2022年高考數(shù)學(xué)-專題26平面向量應(yīng)用含答案

2022年高考數(shù)學(xué)-專題26平面向量應(yīng)用

一、關(guān)鍵能力

理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題；

會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題。

二、教學(xué)建議

從近三年高考情況來看,本講一直是高考中的一個熱點內(nèi)容.預(yù)測2022年高考將考查向量

數(shù)量積的運算、模的最值、夾角的范圍.題型以客觀題為主，試題難度以中檔題為主，有時也會

與三角函數(shù)、解析幾何交匯出現(xiàn)于解答題中.

三、自主梳理

1.向量在平面幾何中的應(yīng)用

向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下方面：

⑴證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用到向量減

法的意義.

⑵證明線段平行、三角形相似,判斷兩直線(或線段)是否平行,常運用向量平行(共線)的條件：

Ra=46(或My?—x2yi=0)

⑶證明線段的垂直問題,如證明四邊形是矩形、正方形,判斷兩直線(線段)是否垂直等,常運用

向量垂直的條件：?6=0：或乂*2+乂/=0).

a'b

(4)求與夾角相關(guān)的問題,往往利用向量的夾角公式彌56=國商_.

⑸向量的坐標(biāo)法,對于有些平面幾何問題,如長方形、正方形、直角三角形等,建立直角坐標(biāo)系，

把向量用坐標(biāo)表示,通過代數(shù)運算解決幾何問題.

2.向量在物理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)中對物理背景問題主要研究下面兩類：

(1)力向量

力向量是具有大小、方向和作用點的向量，它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同,但力是具有大小和方

向的量,在不計作用點的情況下,可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個力的合力.

⑵速度向量

速度向量是具有大小和方向的向量，因而.可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個速度的合

速度.

四、高頻考點+重點題型

例1T（判斷點的位置）

（2021?濟南市?山東師范大學(xué)附中）設(shè)尸為AABC所在平面上一點,且滿足

PA+2PC=相通（m>0）,若八43P的面積為2,則△A6C面積為.

【答案】3

【解析】

1?2—tn——1.2.1—2.

由已知條件可得+=（機>0）,令尸O=+則可得=從而可

得。為AC上靠近。的三等分點，由歷=葭麗，得而〃而，從而有

2

山郎=SJBD=-S.C=2,進而可求得答案

【詳解】

解：因為用+2斤=相而（m>0）,

1—.2—?m—-

所以+§尸C=］AB（加>0）,

__1_9__1__1—2__2__

令尸上PA+—PC,貝1］一尸。一一PA=-PC——PD,

333333

1—.?—?

所以3AO=§OC,所以。為AC上靠近C的三等分點，

因為麗=］而，所以而〃通，

2

所以SJBP=S.ABD=~=2,

所以Sac=3,

故答案為：3

對點訓(xùn)練1.（2021?上海普陀區(qū)-高三二模）如圖，在△A8C中，C=|,AC=y/3,BC=\,若

O為△ABC內(nèi)部的點且滿足卷+焉+禽=6,則網(wǎng):阿：|囚=.

b

【答案】4:2:1

【解析】

根據(jù)已知的向量關(guān)系先分析出ZBOC=AAOB=ZAOC=120°,然后通過設(shè)NOC8=6,根據(jù)相

似三角形以及正弦定理找到網(wǎng)，函岡的關(guān)系，從而可求解出阿：|詞：|因的結(jié)果.

【詳解】

OAOBOCAOAOBOC

因為可,國+國=，所以網(wǎng)=國+同，

OBOC

所以1=1+1+211?cos'網(wǎng)］因,

OBOC1得離＞=120。

所以8s,扇'同＞二一5’所以I。蛆。4

即/BOC=120°,同理可知：ZBOC=ZAOB=ZAOC=120°,

不妨設(shè)/OCB=6,所以/OBC=60。一"

又因為。=5,AC=>/3,8c=1,所以A3=2,N/SC=60。，

所以/0%=60。_（60。_6）=6,所以/04^=180。_120。_g=60。_氏

所以aAOB?△80C,所以鐵=黑，所以QAOC=OB2；

BCOBOC

在3OC中,==

sinZBOC~sinZOCB~sinZOBC

1OBOC2出

所以sin120。=mZ=sin（60。-’所以°§二亍而氏

OBAB

又在aAOB中,

sinZOAB~s\nAAOB

OB2

所以麗詢二茅旃，所以。人告4J3疝他叫,

2出4、八sin0c

所以一^-sin0=-^-sin（60?！?。）,所以§?。?0。-。）='

OBsin0OB

又因為工=5m（60。_6［所以元=2,

nA

又因為0400=082,所以斤二4,

V-XK-X

所以便|:|麗阿=4:2:1.

