2022年高考數(shù)學(xué)-專題26平面向量應(yīng)用含答案

2022年高考數(shù)學(xué)-專題26平面向量應(yīng)用

一、關(guān)鍵能力

理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；會(huì)用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題；

會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題。

二、教學(xué)建議

從近三年高考情況來看,本講一直是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容.預(yù)測2022年高考將考查向量

數(shù)量積的運(yùn)算、模的最值、夾角的范圍.題型以客觀題為主，試題難度以中檔題為主，有時(shí)也會(huì)

與三角函數(shù)、解析幾何交匯出現(xiàn)于解答題中.

三、自主梳理

1.向量在平面幾何中的應(yīng)用

向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下方面：

⑴證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減

法的意義.

⑵證明線段平行、三角形相似,判斷兩直線(或線段)是否平行,常運(yùn)用向量平行(共線)的條件：

Ra=46(或My?—x2yi=0)

⑶證明線段的垂直問題,如證明四邊形是矩形、正方形,判斷兩直線(線段)是否垂直等,常運(yùn)用

向量垂直的條件：?6=0：或乂*2+乂/=0).

a'b

(4)求與夾角相關(guān)的問題,往往利用向量的夾角公式彌56=國商_.

⑸向量的坐標(biāo)法,對(duì)于有些平面幾何問題,如長方形、正方形、直角三角形等,建立直角坐標(biāo)系，

把向量用坐標(biāo)表示,通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.

2.向量在物理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中對(duì)物理背景問題主要研究下面兩類：

(1)力向量

力向量是具有大小、方向和作用點(diǎn)的向量，它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同,但力是具有大小和方

向的量,在不計(jì)作用點(diǎn)的情況下,可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個(gè)力的合力.

⑵速度向量

速度向量是具有大小和方向的向量，因而.可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個(gè)速度的合

速度.

四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型

例1T（判斷點(diǎn)的位置）

（2021?濟(jì)南市?山東師范大學(xué)附中）設(shè)尸為AABC所在平面上一點(diǎn),且滿足

PA+2PC=相通（m>0）,若八43P的面積為2,則△A6C面積為.

【答案】3

【解析】

1?2—tn——1.2.1—2.

由已知條件可得+=（機(jī)>0）,令尸O=+則可得=從而可

得。為AC上靠近。的三等分點(diǎn)，由歷=葭麗，得而〃而，從而有

2

山郎=SJBD=-S.C=2,進(jìn)而可求得答案

【詳解】

解：因?yàn)橛?2斤=相而（m>0）,

1—.2—?m—-

所以+§尸C=］AB（加>0）,

__1_9__1__1—2__2__

令尸上PA+—PC,貝1］一尸。一一PA=-PC——PD,

333333

1—.?—?

所以3AO=§OC,所以。為AC上靠近C的三等分點(diǎn)，

因?yàn)辂?］而，所以而〃通，

2

所以SJBP=S.ABD=~=2,

所以Sac=3,

故答案為：3

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021?上海普陀區(qū)-高三二模）如圖，在△A8C中，C=|,AC=y/3,BC=\,若

O為△ABC內(nèi)部的點(diǎn)且滿足卷+焉+禽=6,則網(wǎng):阿：|囚=.

b

【答案】4:2:1

【解析】

根據(jù)已知的向量關(guān)系先分析出ZBOC=AAOB=ZAOC=120°,然后通過設(shè)NOC8=6,根據(jù)相

似三角形以及正弦定理找到網(wǎng)，函岡的關(guān)系，從而可求解出阿：|詞：|因的結(jié)果.

