分內(nèi)容，而“平移與旋轉(zhuǎn)”就是“圖形的運動”中的重要內(nèi)容，本次我主要圍繞著這樣一個主題重點從四個方面與老師們進行研討與交流：1.“圖形的運動”具體包括哪些內(nèi)容？在小學(xué)里，學(xué)習(xí)平移，旋轉(zhuǎn)和這些知識的價值是什么？2.《2011版課程標準》與2001年實驗稿課標相比，關(guān)于“圖形的運動”部分在每一個學(xué)段的教學(xué)目標有哪些變化？3、“圖形運動”常用的教學(xué)策略有哪些？4、冀教版三年級下冊“簡單圖形的平移”一課的案例分析。

話題一：“圖形的運動”具體包括哪些內(nèi)容？在小學(xué)里，學(xué)習(xí)平移，旋轉(zhuǎn)和這些知識的價值是什么？1、圖形的運動。在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化（合同運動）；可以直觀地想一想，兩個圖形是完全一樣的，要由這個圖形運動得到那個圖形，可以通過怎樣的運動。首先可以是平移，或者兩個圖形需要經(jīng)過旋轉(zhuǎn)重合；或者是圖形需要經(jīng)過反射（翻折）重合了。上面的變換就是我們所說的平移、旋轉(zhuǎn)變換和反射變換（軸對稱變換），實際上一個圖形經(jīng)過反射變換后得到另一個圖形，這兩個圖形是成軸對稱的。這三種是三種基本的全等變換。二是形狀不變而大小變化（相似運動）。我們課本的圖形放大或縮小就是對應(yīng)的內(nèi)容。不過我們這里講的“放大或縮小”不是嚴格的相似，主要是直觀感知，為初中學(xué)段研究圖形的相似運動和位似運動奠定基礎(chǔ)。按照《課程標準》的要求，小學(xué)一到六年級中，圖形的運動主要指合同運動，包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱，還有簡單圖形擴和縮的知識內(nèi)容。通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生更好地認識現(xiàn)實中大量的圖形運動的現(xiàn)象，能以運動的觀點認識圖形，欣賞與設(shè)計圖案。對于小學(xué)生而言通過操作活動直觀感受到，平移就是沿著一定的方向移動了一定的距離；旋轉(zhuǎn)就是繞一個點轉(zhuǎn)動一定的角度，了解這從上表中不難看出，《標準》在第一學(xué)段適當(dāng)降低了要求，修訂后更加關(guān)注能辨認簡單圖形平移后的圖形，但在方格紙上畫出簡單的軸對稱圖形這個要求已經(jīng)去掉了，而將其放入了第二學(xué)段，因為在實際教學(xué)中，還是感覺學(xué)生對這一內(nèi)容還是感到比較抽象、不易理解。在第二學(xué)段，修訂前它強調(diào)要畫出軸對稱變化后的圖形，那么在修訂后要求是補全這個軸對稱圖形。這微小的變化，說明這一部分的要求是適當(dāng)降低難度，這樣的話，這兩個學(xué)段的層次就很明確了：第一學(xué)段，結(jié)合實例，通過觀察、操作，直觀認識平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱。第二學(xué)段，通過在方格紙上作圖等活動，定量刻畫運動，體會平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的特征；體會圖形的相似。修改后的課標在這部分降低了難度，更加強調(diào)觀察與操作，讓學(xué)生能夠積累數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗，在經(jīng)驗積累的過程中，逐步去建立和培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

《標準》更加明確了兩個學(xué)段的層次，教學(xué)中要把握好各自的側(cè)重點和聯(lián)系。第一學(xué)段，側(cè)重于對這三種運動的直觀認識。學(xué)生借助日常生活中對圖形運動現(xiàn)象的觀察與直觀感受，了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱；并認識兩個圖形具有平移或軸對稱的關(guān)系。其實，學(xué)生很早就有了物體或圖形運動的經(jīng)驗，他們通過折紙、轉(zhuǎn)風(fēng)車、照鏡子等獲得諸如平移、旋轉(zhuǎn)、反射等的體驗。生活中的許多現(xiàn)象，如旗幟升起、螺旋槳轉(zhuǎn)動等，以及建筑、植物（如楓葉）、動物（如蝴蝶）等物體為學(xué)生認識平移、旋轉(zhuǎn)、反射提供了豐富的素材。教師應(yīng)注意收集并利用這些素材，鼓勵學(xué)生對這些素材加以分析（分類、比較），進而了解、歸納、發(fā)現(xiàn)什么是平移，什么是旋轉(zhuǎn)，什么是軸對稱及各種運動的特點，從而直觀認識圖形的運動現(xiàn)象。