故答案為：4:2:1.

B

例1-2（兩條直線垂直）

在△48C中，已知AB=AC=5,宓=6,M是邊4C上靠近點A的一個三等分點,試問：在線段BM（端

點除外）上是否存在點E使得PC1BM?

【答案】線段加上不存在點。使得，C_L8斷

【解析】［思路分析］本題是存在性問題,解題時利用共線向量，把向量滋的坐標(biāo)設(shè)出，從而得

到加坐標(biāo),然后根據(jù)垂直關(guān)系,利用數(shù)量積為零得到問題的答案.

解：以8為原點,宓所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

?:AB=AC=5,BC=6,

「?8(0,0)J(3,4),C(6,0),

則%=(3,-4).

???點附是邊NC上靠近點A的一個三等分點,

(1,一3,

礪=(4,-).

*5

假設(shè)在8附上存在點夕使得PC1BM,

設(shè)赤=/I威且0</<1,

即雄=A防=A(4,1)=(4A,1A),

二雄=雄+赤=(-6,0)+(4A-A)=(4A-6-4).

J0

'/POLBM,：蓋.雄=0,

88

得4(44—6)+-X-A=0,

oo

27

解得A=-

zo

27

丁A=寶￡/(0.1),..?線段剛上不存在點戶使得PC.LBM.

zo

對點訓(xùn)練1.(2021?江蘇蘇州市)我們知道，”有了運算，向量的力量無限”.實際上,通過向

量運算證明某些幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”簡便多

了.下面請用向量的方法證明“三角形的三條高交于一點”.已知AZ),BE,。/是AABC的三

條高,求證：AO,BE,CF相交于一點.

【答案】證明見解析.

【解析】

結(jié)合向量的數(shù)量積即可證明.

【詳解】

如圖，設(shè)小>口8七=〃，則鋼_L而，HBLAC

71ABC=HA（lJC-HB）=0?

HBAC=71B（71C-71A）=O?

①-②得：麻?（麗-麗）=0,即麻.麗=0

故亞，麗，即SLAB,又C「_LAB

所以C,尸，”三點共線，

所以A。，BE,C77相較于一點.

例1-3（求線段的長）

（2021?濟南市?山東省實驗中學(xué)）在平面四邊形力8⑦中，脛44a2/，對角線/IC與劭交

于點EE是8D的中點，且e=2應(yīng)7；若AC=3,求劭的長.

【答案】4拉；

【解析】因為AC=3,所以AE=2,

又因為E是劭的中點,所以/=J（幾十八），

所以|荏（二；（麗+而『

即網(wǎng)2=；（而+研=；（|研+阿+2相珂

所以16=4?+（20）2+2x4x2夜xcosNZMB,

解得：cos4DAB=———,

4

在△A3。中，利用余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2xABxADxcos/DAB

22

=4+(2>/2)-2X4X2>/2X=32

所以BD=46.

例1-4(證明角相等)

△48。是等腰直角三角形，NB=90。，。是邊死的中點,BE1AD,垂足為E延長BE交4C于F,

連接班求證：4ADB=Z.FDC.

【答案】

［解析】如圖,8為原點,8c所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)3(0,2),C(2,0)，則0(1,0)，芥

(2,-2).

設(shè)赤=4宓

則赤=或+赤=(0,2)+(24,-2%)=(2兒2-2A).

又法=(-1,2),赤_1_汝???赤?蘇=0,

2

-2A+2(2-2A)=0,???A=~

0

赤=(|,|),赤=次一礪=(|,|).

又?jǐn)?shù)（1,0）,IcosNA蚌二?1=當(dāng)，

|丁|?陶5

赤?歷亞

cosZFDC=————

I赤I?應(yīng)I5

又匕ADB、NFDCeB,n）,AAADB=^FDC.

例1-5（判斷證明三角形形狀）

（2021?寧夏銀川市?銀川一中高三其他模擬（理））若。為aAH?所在平面內(nèi)任意一點，且

滿足元?（麗+元-2礪）=0,則△4/C的形狀為.（填：等腰三角形、等邊三角形、直

角三角形、等腰直角三角形）

【答案】等腰三角形

【解析】

取8C的中點。，根據(jù)平面向量的線性運算計算方+OC-2。（=24萬,從而于是

AB=AC.