【詳解】

OAOBOCAOAOBOC

因?yàn)榭?國+國=，所以網(wǎng)=國+同，

OBOC

所以1=1+1+211?cos'網(wǎng)］因,

OBOC1得離＞=120。

所以8s,扇'同＞二一5’所以I。蛆。4

即/BOC=120°,同理可知：ZBOC=ZAOB=ZAOC=120°,

不妨設(shè)/OCB=6,所以/OBC=60。一"

又因?yàn)椤?5,AC=>/3,8c=1,所以A3=2,N/SC=60。，

所以/0%=60。_（60。_6）=6,所以/04^=180。_120。_g=60。_氏

所以aAOB?△80C,所以鐵=黑，所以QAOC=OB2；

BCOBOC

在3OC中,==

sinZBOC~sinZOCB~sinZOBC

1OBOC2出

所以sin120。=mZ=sin（60。-’所以°§二亍而氏

OBAB

又在aAOB中,

sinZOAB~s\nAAOB

OB2

所以麗詢二茅旃，所以。人告4J3疝他叫,

2出4、八sin0c

所以一^-sin0=-^-sin（60?！?。）,所以§?。?0。-。）='

OBsin0OB

又因?yàn)楣?5m（60。_6［所以元=2,

nA

又因?yàn)?400=082,所以斤二4,

V-XK-X

所以便|:|麗阿=4:2:1.

故答案為：4:2:1.

B

例1-2（兩條直線垂直）

在△48C中，已知AB=AC=5,宓=6,M是邊4C上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn),試問：在線段BM（端

點(diǎn)除外）上是否存在點(diǎn)E使得PC1BM?

【答案】線段加上不存在點(diǎn)。使得，C_L8斷

【解析】［思路分析］本題是存在性問題,解題時(shí)利用共線向量，把向量滋的坐標(biāo)設(shè)出，從而得

到加坐標(biāo),然后根據(jù)垂直關(guān)系,利用數(shù)量積為零得到問題的答案.

解：以8為原點(diǎn),宓所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

?:AB=AC=5,BC=6,

「?8(0,0)J(3,4),C(6,0),

則%=(3,-4).

???點(diǎn)附是邊NC上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn),

(1,一3,

礪=(4,-).

*5

假設(shè)在8附上存在點(diǎn)夕使得PC1BM,

設(shè)赤=/I威且0</<1,

即雄=A防=A(4,1)=(4A,1A),

二雄=雄+赤=(-6,0)+(4A-A)=(4A-6-4).

J0

'/POLBM,：蓋.雄=0,

88

得4(44—6)+-X-A=0,

oo

27

解得A=-

zo

27

丁A=寶￡/(0.1),..?線段剛上不存在點(diǎn)戶使得PC.LBM.

zo

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2021?江蘇蘇州市)我們知道，”有了運(yùn)算，向量的力量無限”.實(shí)際上,通過向

量運(yùn)算證明某些幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”簡便多

了.下面請(qǐng)用向量的方法證明“三角形的三條高交于一點(diǎn)”.已知AZ),BE,。/是AABC的三

條高,求證：AO,BE,CF相交于一點(diǎn).

【答案】證明見解析.

【解析】

結(jié)合向量的數(shù)量積即可證明.

【詳解】

如圖，設(shè)小>口8七=〃，則鋼_L而，HBLAC

71ABC=HA（lJC-HB）=0?

HBAC=71B（71C-71A）=O?

①-②得：麻?（麗-麗）=0,即麻.麗=0

故亞，麗，即SLAB,又C「_LAB

所以C,尸，”三點(diǎn)共線，

所以A。，BE,C77相較于一點(diǎn).

例1-3（求線段的長）

（2021?濟(jì)南市?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）在平面四邊形力8⑦中，脛44a2/，對(duì)角線/IC與劭交

于點(diǎn)EE是8D的中點(diǎn)，且e=2應(yīng)7；若AC=3,求劭的長.

【答案】4拉；

【解析】因?yàn)锳C=3,所以AE=2,

又因?yàn)镋是劭的中點(diǎn),所以/=J（幾十八），

所以|荏（二；（麗+而『

即網(wǎng)2=；（而+研=；（|研+阿+2相珂

所以16=4?+（20）2+2x4x2夜xcosNZMB,

解得：cos4DAB=———,

4

在△A3。中，利用余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2xABxADxcos/DAB

22

=4+(2>/2)-2X4X2>/2X=32

所以BD=46.