第二學(xué)段，對于這三種運動，借助在方格紙上畫圖去定量刻畫圖形的運動，并通過豐富的活動體會三種運動的特征?？聪旅娴睦樱悍礁駡D中的圖1向右平移（）個格得到圖2。學(xué)生在解決這一問題時，已經(jīng)開始探索如何定量刻畫平移。學(xué)生在處理這個問題時還是存在一些困難的，比如學(xué)生在找平移格數(shù)時，常常會不去找平移前后兩個對應(yīng)點之間的格數(shù)，而是房子中間空白那一段的格數(shù)，得到平移2格的錯誤答案。此時，教師們會運用這樣的策略：鼓勵學(xué)生觀察局部的點（如房子頂）的變化情況，通過一格一格的數(shù)來尋找正確的格數(shù)。這已經(jīng)開始從整體感知運動到細致刻畫變換了，當(dāng)然這個過程是通過操作實現(xiàn)的。教學(xué)中需要注意的是，第一，操作應(yīng)該與適當(dāng)?shù)南胂笙嘟Y(jié)合。開始可以先操作然后再去回想變換的過程，積累一定經(jīng)驗后可以先去想象，然后再去操作，然后再回想。第二，教師還應(yīng)明確教學(xué)要求，特別是作圖的要求。首先小學(xué)階段的作圖是在方格紙上。另外，對于平移的作圖，只要求做基本圖形沿水平方向、豎直方向的平移；對于旋轉(zhuǎn)來說，要求做基本圖形旋轉(zhuǎn)90度后的圖形。《標準》不要求圖形沿其他方向平移或繞著一點旋轉(zhuǎn)任意角度。方格紙能幫助學(xué)生更準確地認識和理解圖形基本特征，能更好地使學(xué)生認識和描述空間圖形的變換過程，可以有效地促進學(xué)生對空間概念的建立。話題三:“圖形的運動”內(nèi)容常用的教學(xué)策略有哪些？1.結(jié)合生活實例，在觀察與比較中認識圖形的運動。首先，生活中大量存在這樣的素材，學(xué)生大量接觸，有豐富的生活經(jīng)驗。課程內(nèi)容的選擇就要貼近學(xué)生實際，有利于學(xué)生體驗、思考與探索。再者，從學(xué)生思維發(fā)展來說，兒童的抽象思維需要具體形象思維與生活經(jīng)驗給與支撐，對感知圖形運動這樣抽象概念來說尤其重要。小學(xué)階段關(guān)于圖形的運動定位在積累感性體驗，形成初步認識。因此，必須結(jié)合實例展開教學(xué)，才更符合學(xué)生的認知規(guī)律。（如：吳正憲講平移旋轉(zhuǎn)課時……）這樣做，一方面有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形運動的興趣，另一方面使學(xué)生進一步體會到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的概括能力。2.借助操作活動，加深對圖形運動的認識，幫助學(xué)生體會運動的特征。這種策略尤其在學(xué)生對圖形進行定量刻畫時尤為重要。比如研究圖形在方格紙上平移了幾格，學(xué)生常出的錯誤是：不是找平移前后兩個對應(yīng)點之間的距離，而是中間空白那一段的距離。要客服這個問題，必須通過操作，然后引導(dǎo)學(xué)生再次操作——牽住一個點平移整個圖形，然后在腦中想象這一平移過程，學(xué)生就好理解了，也便于學(xué)生總結(jié)方法。還有在旋轉(zhuǎn)時，將一個直角三角形繞直角那個頂點順時針旋轉(zhuǎn)90°。有的學(xué)生想象不出了?？梢酝ㄟ^旋轉(zhuǎn)三角形加深理解，也可以借助鉛筆，分別將三角形的兩條邊旋轉(zhuǎn)確定位置及長度，然后拋開鉛筆，想象著旋轉(zhuǎn)直角邊。通過這樣的活動，將操作與想象結(jié)合起來，逐步培養(yǎng)學(xué)生的這種空間觀念、發(fā)展幾何直觀。3.注重從運動的角度，引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖形、設(shè)計圖案。如，一位老師在教學(xué)《圖形的旋轉(zhuǎn)》一課時，引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)，動態(tài)呈現(xiàn)一些基本圖形旋轉(zhuǎn)后形成的美麗圖形、圖案以及生活中的應(yīng)用，鼓勵學(xué)生從變換的角度去欣賞，感受其中蘊涵的美，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。并注意鼓勵學(xué)生從不同角度觀察圖形，識別不同的基本圖形發(fā)生了怎樣的變換之后，形成了同一個圖形，體驗圖形旋轉(zhuǎn)的美妙，同時也激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維，為后面利用圖形變換自己設(shè)計、制作圖案做了孕伏。4．