【詳解】取8C中點。，連接4）,貝IJ赤+反=2而，又歷-函=而，

OB+OC-2OA=2OD-2OA=2AD,丁BC*（OB+OC-2OA）=0,2BC.AD=0,

?二元，而；=「?△ABC的形狀是等腰三角形.

故答案為：等腰三角形.

對點訓(xùn)練1.（2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)）已知非零向量而與正滿足

（券+緇）阮=0,且而2=彷而則為（）

A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】0

【解析】

由而2=福而推出相配=0,由;溪j+緇）配=0推出I而l=l正I，則可得答案.

【詳解】

由而2=而?麗，得麗?（麗一麗）=。，得福?（麗+冊）=0,得福./=（），

所以A8_LAC,

所以"-映+婆-又匹=0

|\AB\\AC\\AC\

所以-1通|+|衣|=0,即|而|二|正l,

所以AABC為等腰直角三角形.

故選：C

例1-6(向量與三角恒等變換公式結(jié)合)

已知48c的坐標(biāo)分別是4(3,0),8(0,3),C(cosa,sina).

⑴若I和=|南，求角a的值；

2sin2a4-sin2a

⑵若公.詼=—1,求-i+tana—的值?

【解析】⑴因為48,C的坐標(biāo)分別是4(3,0),8(0,3),C(cosa,sina),

所以(cosa—3,sina),^C=(cosa,sina—3).

所以|尤7|=^/(cosa—3)2+(sina)2,

|南=y/(cos~a)2-|-(sin~a—3)2.

因為I成1=I選1,所以［(cosq_3)2+(sina)2=M(cosqy+(sina-3))即(cosa—

3)2+(sina)2=(cosa)2+(sina-3)2,

所以sina=cosa,所以tana=1,

n

所以a=4n+7~,〃￡Z.

⑵由(1)知,(cosa—3,sina),"^C=(cosa,sina-3),

所以成?^=(cosa-3)cosa+sina?(sina-3)=1—3(sina+cosa)=-1.

2

所以sina+cosa=3,

所以(sina+cosa)2=1+2sinacosa=^3j.

5

所以2sinacosa=—9.

2sin2(7+sin2a2sin2a+2sinacosa5

所以1+tana=sina=2sinacosa=-9.

1+cosa

對點訓(xùn)練1.在△48C中，角48,C的對邊分別為a",G且滿足(/a—c)N-2?=

c~C^?可.

⑴求角8的大?。虎迫魘罰一次|=機,求△48C面積的最大值.

【解析】(1)由題意得(隹a—c)cosB=bcosC.

根據(jù)正弦定理得(鏡sinA-s'\nC)cos8=sinBoosC,

所以也sin74cos8=sin(C+5),

即/sinAcosB=sinA,因為/￡(0,n),所以sinA>Q,

所以cos8=乎,又8W(0,n),所以B=-^.

⑵因為IN—7?|=yf6,所以|力|=y[6,即b=鄧,

根據(jù)余弦定理及基本不等式得6=/I：/占心2%⑵/)/(當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)6時

取等號)，

即acW3(2+R.

故△R8C的面積S=；acsin也

因此△彳比的面積的最大值為對|士^

考點二、向量與解析幾何結(jié)合

例2T.已知48是半徑為啦的。。上的兩個點，罰?元=1,。0所在平面上有一點C滿足

|罰+/-A|=1,則向量枳的模的取值范圍是.

【解析】以0為原點，。所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,4啦,0).

由"=1,|罰|=|同=也

得N4Q8=卓于是《乎，乎,(^)入%

設(shè)C(x,y),則(x-|\^)+[_乎)=1

問題轉(zhuǎn)為求圓，一處)+'一坐|?=1上一點到原點距離的取值范圍，原點到圓心(|、在，坐

的距離為銅,圓的半徑為1,???I/I的取值范圍為[^6-1.76+1].

【答案】[#-

例2-2.(2021?吉林吉林市?高三三模(文))已知A、8為平面上的兩個定點，且|福卜2,該

平面上的動線段P。的端點P、Q,滿足|麗|工5,羅.茄=6,而=-2AP.則動線段PQ所形成

圖形的面積為()

A.36B.60C.72D.108

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)網(wǎng)《5和茄.端=6,得到動點P在直線x=3上，且

-4<y<4,進而得到AP掃過的三角形的面積,再由而=-2AP，同理得到AQ掃過的三角形的

面積,兩者求和即可.