例1-4(證明角相等)

△48。是等腰直角三角形，NB=90。，。是邊死的中點(diǎn),BE1AD,垂足為E延長BE交4C于F,

連接班求證：4ADB=Z.FDC.

【答案】

［解析】如圖,8為原點(diǎn),8c所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)3(0,2),C(2,0)，則0(1,0)，芥

(2,-2).

設(shè)赤=4宓

則赤=或+赤=(0,2)+(24,-2%)=(2兒2-2A).

又法=(-1,2),赤_1_汝???赤?蘇=0,

2

-2A+2(2-2A)=0,???A=~

0

赤=(|,|),赤=次一礪=(|,|).

又?jǐn)?shù)（1,0）,IcosNA蚌二?1=當(dāng)，

|丁|?陶5

赤?歷亞

cosZFDC=————

I赤I?應(yīng)I5

又匕ADB、NFDCeB,n）,AAADB=^FDC.

例1-5（判斷證明三角形形狀）

（2021?寧夏銀川市?銀川一中高三其他模擬（理））若。為aAH?所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且

滿足元?（麗+元-2礪）=0,則△4/C的形狀為.（填：等腰三角形、等邊三角形、直

角三角形、等腰直角三角形）

【答案】等腰三角形

【解析】

取8C的中點(diǎn)。，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算方+OC-2。（=24萬,從而于是

AB=AC.

【詳解】取8C中點(diǎn)。，連接4）,貝IJ赤+反=2而，又歷-函=而，

OB+OC-2OA=2OD-2OA=2AD,丁BC*（OB+OC-2OA）=0,2BC.AD=0,

?二元，而；=「?△ABC的形狀是等腰三角形.

故答案為：等腰三角形.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)）已知非零向量而與正滿足

（券+緇）阮=0,且而2=彷而則為（）

A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】0

【解析】

由而2=福而推出相配=0,由;溪j+緇）配=0推出I而l=l正I，則可得答案.

【詳解】

由而2=而?麗，得麗?（麗一麗）=。，得福?（麗+冊(cè)）=0,得福./=（），

所以A8_LAC,

所以"-映+婆-又匹=0

|\AB\\AC\\AC\

所以-1通|+|衣|=0,即|而|二|正l,

所以AABC為等腰直角三角形.

故選：C

例1-6(向量與三角恒等變換公式結(jié)合)

已知48c的坐標(biāo)分別是4(3,0),8(0,3),C(cosa,sina).

⑴若I和=|南，求角a的值；

2sin2a4-sin2a

⑵若公.詼=—1,求-i+tana—的值?

【解析】⑴因?yàn)?8,C的坐標(biāo)分別是4(3,0),8(0,3),C(cosa,sina),

所以(cosa—3,sina),^C=(cosa,sina—3).

所以|尤7|=^/(cosa—3)2+(sina)2,

|南=y/(cos~a)2-|-(sin~a—3)2.

因?yàn)镮成1=I選1,所以［(cosq_3)2+(sina)2=M(cosqy+(sina-3))即(cosa—

3)2+(sina)2=(cosa)2+(sina-3)2,

所以sina=cosa,所以tana=1,

n

所以a=4n+7~,〃￡Z.

⑵由(1)知,(cosa—3,sina),"^C=(cosa,sina-3),

所以成?^=(cosa-3)cosa+sina?(sina-3)=1—3(sina+cosa)=-1.

2

所以sina+cosa=3,

所以(sina+cosa)2=1+2sinacosa=^3j.

5

所以2sinacosa=—9.

2sin2(7+sin2a2sin2a+2sinacosa5

所以1+tana=sina=2sinacosa=-9.

1+cosa

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.在△48C中，角48,C的對(duì)邊分別為a",G且滿足(/a—c)N-2?=

c~C^?可.

⑴求角8的大??；⑵若|罰一次|=機(jī),求△48C面積的最大值.

【解析】(1)由題意得(隹a—c)cosB=bcosC.

