【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第13章-選修4-1-第2節(jié)-直線與圓

第十三章選修4－1其次節(jié)一、選擇題1．自圓O外一點P引圓的切線，切點為A，M為PA的中點，過M引圓的割線交圓于B，C兩點，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°，則∠MPB的大小為()A．10° B．20°C．30° D．40°[答案]B[解析]由于PA與圓相切于點A，所以AM2＝MB·MC．而M為PA的中點，所以PM＝MA，則PM2＝MB·MC，∴eq\f(PM,MC)＝eq\f(MB,PM).又∠BMP＝∠PMC，所以ΔBMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，在△PMC中，由∠CMP＋∠MPC＋∠MCP＝180°，即∠CMP＋∠BPC＋2∠MPB＝180°，所以100°＋40°＋2∠MPB＝180°，從而∠MPB＝20°.2．(2022·天津高考)如圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點D，交BC于點E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F，在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.則全部正確結(jié)論的序號是()A．①② B．③④C．①②③ D．①②④[答案]D[解析]由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，∵AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠CAD＝∠CBD．∴∠FBD＝∠CBD，即BD平分∠CBF，∴①正確；由切割線定理知，②正確；由相交弦定理知，AE·ED＝BF·EC，∴③不正確；∵△ABF∽△BDF，∴eq\f(AB,BD)＝eq\f(AF,BF).∴AF·BD＝AB·BF，∴④正確．故選D．二、填空題3．如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA＝3，PDDB＝916，則PD＝________，AB＝________.[答案]eq\f(9,5)，4[解析]由于PDDB＝916，設(shè)PD＝9a，則DB＝16a，依據(jù)切割線定理有PA2＝PD·PB有a＝eq\f(1,5)，所以PD＝eq\f(9,5)，在直角△PBA中，AB2＝PB2－AP2＝16，所以AB＝4.4．如圖，在半徑為eq\r(7)的⊙O中，弦AB、CD相交于點P，PA＝PB＝2，PD＝1，則圓心O到弦CD的距離為________．[答案]eq\f(\r(3),2)[解析]由相交弦定理知，PA·PB＝PD·PC，又PA＝PB＝2，PD＝1，得PC＝4，故CD＝5，∴d＝eq\r(\r(7)2－\f(5,2)2)＝eq\f(\r(3),2).5．(2022·湖北高考)如圖，P為⊙O外一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為A、B，過PA的中點Q作割線交⊙O于C、D兩點，若QC＝1，CD＝3，則PB＝________.[答案]4[解析]由切線長定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.6．如圖，在圓內(nèi)接梯形ABCD中，AB∥DC，過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E，若AB＝AD＝5，BE＝4，則弦BD的長為________．[答案]eq\f(15,2)[解析]由于在圓的內(nèi)接梯形ABCD中，AB∥DC，所以AD＝BC，∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABE＝∠BCD，所以∠BAD＋∠ABE＝180°，又由于AE為圓的切線，所以AE2＝BE·EC＝4×9＝36，AE＝6.在△ABE中，由余弦定理得cos∠ABE＝eq\f(AB2＋BE2－AE2,2AB·BE)＝eq\f(52＋42－62,2×5×4)＝eq\f(1,8)，cos∠BAD＝cos(180°－∠ABE)＝－cos∠ABE＝－eq\f(1,8)，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝eq\f(225,4)，所以BD＝eq\f(15,2).7.如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________.[答案]2eq\r(3)[解析]∵AB為⊙O的直徑，C在⊙O上，∴AC⊥BD，又∵BC＝CD，∴AD＝AB＝6，又DE＝2，∴AE＝4，連OC，∵CE為⊙O的切線，∴CE⊥OC，又OC為△ABD的中位線，∴OC∥AD．∴CE⊥AD，∴CD2＝DE·DA＝12，∴CD＝2eq\r(3)，∴BC＝CD＝2eq\r(3).8．如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝________.[答案]5[解析]本題考查了相交弦定理三角形相像等學(xué)問．由已知AE·EB＝CE·DE＝DE2，∴DE2＝5×1＝5，因△DFE∽△DEB，所以eq\f(DF,DE)＝eq\f(DE,DB)，∴DE2＝DF·DB＝5.平面幾何在選修題中每年必考，難度不大，屬保分題型．三、解答題9．(2022·江蘇高考)如圖，AB是圓O的直徑，CD是圓O上位于AB異側(cè)的兩點，證明：∠OCB＝∠D．[解析]證明：OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，又∵∠B＝∠D，∴∠OCB＝∠D．10．如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D．(1)證明：DB＝DC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝eq\r(3)，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．[解析](1)連接DE，交BC于點G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又∵DB⊥BE，∴DE為直徑，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC．(2)由(Ⅰ)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂線，所以BG＝eq\f(\r(3),2).設(shè)DE中點為O，連接BO，則∠BOG＝60°.∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓半徑等于eq\f(\r(3),2).一、填空題1．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點．AD和過C點的切線相互垂直，垂足為D，∠DAB＝80°，則∠ACO＝________.[答案]40°[解析]∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴OC∥AD．由此得，∠ACO＝∠CAD，∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，故AC平分∠DAB．∴∠CAO＝40°，∴∠ACO＝40°.2．如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D，過點C作BD的平行線與圓相交于點E，與AB相交于點F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝eq\f(3,2)，則線段CD的長為________．[答案]eq\f(4,3)[解析]由于AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).設(shè)CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O過A、B兩點且與BC相切于點B，與AC交于點D，連接BD，若BC＝eq\r(5)－1，則AC＝________.[答案]2[解析]由題易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，所以BCAC＝CDCB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.4．如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為________．[答案]eq\f(8,3)[解析]如圖所示：∵AE為圓的切線，∴AE2＝BE·ED，設(shè)BE＝x，∴36＝x(5＋x)，x2＋5x－36＝0，∴x＝4.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，又∠EAB＝∠ACB，∴∠EAB＝∠ABC，∴AE∥BC，又EB∥AC，∴四邊形BCAE為平行四邊形，∴BC＝AE＝6，AC＝BE＝4，∵△DFB∽△AFC，∴eq\f(BD,AC)＝eq\f(BF,FC)，∴eq\f(5,4)＝eq\f(6－FC,FC)，∴FC＝eq\f(8,3).5．(2022·重慶高考)過圓外一點P作圓的切線PA(A為切點)，再作割線PBC依次交圓于B，C，若PA＝6，AC＝8，BC＝9，則AB＝________.[答案]4[解析]本題主要考查切割線定理與三角形的相像，設(shè)AB＝x，PB＝y(tǒng)，由切割線定理可知，PA2＝36＝x(x＋9)(1)由三角形PAB與三角形PCB相像可得eq\f(AB,CA)＝eq\f(PB,PA)，即eq\f(y,8)＝eq\f(6,9＋x)(2)由(1)，(2)可得3y2＋36y－4×48＝0，y＝4(y＝－48舍去)．二、解答題6．(2022·新課標(biāo)Ⅰ)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE.(1)證明：∠D＝∠E；(2)設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形．[解析](1)由題設(shè)知A，B，C，D四點共圓，所以∠D＝∠CBE，由CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)設(shè)BC的中點為N，連接MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直線MN上．又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點，故OM⊥AD，即MN⊥AD．所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形．7．(2022·遼寧高考)如圖，EP交圓于E、C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若AC＝BD，求證：AB＝ED．[解析](1)∵PD＝PG，∴∠PDG＝∠PGD，由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA，又∠PGD＝∠EGA，∴∠DBA＝∠EGA．∴∠DB