【詳解】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示：

則A(0,0),8(2,0),設(shè)P(x,y),

???Q=(x,y),AB=(2,0)；

由網(wǎng)45,得f+h25；

uuuimu

5l.APAB=6,

2x=6,x=3；

/.y2<16；

-4<y<4,

二動點P在直線x3上，且-4W”4,即線段⑺上,貝”國=8,

則心掃過的三角形的面積為Jx8x3=12,

設(shè)點2($,%)

\'AQ=-2AP,

???&,%)=-2(乂y)=(-6,-2y),

???V6,%=-2%

???動點。在直線x=-6上,fi-8<y<8,即線段MN上,則曲二16,

???A。掃過的三角形的面積為《xl6x6=48,

,因此和為60,

故選：B.

對點訓(xùn)練1.已知平面上一定點0（2.0）和直線/：x=8,0為該平面上一動點，作PQ1/,垂足為

⑴求動點夕的軌跡方程；⑵若比為圓MV+（y-1）2=1的任一條直徑，求無?赤的最值.

解析：⑴設(shè)P（x,y）,則。（8」）.

由（%南?（比一；南=0,

得I南2-力南2=0,

1

即（x—2）?+/—［（X—8）?=0,

22

化簡得金+￡=1.

161Z

22

XV

所以點夕在橢圓上,其方程為〃+*=1.

IDIZ

⑵因法?赤=（送一南?（肱■—施=（一走一南?（廬一南=麻一加=走一1,

2

X2v

P是橢圓市+石=1上的任一點,設(shè)P（*o,必），

1O1Z

則有4+冬=1,即此=16一”,又一0,1）,

16123

所以亦=必+（%一1）2=一；,一2%+17

1

=-7（K+3）2+20.

o

因心E[一2m,2，5],所以當(dāng)y0=-3時,宓取得最大值20,故無?赤的最大值為19；

當(dāng)必=2m時,正取得最小值為13—4第（此時照=0）,故走-曲的最小值為12-4^3.

考點三、向量在物理中的應(yīng)用

例3.（2021?云南昆明市?高三三模（理））兩同學(xué)合提一捆書,提起后書保持靜止,如圖所示,

則”與鳥大小之比為

【答案】見

2

【解析】

物體處于平衡狀態(tài),所以水平方向的合力為0,然后可算出答案.

【詳解】

物體處于平衡狀態(tài),所以水平方向的合力為0

一包「

所以同345。=園8s30。，所以卷=鬻|=去=*

1111

F2COS45°x/22

故答案為：業(yè)

2

對點訓(xùn)練1.（2021?全國高一課時練習(xí)）如圖，重為1ON的勻質(zhì)球，半徑R為6cm,放在墻與均

勻的A8木板之間，A端鎖定并能轉(zhuǎn)動，3端用水平繩索8c拉住,板長鉆=2（kvm與墻夾角為

a,如果不計木板的重量，則。為何值時,繩子拉力最??？最小值是多少？

A

【答案】。二60。時，j有最小值12N.

【解析】

-uu

設(shè)木板對球的支持力為利得到"’繩子的拉力為九化簡得，利用三

角函數(shù)的基本性質(zhì)和基本不等式,即可求解.

【詳解】

如圖所示，設(shè)木板對球的支持力為七則凡=也,

sina

1An-6

設(shè)繩子的拉力為f,又由AC=20cosa.a,

lari一

2

660

由動力矩等于阻力矩得JX20C°Sa=二區(qū)

N'a

sina?tan

22

f=--------------------=------------>---------------=_=12

所以20cosa.sina.tan^cosa(Jcosa)(cos￡±l-cos￡21，

224

當(dāng)且僅當(dāng)8sa=l-ca7a即cosa=g,即a=60°時，/有最小值12N.

對點訓(xùn)練2.【多選題】（2021?浙江高一期末）在水流速度為4石km/h的河水中，一艘船以

12km/h的實際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法

中，正確的是（）

A.這艘船航行速度的大小為126km/h

B.這艘船航行速度的大小為8石km/h

C.這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為150。

D.謨艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為120°

【答案】BD

【解析】

根據(jù)題意作出圖示，結(jié)合向量的平行四邊形法則計算出船的速度以及船的航行方向和水流方向

的夾角.

【詳解】

設(shè)船的實際航行速度為V,,水流速度為匕，船的航行速度為匕，

根據(jù)向量的平行四邊形法則可知：

匕=M=8百而/h,

設(shè)船的航行方向和水流方向的夾角為仇

19

所以3（180。一。）=1^=6,所以。=120?,

故選：BD.