在解決問題中注重“圖形的運動”和相關(guān)知識的聯(lián)系，發(fā)展空間想象力和解決問題的能力。如從運動變換的角度來認識圖形，像長方形沿著長邊旋轉(zhuǎn)就可以成為一個圓柱體，就是柱體的形成，它體現(xiàn)了和圓柱體之間的聯(lián)系。再如從運動變化的角度來理解度量，把兩個完全一樣的三角形，通過旋轉(zhuǎn)平移就可以拼成一個平行四邊形，用它來推導(dǎo)公式效果會更佳?？傊W(xué)階段有關(guān)圖形的運動的目標的達成是一個循序漸進的過程，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該注重多種策略的運用，以這個內(nèi)容為載體，幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。

話題四：冀教版三年級下冊“簡單圖形的平移”一課的案例分析。一、教材分析《簡單圖形的平移》是冀教版三年級下冊一單元第二課時的內(nèi)容。本節(jié)課是在學(xué)生初步認識了旋轉(zhuǎn)與平移現(xiàn)象的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的。教材主要是通過動手操作讓學(xué)生感受、認識圖形的平移。共安排了兩個環(huán)節(jié)。首先，讓學(xué)生在方格紙上按要求平移長方形紙片，了解平移過程中的兩個要素：移動的方向和移動的距離，弄清紙片從一個位置平移到另一個位置時平移方向和平移距離的含義。第二個環(huán)節(jié)，在“試一試”中引導(dǎo)學(xué)生在方格紙上畫出簡單圖形沿水平或豎直方向平移后的圖形。再通過“練一練”，讓學(xué)生進一步感受平移現(xiàn)象，掌握畫圖技能，發(fā)展初步的空間觀念。二、教學(xué)目標1、結(jié)合操作活動，經(jīng)歷人生圖形平移和在方格紙上畫平移圖形的過程。2、能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。3、在探索簡單圖形平移的過程中，發(fā)展空間觀念。教學(xué)重點：1、學(xué)會判斷方格圖上圖形平移的方向和格數(shù)。2、能在方格圖上將圖形按指定的方向和格數(shù)平移。教學(xué)難點：1、判斷方格圖上圖形平移的方向和格數(shù)。2、平移的作圖。3、幫助學(xué)生建立空間觀念。三、學(xué)情分析學(xué)生在上節(jié)課已經(jīng)初步認識了旋轉(zhuǎn)和平移現(xiàn)象，本節(jié)課對于平移的方向，學(xué)生容易理解；但對圖形平移的距離，學(xué)生往往會把平移前后圖形間的空格數(shù)誤認為平移的距離。四、教學(xué)設(shè)計（一）、回顧舊知、揭示新課上課伊始，引導(dǎo)學(xué)生說說生活中的旋轉(zhuǎn)、平移的實例，回顧旋轉(zhuǎn)和平移的特征，鞏固舊知，揭示課題，引出新課。（二）游戲激趣、鋪墊孕伏1、手勢游戲、滲透新知出示方格圖，讓學(xué)生想象眼前有這樣一幅方格圖，（黑板貼出）（課件），然后右手握拳放在胸前，聽老師口令平移拳頭，邊平移邊數(shù)格數(shù)，看誰反應(yīng)快！如，師：向上平移3格！1、2、3！歸位！向左平移4格！歸位！等等。通過活動，迅速激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，巧妙滲透平移知識。2、點的平移、示范引領(lǐng)想象把拳頭縮小為方格圖上的一枚棋子（課件），讓學(xué)生聽命令走棋子。如，向右平移5格，向左平移3個，等等。使學(xué)生在游戲中感受點平移的方向并注意引導(dǎo)正確數(shù)出點平移的格數(shù)。為判斷圖形的平移作了再次鋪墊。3、線的平移,拓展思路。接著讓學(xué)生判斷一條線段平移的方向和距離，讓學(xué)生明白線段平移前后之間的距離是多少。為探究圖形的平移又一次進行鋪墊。同時，也為判斷圖形的平移提供了一種方法。（三）合作探究、總結(jié)方法1、操作想象，互動生成（課件）（1）出示圖，學(xué)生觀察，想一想A到B向哪平移幾格。然后每人拿出格子圖、長方形卡片，操作驗證后，請學(xué)生演示。故意反問：奇怪，中間明明空著3格，怎么卻不是平移了3格呢？操作后學(xué)生肯定知道，3格到不了。課件再來演示一遍。有的學(xué)生可能就會發(fā)現(xiàn)：空格+圖形自身格數(shù)=平移格數(shù)。（沒有發(fā)現(xiàn)不追問）總之，追問——糾正學(xué)生直覺的錯誤。操作和演示——幫學(xué)生形成正確認識，為脫離實物，形成想象奠定基礎(chǔ)。（2）啟發(fā)學(xué)生從拿著整張卡片平移，能否轉(zhuǎn)化為牽住一個點平移，就好像人們牽牛時，只要牽住哪兒，就能把牛輕松牽走？