高斯公式流量與散度

高斯公式流量與散度一、高斯公式平面上封閉曲線的曲線積分與其圍成的平面區(qū)域上的二重積分之間的關系可用格林公示來表示.下面要介紹的高斯公式則揭示了封閉曲面上的曲面積分與其所圍成的空間閉區(qū)域上的三重積分之間的關系.可以認為高斯公式是格林公式在三維空間中的推廣.一、高斯公式設空間區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數P（

x,y,z

），Q（

x,y,z

），R（

x,y,z

），在Ω上具有一階連續(xù)偏導數，則有

（10-15）這里Σ是Ω的整個邊界曲面的外側，公式（1015）稱為高斯公式.定理一、高斯公式證明先證明設閉區(qū)域Ω在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy.假設穿過Ω內部且平行于z軸的直線與Ω的邊界曲面Σ的交點恰好是兩個，即其邊界曲面Σ由曲面及以垂直于Dxy邊界的柱面Σ3組成（見圖10-18），其中Σ1取下側，Σ2取上側，Σ3取外側，于是按三重積分的計算方法，有一、高斯公式圖10-18一、高斯公式

又由于Σ3上任意一塊曲面在xOy面上的投影為零，所以一、高斯公式因此如果穿過Ω內部且平行于x軸的直線以及平行于y軸的直線與Ω的邊界曲面Σ的交點也都恰好是兩個，那么類似地可得這些結果相加便得高斯公式.一、高斯公式對于一般的空間有界閉區(qū)域高斯公式均成立.若曲面Σ與平行于坐標軸的直線的交點多于兩個，則用有限個光滑的曲面將Ω分為有限個滿足條件的小閉區(qū)域來討論.注意一、高斯公式求其中Σ為錐面及半球面所圍成的空間閉區(qū)域Ω的整個邊界曲面的外側.

解由題意知P=x,Q=y,R=z,則利用高斯公式，得【例1】一、高斯公式求其中Σ為曲面z=1－x2－y2(z≥0)的上側.

解作輔助平面取Σ1的下側,則平面Σ1與曲面Σ圍成空間有界閉區(qū)域Ω,故由高斯公式得【例2】一、高斯公式而所以一、高斯公式求其中Σ為的上側.

解補充平面取Σ1的下側，則Σ+Σ1構成封閉曲面，設其所圍成空間區(qū)域為Ω.于是【例3】二、向量場的流量與散度設區(qū)域的體積為V，則表示單位時間內區(qū)域Ω內單位體積流體的平均發(fā)散量,即平均散度.令Ω收縮到一點M（

x,y,z

），若極限存在，則稱此極限值為向量場A在點M的散度，記為divA(M),即

二、向量場的流量與散度設有向量場其中函數P，Q，R均具有一階連續(xù)偏導數，Σ是場內的一片有向曲面，n是Σ在點x,y,z處的單位法向量，則積分稱為向量場A通過曲面Σ向著指定側的流量（或通量）.如果A是定常流體（假定密度為1）的速度，則|Q|表示單位時間內穿過Σ流體的質量.如果Σ是閉曲面，則表示單位時間內通過閉曲面Σ的流體的質量，它是從Σ流出的流體的質量與流入Σ的流體的質量之差，表示單位時間內流體從Σ包圍的區(qū)域Ω內部向外發(fā)出的總質量.二、向量場的流量與散度當divA(M)>0時，稱點M為源，其值表示源的強度；divA(M)<0時，稱點M為洞（或負源），其值表示洞吸收的強度；當divA(M)=0時，點M既非源又非洞，divA(M)=0的場稱為無源場.散度是一個數量，由向量場A派生出的散度場divA是數量場.由高斯公式和積分中值定理得二、向量場的流量與散度

其中則即二、向量場的流量與散度引入向量微分算子A的散度divA也可以表達為Δ·A，即divA=Δ·A.散度具有下列性質：(1)Δ·(CA)=CΔ·A(C為常數).(2)Δ·(A+B)=Δ·A+Δ·B.(3)Δ·(uA)=uΔ·A+Δu·A(u為數量函數).二、向量場的流量與散度高斯公式可寫成上述公式表明，向量場A通過閉曲面Σ流向外側的流量等于向量場A的散度在閉曲面Σ所圍閉區(qū)域Ω上的