2022年高考數(shù)學(xué)-專題26平面向量應(yīng)用鞏固訓(xùn)練

一、單項選擇題

1.向量45滿足同=1,帆|=&,(M+5)J_(2M—5),則向量值與B的夾角為()

A.45°B.60°C.90°D,120°

答案C

解析設(shè)向量〃與B的夾角為e.5),

/.(a-i-b)(2a-b)=2a2-b2+ab=2x\2-(yf2)2+\x>/2xcosO=O,^cos0=O,

???6w[0/],???6=90。.故選C.

2.已知點A,B,C在圓V+)7=1上運動,且AB±BC.若點P的坐標(biāo)為(2,0),則|對+而+正|的最大

值為：)

A.6B.7C.8D.9

答案B

3.已知48,C是平面上不共線的三點.0為坐標(biāo)原點,動點P滿足加=；[(1—/)而+(1—乃加

+(1+24)?花],/l￡R,則點P的軌跡一定經(jīng)過()

A.ZUHC的內(nèi)心B.△48C的垂心

C.△48。的重心D邊的中點

答案C

解析取48的中點〃則2方=法+施

???赤=；[(1一人)加+(1-人)加+(1+2/1)兩

?,?婷;[2(1-/1)加(14-24)^3=2加零，①

O0O

而"4^"+號4=1,：?p、c,。三點共線，

二點P的軌跡一定經(jīng)過△/is。的重心.

4.已知在△48Cm,8C=#AC=2,點。為△?!宓的外心,若根屆+）必則有序?qū)崝?shù)

對（X/）為（）

答案A

解析取力8的中點附和力。的中點N、連接OM,ON,則加JL施衣工加

成U辦一勉=；勵—（筋y能I=（J—，能—y^C

,南=就一根;而一（康）=（；一

由蘇L施得（；一,宓一康?勵=0,①

由加班得力赤一?*%?成=0,②

又因為宓=（選一施=能一2%?布+宓,

宓+宓一宓

所以成?-腦=③

2

1—2x+y=0,43

把③代人①、②得〉4+X—8尸。，解侍戶目尸；

故實數(shù)對（XV）為低，I）.

5.在2ABC中，48=5J6=6,cos4=工0是XABC的內(nèi)心,若?P=疵中施其中x,[0,1],

0

則動點夕的軌跡所覆蓋圖形的面積為()

A.-^C.4m0.672

答案B

解析根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知,動點P的軌跡是以O(shè)B,0C為鄰邊的平行四邊形及

其內(nèi)部,其面積為△80C的面積的2倍.

在△WB。中,設(shè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

由余弦定理才=4+。2—26ccos4得a=7.

設(shè)△48。的內(nèi)切圓的半徑為廣，則

；6csin>4=；(a+6+c)/,解得r=^^,

所以S△眥=；XaX〃=；X7X2^=4^.

故動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2s△&%="四.

6.如圖，已知平面四邊形ABCD,AB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點0.記/,=

如施/2=游,應(yīng)仁選?赤則()D

A

A.A</2</3B.A</3</2(\/

C./3VA</2D./2V/、V/3

答案cBc

解析如圖所示，四邊形ABCE是正方形，尸為正方形的對角線的交點,易得A(KAF,而

90°,.\ZAOB與4COD為鈍角，ZAOD與NBOC為銳角，根據(jù)題意/一/2=法?加一加-%=

滋?［法一亦=濟?或=|游||法|-cosN加灰0,

A/i</2,同理仆人作AG1BD于G

又AB=AD、：.0鼠BG=GXOD,而OA<AF=FO.OC,

??.|加|笳|<成||蘇|,

而cosN/408=cosNC0ZKO,???笳?^>冼?近

即/i>/3.A/3</i</2.

二、多項選擇題

7.已知向量〃;=(sinx,-G),3=(cosx,cos2x),函數(shù)/*)=2而i+百+1,下列命題,說法正確的

選項是()

A./(e一x)=2一/*)

B./仁-,的圖像關(guān)于工=?對稱

C.若0〈xv^v],則/(石)<〃”2)

D.若內(nèi),電，當(dāng)￡，則/(%)+/(々)>/(芻)

答案BD

解析函數(shù)/(x)=2sin(2x-?)+l,

A：當(dāng)x=0時,/仁一[=/0=1,2—〃x)=2—〃0)=1+后故A錯；

B：/^-x^=2sin(-2x)+l，當(dāng)尤=：時,對應(yīng)的函數(shù)值取得最小值為-1,所以B正確；

C:xG0,￡時，,所以函數(shù)/(x)=2sin2x-g)+l在不單調(diào)，故C

錯；

D：因為xw，所以，???/(%)￡[6+1,3],

又2(6+1)>3,即2/(力而n>/(x)1mxM,工2，七￡,〃斗)+/(七)>/(王)恒成立，故D對;

故選：BD.