（牛鼻子）能否在圖形上也找這樣一個牛鼻子，牽著牛鼻子往前走？課件示范牽著一點向右移。要求，每走一步，要想象整個圖形被牽到什么位置了。（課件）（5格）到位了嗎？通過剛才活動，你發(fā)現(xiàn)什么？啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：可以牽著牛鼻子平移圖形；牛鼻子平移了幾格，圖形就平移了幾格。從而發(fā)現(xiàn)數(shù)平移格數(shù)的簡便方法：找到一個點，看它到對應(yīng)點平移了幾格，則圖形就平移了幾格。通過課件化靜為動，化虛為實，從具體形象逐步過渡抽象，為學(xué)生提供合理想象的支架，便于學(xué)生建立空間觀念。同時，牛鼻子的形象比喻，生動有趣，便于理解和想象。（3）啟發(fā)學(xué)生換個牛鼻子再來數(shù)一數(shù)。直接在自己的方格紙上，然后同桌展示所選的“牛鼻子”及“牛鼻子”的平移過程交流，學(xué)生展示。這里注意糾正學(xué)生的錯例：主要是點不對應(yīng)的問題。（4）牛鼻子是圖形上的一些點，能否牽住邊移一移呢？自己嘗試、小組交流、小組展示。（5）引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)完善方法：找出一組對應(yīng)點或?qū)?yīng)邊，數(shù)出他平移的格數(shù)就是圖形平移的格數(shù)?！就ㄟ^換點數(shù)一數(shù)、找邊數(shù)一數(shù)，在多次的平移過程中，發(fā)散學(xué)生思維，豐富學(xué)生對數(shù)格方法的認識。使學(xué)生形成技能?！?、及時鞏固，形成技能對書上（2）、想一想的要求，留給學(xué)生獨立完成，組內(nèi)交流、小組展示。3、拓展延伸、深化提高師：通過找牛鼻子，數(shù)牛鼻子，學(xué)會了判斷一個圖形向哪里平移了幾格。其實“牛鼻子”還有一個更大的用處，那就是幫助我們方便快捷地平移圖形。（課件）出圖，把圖左移2格，怎樣移最方便？討論，集體交流。明確：選一點、或一條邊平移確定位置，再畫圖。學(xué)生自主嘗試完成“試一試”2個問題。組內(nèi)交流選了那個點或那條邊？怎樣平移、畫圖的。教師巡視，查找典型錯例。小組展示。展示典型錯例，引導(dǎo)辨析：移的距離錯了、圖的位置反了等情況?！居辛饲懊嫔钊胩骄浚瑸榇颂幾灾魈骄康於ɑA(chǔ)。自主探究，使學(xué)習(xí)更有挑戰(zhàn)性，學(xué)生能拾階而上。】4、完成藍靈鼠的要求，展示學(xué)生作品。四、訓(xùn)練應(yīng)用完成書中練一練1—4題。1、2題趣味性很強，能讓學(xué)生輕松鞏固已學(xué)知識，化學(xué)習(xí)被動為主動，化抽象為具體，激發(fā)學(xué)生內(nèi)心深處的學(xué)習(xí)興趣，也為教師及時提供學(xué)生評價和反饋信息的方法與途徑。3、4針對重點難點訓(xùn)練，鞏固新知。最后，增加游戲題，設(shè)計格羅斯方塊練習(xí)，讓學(xué)生說平移格數(shù)，在玩中鞏固新知，寓教于樂。《2011版數(shù)學(xué)課程標準》在“圖形與幾何”領(lǐng)域仍然增加了“平移，旋轉(zhuǎn)，放大與縮小這些內(nèi)容”，只是把“圖形與變換”改為“圖形的運動”。所謂圖形的運動，在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程中最基本的形式有兩種：一是形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化（合同運動）；二是形狀不變而大小變化（相似運動）。1.從學(xué)生角度來看現(xiàn)實生活中存在著大量的圖形的變換的現(xiàn)象，學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗，例如，電梯、地鐵列車在平行移動；鐘面指針、自行車輪、電風(fēng)扇葉片在旋轉(zhuǎn)運動；許多年畫、卡通動物、建筑物的形狀具有對稱性。這些現(xiàn)象為兒童學(xué)習(xí)圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實背景。我們希望提供給學(xué)生一種數(shù)學(xué)的眼光，去認識和把握這些現(xiàn)象。通過圖形的運動探索發(fā)現(xiàn)并確認圖形的一些性質(zhì)，有助于學(xué)生發(fā)展幾何直觀能力和空間觀念，有利于學(xué)生提高研究圖形性質(zhì)的興趣、體會研究圖形性質(zhì)可以有不同的方法。2．從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看1872年，德國大數(shù)學(xué)家克萊茵發(fā)表“愛爾蘭根綱領(lǐng)”的演說，這個里