【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修四導(dǎo)學(xué)案：《任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義與周期性》

第3課時(shí)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義與周期性1.理解通過單位圓引入任意角的正弦函數(shù)的意義.2.把握任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義,能利用角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)寫出正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值.把握特殊角的正弦、余弦函數(shù)值.3.理解并把握終邊相同的角的正弦、余弦函數(shù)值相等.4.了解周期函數(shù)的定義,并能簡潔應(yīng)用.在學(xué)校由于學(xué)習(xí)的學(xué)問不夠深化和認(rèn)知的差異,為了便于理解銳角三角函數(shù)的概念,我們以銳角為其中一個(gè)角構(gòu)造一個(gè)直角三角形,利用不同邊的比值定義了該銳角的三角函數(shù)(正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)),但這種定義明顯不適應(yīng)任意角的三角函數(shù)的定義,這節(jié)課我們將要探尋任意角的三角函數(shù)的本質(zhì)是什么?并能對任意角的三角函數(shù)給出一個(gè)科學(xué)合理的定義.問題1:一般地,在直角坐標(biāo)系中(如圖),對任意角α,它的終邊與圓交于點(diǎn)P(a,b),則比值br叫作角α的,記作:sinα=br;比值ar叫作角α的,記作:cosα=ar當(dāng)r=1時(shí),任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(a,b),我們可以唯一確定點(diǎn)P(a,b),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)b是的函數(shù),稱為函數(shù),記作:;點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a是的函數(shù),稱為余弦函數(shù),記作:.

通常我們用x,y分別表示自變量與因變量,將正弦函數(shù)表示為,正弦函數(shù)值有時(shí)也叫正弦值;將余弦函數(shù)表示為,余弦函數(shù)值有時(shí)也叫余弦值.

問題2:終邊相同的角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值,即若β=α+2kπ(k∈Z),則sinαsinβ,cosαcosβ.

問題3:正、余弦函數(shù)值的符號(hào)(1)表格表示象限三角函數(shù)第一象限其次象限第三象限第四象限sinα

cosα

問題4:周期函數(shù)的有關(guān)概念(1)一般地,對于函數(shù)f(x),假如存在常數(shù)T,對定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值,都有,我們就把f(x)稱為周期函數(shù),T稱為這個(gè)函數(shù)的.

(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù),為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期.如-2π,2π,4π等都是它們的周期.其中2π是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個(gè),稱為.

1.若sinα<0,cosα>0,則α的終邊(不含端點(diǎn))在().A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-6,8),則cosα的值為().A.-35 B.35 C.-453.若點(diǎn)P在角2π3的終邊上,且|OP|=2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是4.在時(shí)鐘鐘面上,分針從如圖位置開頭順時(shí)針走動(dòng),當(dāng)分針走過1125°時(shí),求分針針尖到分針起始位置OA的距離(即A'到OA的距離,設(shè)分針長為rcm).推斷正弦、余弦函數(shù)值的符號(hào)推斷下列各式的符號(hào).(1)cos(-345°);(2)sin175°cos248°.周期函數(shù)的證明已知f(x+2)=-f(x),求證:f(x)是周期函數(shù),并求出它的一個(gè)周期.利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義求值已知角α的終邊在直線y=-34x上,求cosα-1sin若角α的終邊落在直線y=-x上,求sinα|cosα若函數(shù)f(x)是以π2為周期的奇函數(shù),且f(π3)=1,求f(-11π已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x,-2)(x≠0),且cosα=36x,求sinα+cosαsin1.sin2120°等于A.±32 B.32 C.-32 2.已知cosθ·sinθ<0,那么角θ是().A.第一或其次象限角 B.其次或第三象限角C.其次或第四象限角 D.第一或第四象限角3.求下列式子的值:(1)sin132π=;(2)cos405°=4.已知函數(shù)f(x)在其定義域上都有f(x+1)=-1f(x),求證:f(x)(2011年·江西卷)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸,若P(4,y)是角θ終邊上一點(diǎn),且sinθ=-255,則y=考題變式(我來改編):第3課時(shí)任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義與周期性學(xué)問體系梳理問題1:正弦余弦a2+b2角α正弦y=sinα(α∈R)角αy=cosα(α∈R)y=sinx(x∈R)y=cosx(問題2:相同相同==問題3:正正負(fù)負(fù)正負(fù)負(fù)正問題4:(1)非零f(x+T)=f(x)周期(2)2kπ(k∈Z,k≠0)最小正周期基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.D∵sinα<0,∴α在第三、四象限及y軸的負(fù)半軸上,由cosα>0,可知α在第一、四象限及x軸的正半軸上,故α在第四象限.2.Acosα=xx2+y23.(-1,3)∵x=|OP|cos2π3=2×(-12)=-1,y=|OP|sin2π3=3.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4.解:1125°=360°×3+45°,d=rsin45°=22r(cm)重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)∵-345°=-360°+15°是第一象限角,∴cos(-345°)>0.(2)∵175°是其次象限角,248°是第三象限角,∴sin175°>0,cos248°<0,∴sin175°cos248°<0.【小結(jié)】熟記正弦、余弦函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)是解決此類問題的關(guān)鍵,同時(shí)可結(jié)合圖形掛念理解.探究二:【解析】∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期函數(shù),且4是它的一個(gè)周期.【小結(jié)】一般地,對于函數(shù)f(x),假如存在非零實(shí)數(shù)T,使得對任意x都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就是一個(gè)周期為T的周期函數(shù),故解決此類問題的關(guān)鍵是找出周期T,并證明上述等式成立.探究三:【解析】求角α的正、余弦值關(guān)鍵是確定角α的終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo),所以在角α的終邊上取一點(diǎn)P(4,-3),則r=|OP|=x2+y2=于是sinα=yr=-35,cosα=xr所以cosα-1sinα=45+5[問題]上述解法全面嗎?[結(jié)論]角α的終邊在一條直線上時(shí),要對角α的終邊為射線y=-34x(x≤0)還是為射線y=-34x(x>0)于是,正確解答如下:①在角α的終邊上取一點(diǎn)P1(4,-3).則r=|OP1|=x2+y2=于是sinα=yr=-35,cosα=xr∴cosα-1sinα=②在角α的終邊上取一點(diǎn)P2(-4,3).則r=|OP2|=x2+y2=于是sinα=yr=35,cosα=xr∴cosα-1sinα=-45-5綜上,cosα-1sinα的值為3715或【小結(jié)】(1)在角α的終邊上取點(diǎn),利用定義求sinα,cosα;(2)若終邊落在直線上,則需分兩種狀況爭辯.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:當(dāng)α的終邊落在其次象限時(shí),sinαcosα+sinαcosα=當(dāng)α的終邊落在第四象限時(shí),sinαcosα+sinαcosα=sinαcosα+-應(yīng)用二:∵f(x)是以π2為周期的奇函數(shù)∴f(-11π6)=-f(11π6)=-f(3×12π+π3)=-f應(yīng)用三:∵P(x,-2)(x≠0),∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r=x2又cosα=36x,∴cosα=xx2∵x≠0,∴x=±10,∴r=23.當(dāng)x=10時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(10,-2),由三角函數(shù)的定義,有sinα=-223=-66,cosα∴sinα+cosαsinα=-66-當(dāng)x=-10時(shí),同理,可求得sinα+cosαsinα基礎(chǔ)智能檢測1.Bsin2120°=|sin2.C若cosθ>0,sinθ<0,則θ在第四象限;若cosθ<0,sinθ>0,則θ在其次象限.故選C.3.(1)1(2)22(1)sin132π=sin(π2+6