根據(jù)正弦定理得(鏡sinA-s'\nC)cos8=sinBoosC,

所以也sin74cos8=sin(C+5),

即/sinAcosB=sinA,因?yàn)?￡(0,n),所以sinA>Q,

所以cos8=乎,又8W(0,n),所以B=-^.

⑵因?yàn)镮N—7?|=yf6,所以|力|=y[6,即b=鄧,

根據(jù)余弦定理及基本不等式得6=/I：/占心2%⑵/)/(當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)6時(shí)

取等號(hào))，

即acW3(2+R.

故△R8C的面積S=；acsin也

因此△彳比的面積的最大值為對(duì)|士^

考點(diǎn)二、向量與解析幾何結(jié)合

例2T.已知48是半徑為啦的。。上的兩個(gè)點(diǎn)，罰?元=1,。0所在平面上有一點(diǎn)C滿足

|罰+/-A|=1,則向量枳的模的取值范圍是.

【解析】以0為原點(diǎn)，。所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,4啦,0).

由"=1,|罰|=|同=也

得N4Q8=卓于是《乎，乎,(^)入%

設(shè)C(x,y),則(x-|\^)+[_乎)=1

問題轉(zhuǎn)為求圓，一處)+'一坐|?=1上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的取值范圍，原點(diǎn)到圓心(|、在，坐

的距離為銅,圓的半徑為1,???I/I的取值范圍為[^6-1.76+1].

【答案】[#-

例2-2.(2021?吉林吉林市?高三三模(文))已知A、8為平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，且|福卜2,該

平面上的動(dòng)線段P。的端點(diǎn)P、Q,滿足|麗|工5,羅.茄=6,而=-2AP.則動(dòng)線段PQ所形成

圖形的面積為()

A.36B.60C.72D.108

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)網(wǎng)《5和茄.端=6,得到動(dòng)點(diǎn)P在直線x=3上，且

-4<y<4,進(jìn)而得到AP掃過的三角形的面積,再由而=-2AP，同理得到AQ掃過的三角形的

面積,兩者求和即可.

【詳解】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示：

則A(0,0),8(2,0),設(shè)P(x,y),

???Q=(x,y),AB=(2,0)；

由網(wǎng)45,得f+h25；

uuuimu

5l.APAB=6,

2x=6,x=3；

/.y2<16；

-4<y<4,

二動(dòng)點(diǎn)P在直線x3上，且-4W”4,即線段⑺上,貝”國=8,

則心掃過的三角形的面積為Jx8x3=12,

設(shè)點(diǎn)2($,%)

\'AQ=-2AP,

???&,%)=-2(乂y)=(-6,-2y),

???V6,%=-2%

???動(dòng)點(diǎn)。在直線x=-6上,fi-8<y<8,即線段MN上,則曲二16,

???A。掃過的三角形的面積為《xl6x6=48,

,因此和為60,

故選：B.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.已知平面上一定點(diǎn)0（2.0）和直線/：x=8,0為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ1/,垂足為

⑴求動(dòng)點(diǎn)夕的軌跡方程；⑵若比為圓MV+（y-1）2=1的任一條直徑，求無?赤的最值.

解析：⑴設(shè)P（x,y）,則。（8」）.

由（%南?（比一；南=0,

得I南2-力南2=0,

1

即（x—2）?+/—［（X—8）?=0,

22

化簡得金+￡=1.

161Z

22

XV

所以點(diǎn)夕在橢圓上,其方程為〃+*=1.

IDIZ

⑵因法?赤=（送一南?（肱■—施=（一走一南?（廬一南=麻一加=走一1,

2

X2v

P是橢圓市+石=1上的任一點(diǎn),設(shè)P（*o,必），

1O1Z

則有4+冬=1,即此=16一”,又一0,1）,

16123

所以亦=必+（%一1）2=一；,一2%+17

1

=-7（K+3）2+20.

o

因心E[一2m,2，5],所以當(dāng)y0=-3時(shí),宓取得最大值20,故無?赤的最大值為19；

當(dāng)必=2m時(shí),正取得最小值為13—4第（此時(shí)照=0）,故走-曲的最小值為12-4^3.

