初高中數(shù)學(xué)(新人教版)銜接點(diǎn)09-從換元法-數(shù)形結(jié)合思想到函數(shù)的值域(解析版)

銜接點(diǎn)09從換元法，數(shù)形結(jié)合思想到函數(shù)的值域【基礎(chǔ)內(nèi)容與方法】1.換元法：就是將函數(shù)解析式中的部分代數(shù)式視為整體，換成新元，從而簡(jiǎn)化函數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)求值域的方法．形如的函數(shù)，常用換元法求解．2.數(shù)形結(jié)合思想：畫(huà)出函數(shù)的圖形，找圖形的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為函數(shù)的最值．類(lèi)型一：換元法求形如的函數(shù)的值域例1：求函數(shù)的值域．【解析】令，則．∴原函數(shù)可化為．∵當(dāng)，即時(shí)，；且原函數(shù)無(wú)最小值．故原函數(shù)的值域?yàn)椋键c(diǎn)練習(xí)一1.求函數(shù)y＝2x－eq\r(x－1)的值域．【解析】(換元法)設(shè)t＝eq\r(x－1)，則t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－eq\f(1,4))2＋eq\f(15,8)，由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇eq\f(15,8)，＋∞)．類(lèi)型二：數(shù)形結(jié)合思想求值域例2：作出下列函數(shù)的大致圖像，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．（1）；（2）．【答案】（1）減區(qū)間：和，值域：；（2）減區(qū)間：和，增區(qū)間：和，值域：．【解析】分別畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．（1），圖象如圖所示：函數(shù)在和為減函數(shù).因?yàn)椋?，故值域?yàn)椋?；?），圖象如圖所示：函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故值域：；【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，屬于中檔題.考點(diǎn)練習(xí)二2．作出下列函數(shù)的大致圖像，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）增區(qū)間：，值域：R；（2）增區(qū)間：和，減區(qū)間：，值域：；（3）減區(qū)間：和，增區(qū)間：和，值域：；（4）減區(qū)間：和，增區(qū)間：和，值域：，大致圖像見(jiàn)解析【解析】（1）函數(shù)的圖象如圖所示：函數(shù)在上為增函數(shù)，值域：.（2），圖象如圖所示：函數(shù)在和為增函數(shù)，在為減函數(shù)，值域?yàn)椋?（3），圖象如圖所示：函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù).值域?yàn)椋?；?），函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù)，值域?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，屬于中檔題.課后作業(yè)：1.函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．R【解析】，值域?yàn)椤敬鸢浮緽2.函數(shù)y=x+的值域是()A．(－∞,1 B．(－∞,－1C．R D．［1,+∞【解析】令=t(t≥0),則x=∵y=+t=－(t－1)2+1≤1∴值域?yàn)?－∞,1【答案】A3．已知f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，則f(3)＝______.【解析】∵f(x－eq\f(1,x))＝(x－eq\f(1,x))2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11.4．求函數(shù)的定義域與值域.【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得.所以原函數(shù)的定義域是.，所以值域?yàn)?5.已知的定義域與值域.【解析】要使函數(shù)有意義，則x+2≠0，解得x≠－2.所以原函數(shù)的定義域是.∵，∴值域?yàn)?6.求下列函數(shù)的值域.(1)(2)y＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3，5].【解析】(1)(換元法)設(shè)eq\r(3x－2)＝t，t≥0，則y＝eq\f(1,3)(t2＋2)－t＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－eq\f(1,12)，當(dāng)t＝eq\f(3,2)時(shí)，y有最小值－eq\f(1,12)，故所求函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12)，＋∞)).(2)(分離常數(shù)法)由y＝eq\f(2x－1,x＋1)＝2－eq\f(3,x＋1)，結(jié)合圖象知，函數(shù)在[3，5]上是增函數(shù)，所以ymax＝e