8.在△/48C中,7fe=c,%=a,而=6,在下列命題中，是真命題的為()

A.若A-?0,則為銳角三角形

B.若8?6=0,則△/宓為直角三角形

C.若身?6=c?"則△彳宓為等腰三角形

D.若(a+c—6)?(e+b—c)=0,則△4仍為直角三角形

答案BCD

解析①若a?力0,則N8"是鈍角，△48。是鈍角三角形，A錯誤；②若&"=0,則選

_1_成,/^8。為直角三角形,8正確您若&?6=°?6,6?(&-#=0,而?(減?一施=0,蘇?(選

+或)=0,取4C的中點D,則法?肪=0,所以BA=BC,即△48C為等腰三角形,C正確；④若(a

2

+c-b)?(&+6—c)=0,則&2=(C—6)2,即6+4—4=26?G即2出||引=-cosA,由余弦

定理可得cos4=-cosA,即cos4=0,即彳=/，即。為直角三角形,D正確,綜上真命題

為BCD.

三、填空題

9.在“宓中J8=2〃=6,或?宓=赤，點P是△被;所在平面內(nèi)一點,則當(dāng)班+電+宓取得

最小值時，赤-%=.

答案一9

解析?.?曲?能=|劭?|南?cosQ|珈2,

二.I渤?cosB=\"^A\=6,cL

???加施即公拳

以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則8(6,0),C(0,3),設(shè)P[x,y),

則赤+前+能=/+/+(%—6)2+y+x2+(y—3)2=3x2—12x+3y—6y+45=3[(x—2)2+(y

-1)2+10]

.?.當(dāng)x=2,y=1時,赤+磴+宓取得最小值，此時P(2,1),赤=(2,1),

此時赤?選=(2,1)■(-6,3)=-9.

10.平面上有三個點力(一2/),40,3c(x,y),若能，成Z則動點C的軌跡方程

答案：/=8x(xH0)

解析：由題意得疝=(2,一；,

選=(x,",又赤-L能?,?油?加=0,

即(2,一夕?(x,2=0,化簡得:=8x(xH0).

11.已知|a|=2|b|#=0,且關(guān)于x的函數(shù)尸(x)V+a,6*在R上有極值,則向量a

與6

的夾角的范圍是.

答案：停n

解析：設(shè)占與b的夾角為e.

f(x)=g父+；|a|f+a?bx.f(x)=?+|a|x+a?6.

.函數(shù)Hx)在R上有極值，，方程f+lalx+a。6=0有兩個不同的實數(shù)根,

自2

即△=|e|2—4e■b>0.a?b<-

又?.?ai=2i=力o,

Q

八a-b411

‘c°s°即ege<-

~2

又「6￡[0,n],???n.

12.已知A48C的頂點AE平面。，點RC在平面a異側(cè)，且AB=2,AC=6，若A瓦AC與a

所成的角分別為2則線段3C長度的取值范圍為_____.

36

答案/

解析

如圖所示：

分別過反。作底面的垂線,垂足分別為名，6./“廿/

由已知可得，BB}=y/3,CC,=^,^,=1,AG=］.

22

配=函+甌+配，

反2二網(wǎng)+而+錄)2=時+而2+束2+2函年=3+甌2+3+3二西2+艾而

卜福H阿忖麻舊阿卜1同，

.二當(dāng)AB,AC所在平面與。垂直，且B,C在底面上的射影.G,在A點同側(cè)時，8C長度最小,

此時甌卜網(wǎng)—網(wǎng)=|-l=g,BC最小為崎1=5；

當(dāng)AB,AC所在平面與。垂直，且aC在底面上的射影與，G，在A點異側(cè)時，8C長度最大，此

時甌卜河+照=|+1=|,8C最大為何

???線段BC長度的取值范圍為［,

故答案為：［?,屈］.

四、解答題y

13.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點4(1,0)和點8(—\

—BoAx

1,0),|%|=1,且/力仇=氏其中