考點(diǎn)三、向量在物理中的應(yīng)用

例3.（2021?云南昆明市?高三三模（理））兩同學(xué)合提一捆書,提起后書保持靜止,如圖所示,

則”與鳥大小之比為

【答案】見

2

【解析】

物體處于平衡狀態(tài),所以水平方向的合力為0,然后可算出答案.

【詳解】

物體處于平衡狀態(tài),所以水平方向的合力為0

一包「

所以同345。=園8s30。，所以卷=鬻|=去=*

1111

F2COS45°x/22

故答案為：業(yè)

2

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2021?全國高一課時(shí)練習(xí)）如圖，重為1ON的勻質(zhì)球，半徑R為6cm,放在墻與均

勻的A8木板之間，A端鎖定并能轉(zhuǎn)動(dòng)，3端用水平繩索8c拉住,板長鉆=2（kvm與墻夾角為

a,如果不計(jì)木板的重量，則。為何值時(shí),繩子拉力最??？最小值是多少？

A

【答案】。二60。時(shí)，j有最小值12N.

【解析】

-uu

設(shè)木板對(duì)球的支持力為利得到"’繩子的拉力為九化簡得，利用三

角函數(shù)的基本性質(zhì)和基本不等式,即可求解.

【詳解】

如圖所示，設(shè)木板對(duì)球的支持力為七則凡=也,

sina

1An-6

設(shè)繩子的拉力為f,又由AC=20cosa.a,

lari一

2

660

由動(dòng)力矩等于阻力矩得JX20C°Sa=二區(qū)

N'a

sina?tan

22

f=--------------------=------------>---------------=_=12

所以20cosa.sina.tan^cosa(Jcosa)(cos￡±l-cos￡21，

224

當(dāng)且僅當(dāng)8sa=l-ca7a即cosa=g,即a=60°時(shí)，/有最小值12N.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.【多選題】（2021?浙江高一期末）在水流速度為4石km/h的河水中，一艘船以

12km/h的實(shí)際航行速度垂直于對(duì)岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法

中，正確的是（）

A.這艘船航行速度的大小為126km/h

B.這艘船航行速度的大小為8石km/h

C.這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為150。

D.謨艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為120°

【答案】BD

【解析】

根據(jù)題意作出圖示，結(jié)合向量的平行四邊形法則計(jì)算出船的速度以及船的航行方向和水流方向

的夾角.

【詳解】

設(shè)船的實(shí)際航行速度為V,,水流速度為匕，船的航行速度為匕，

根據(jù)向量的平行四邊形法則可知：

匕=M=8百而/h,

設(shè)船的航行方向和水流方向的夾角為仇

19

所以3（180。一。）=1^=6,所以。=120?,

故選：BD.

2022年高考數(shù)學(xué)-專題26平面向量應(yīng)用鞏固訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

1.向量45滿足同=1,帆|=&,(M+5)J_(2M—5),則向量值與B的夾角為()

A.45°B.60°C.90°D,120°

答案C

解析設(shè)向量〃與B的夾角為e.5),

/.(a-i-b)(2a-b)=2a2-b2+ab=2x\2-(yf2)2+\x>/2xcosO=O,^cos0=O,

???6w[0/],???6=90。.故選C.

2.已知點(diǎn)A,B,C在圓V+)7=1上運(yùn)動(dòng),且AB±BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|對(duì)+而+正|的最大

值為：)

A.6B.7C.8D.9

答案B

3.已知48,C是平面上不共線的三點(diǎn).0為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足加=；[(1—/)而+(1—乃加

+(1+24)?花],/l￡R,則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過()

A.ZUHC的內(nèi)心B.△48C的垂心

C.△48。的重心D邊的中點(diǎn)

答案C

解析取48的中點(diǎn)〃則2方=法+施

???赤=；[(1一人)加+(1-人)加+(1+2/1)兩

?,?婷;[2(1-/1)加(14-24)^3=2加零，①

O0O

而"4^"+號(hào)4=1,：?p、c,。三點(diǎn)共線，

二點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△/is。的重心.

4.已知在△48Cm,8C=#AC=2,點(diǎn)。為△?!宓的外心,若根屆+）必則有序?qū)崝?shù)

對(duì)（X/）為（）

答案A

解析取力8的中點(diǎn)附和力。的中點(diǎn)N、連接OM,ON,則加JL施衣工加

成U辦一勉=；勵(lì)—（筋y能I=（J—，能—y^C

,南=就一根;而一（康）=（；一

由蘇L施得（；一,宓一康?勵(lì)=0,①

由加班得力赤一?*%?成=0,②

又因?yàn)殄?（選一施=能一2%?布+宓,

宓+宓一宓

所以成?-腦=③

2

1—2x+y=0,43

把③代人①、②得〉4+X—8尸。，解侍戶目尸；

故實(shí)數(shù)對(duì)（XV）為低，I）.

5.在2ABC中，48=5J6=6,cos4=工0是XABC的內(nèi)心,若?P=疵中施其中x,[0,1],

0

則動(dòng)點(diǎn)夕的軌跡所覆蓋圖形的面積為()

A.-^C.4m0.672

答案B

解析根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B,0C為鄰邊的平行四邊形及

其內(nèi)部,其面積為△80C的面積的2倍.

在△WB。中,設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

由余弦定理才=4+。2—26ccos4得a=7.

設(shè)△48。的內(nèi)切圓的半徑為廣，則

；6csin>4=；(a+6+c)/,解得r=^^,

所以S△眥=；XaX〃=；X7X2^=4^.

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2s△&%="四.

6.如圖，已知平面四邊形ABCD,AB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)0.記/,=

如施/2=游,應(yīng)仁選?赤則()D

A

A.A</2</3B.A</3</2(\/

C./3VA</2D./2V/、V/3

答案cBc

解析如圖所示，四邊形ABCE是正方形，尸為正方形的對(duì)角線的交點(diǎn),易得A(KAF,而

90°,.\ZAOB與4COD為鈍角，ZAOD與NBOC為銳角，根據(jù)題意/一/2=法?加一加-%=

滋?［法一亦=濟(jì)?或=|游||法|-cosN加灰0,

A/i</2,同理仆人作AG1BD于G

又AB=AD、：.0鼠BG=GXOD,而OA<AF=FO.OC,

??.|加|笳|<成||蘇|,

而cosN/408=cosNC0ZKO,???笳?^>冼?近

即/i>/3.A/3</i</2.

二、多項(xiàng)選擇題

7.已知向量〃;=(sinx,-G),3=(cosx,cos2x),函數(shù)/*)=2而i+百+1,下列命題,說法正確的

選項(xiàng)是()

A./(e一x)=2一/*)

B./仁-,的圖像關(guān)于工=?對(duì)稱

C.若0〈xv^v],則/(石)<〃”2)

D.若內(nèi),電，當(dāng)￡，則/(%)+/(々)>/(芻)

答案BD

解析函數(shù)/(x)=2sin(2x-?)+l,

A：當(dāng)x=0時(shí),/仁一[=/0=1,2—〃x)=2—〃0)=1+后故A錯(cuò)；

B：/^-x^=2sin(-2x)+l，當(dāng)尤=：時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值取得最小值為-1,所以B正確；

C:xG0,￡時(shí)，,所以函數(shù)/(x)=2sin2x-g)+l在不單調(diào)，故C

錯(cuò)；

D：因?yàn)閤w，所以，???/(%)￡[6+1,3],

又2(6+1)>3,即2/(力而n>/(x)1mxM,工2，七￡,〃斗)+/(七)>/(王)恒成立，故D對(duì);

故選：BD.

8.在△/48C中,7fe=c,%=a,而=6,在下列命題中，是真命題的為()

A.若A-?0,則為銳角三角形

B.若8?6=0,則△/宓為直角三角形

C.若身?6=c?"則△彳宓為等腰三角形

D.若(a+c—6)?(e+b—c)=0,則△4仍為直角三角形

答案BCD

解析①若a?力0,則N8"是鈍角，△48。是鈍角三角形，A錯(cuò)誤；②若&"=0,則選

_1_成,/^8。為直角三角形,8正確您若&?6=°?6,6?(&-#=0,而?(減?一施=0,蘇?(選

+或)=0,取4C的中點(diǎn)D,則法?肪=0,所以BA=BC,即△48C為等腰三角形,C正確；④若(a

2

+c-b)?(&+6—c)=0,則&2=(C—6)2,即6+4—4=26?G即2出||引=-cosA,由余弦

定理可得cos4=-cosA,即cos4=0,即彳=/，即。為直角三角形,D正確,綜上真命題

為BCD.

三、填空題

9.在“宓中J8=2〃=6,或?宓=赤，點(diǎn)P是△被;所在平面內(nèi)一點(diǎn),則當(dāng)班+電+宓取得

最小值時(shí)，赤-%=.

答案一9

解析?.?曲?能=|劭?|南?cosQ|珈2,

二.I渤?cosB=\"^A\=6,cL

???加施即公拳

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則8(6,0),C(0,3),設(shè)P[x,y),

則赤+前+能=/+/+(%—6)2+y+x2+(y—3)2=3x2—12x+3y—6y+45=3[(x—2)2+(y

-1)2+10]

.?.當(dāng)x=2,y=1時(shí),赤+磴+宓取得最小值，此時(shí)P(2,1),赤=(2,1),

此時(shí)赤?選=(2,1)■(-6,3)=-9.

10.平面上有三個(gè)點(diǎn)力(一2/),40,3c(x,y),若能，成Z則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程

答案：/=8x(xH0)

解析：由題意得疝=(2,一；,

選=(x,",又赤-L能?,?油?加=0,

即(2,一夕?(x,2=0,化簡得:=8x(xH0).

11.已知|a|=2|b|#=0,且關(guān)于x的函數(shù)尸(x)V+a,6*在R上有極值,則向量a

與6

的夾角的范圍是.

答案：停n

解析：設(shè)占與b的夾角為e.

f(x)=g父+；|a|f+a?bx.f(x)=?+|a|x+a?6.

.函數(shù)Hx)在R上有極值，，方程f+lalx+a。6=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

自2

即△=|e|2—4e■b>0.a?b<-

又?.?ai=2i=力o,

Q

八a-b411

‘c°s°即ege<-

~2

又「6￡[0,n],???n.

12.已知A48C的頂點(diǎn)AE平面。，點(diǎn)RC在平面a異側(cè)，且AB=2,AC=6，若A瓦AC與a

所成的角分別為2則線段3C長度的取值范圍為_____.

36

答案/

解析

如圖所示：

分別過反。作底面的垂線,垂足分別為名，6./“廿/

由已知可得，BB}=y/3,CC,=^,^,=1,AG=］.

22

配=函+甌+配，

反2二網(wǎng)+而+錄)2=時(shí)+而2+束2+2函年=3+甌2+3+3二西2+艾而

卜福H阿忖麻舊阿卜1同，

.二當(dāng)AB,AC所在平面與。垂直，且B,C在底面上的射影.G,在A點(diǎn)同側(cè)時(shí)，8C長度最小,

此時(shí)甌卜網(wǎng)—網(wǎng)=|-l=g,BC最小為崎1=5；

當(dāng)AB,AC所在平面與。垂直，且aC在底面上的射影與，G，在A點(diǎn)異側(cè)時(shí)，8C長度最大，此

時(shí)甌卜河+照=|+1=|,8C最大為何

???線段BC長度的取值范圍為［,

故答案為：［?,屈］.

四、解答題y

13.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)4(1,0)和點(diǎn)8(—\

—BoAx

1,0),|%|=1,且/力仇=氏其中