2025年人教版七年級數學寒假復習 專題01 有理數（6重點串講+15考點提升+過關檢測）

專題01有理數考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺難點強化：難點內容標注與講解，能力提升提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點1：用正、負數表示具有相反意義的量具有相反意義的量包括兩個因素：①有相反的意義；②有數量.【補充說明】1）單獨的一個量不能稱為具有相反意義的量，即具有相反意義的量總是成對出現(xiàn)的.2）在一對具有相反意義的量中，通常先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．3）具有相反意義的量必須是同類量，如虧損30元與上升10米就不是具有相反意義的量；3）與一個量具有相反意義的量不止有一個，即具有相反意義的量只要求具有相反意義和數量即可，數量不一定要相等，例：與盈利100元是相反意義的量有很多，如虧損50元、虧損150元、虧損200元等；4）常見的具有相反意義的量：前進與后退，上升和下降，盈利和虧損，向南和向北，收入與支出等.知識點2：有理數的分類有理數：整數和分數統(tǒng)稱為有理數.（【實質】可以寫成形式的數，其中m，n為整數且m≠0）【補充】有限小數和無限循環(huán)小數可以轉化為分數，因此有限小數和無限循環(huán)小數是有理數.例：0.53（分數形式：53100），1.333333…（分數形式：43），4，整數3（分數形式：3有理數分類：【易錯點】帶“非”字有理數分類時忽律0.知識點3：數軸數軸的定義：在數學中，通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸.數軸有三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可.數軸的畫法：1）畫一條直線；2）在這條直線上任取一點作為原點，這點表示0；3）確定正方向：通常規(guī)定直線上向右為正方向，畫上箭頭；4）選取適當的長度，從原點向右每隔一個單位長度取一點，依次標上1，2，3，…從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次標上-1，-2，-3，…知識點4：相反數相反數：只有符號不同的兩個數稱為互為相反數，相反數是成隊出現(xiàn)的.性質：1）【熱考】若a，b互為相反數，則a+b=0；反之，若a+b=0，則若a，b互為相反數.2）一個有理數有且只有一個相反數；3）正數的相反數是負數；負數的相反數是正數；0的相反數是0.【補充】0是唯一一個相反數等于本身的數.知識點5：絕對值絕對值：數軸上表示數a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|．絕對值的代數意義：正數的絕對值是它本身；0絕對值是0；負數的絕對值是它的相反數，即知識點6：有理數比較大小考點剖析【考點1】用正、負數表示具有相反意義的量1．（24-25七年級上·山西晉中·期中）東、西為兩個相反方向，如果+4m表示一個物體向東運動4m，那么?2m表示2．（24-25七年級上·山東菏澤·期中）人體正常體溫平均為36.5°C，如果某溫度高于36.5°C，那么高出的部分記為正；如果溫度低于36.5°C，那么低于的部分記為負，國慶假期間某同學在家測的體溫為38.3°C3．（24-25七年級上·河南濮陽·期中）手機移動支付給生活帶來便捷．如圖所示是某用戶微信的賬單情況，+41.00元表示收款41.00元，則?5.50元表示．4．（2024七年級上·全國·專題練習）根據正數或負數的意義填空：（1）如果收入20元記作+20元，那么支出100元記作元；（2）如果水位上升2米時水位變化記作+2米，那么水位下降2米時水位變化記作米；（3）如果向南走20米記作?20米，那么向北走70米記作米．【考點2】0的意義5．（24-25七年級上·湖南湘西·期中）下列對“0”的說法正確的個數是（

）①0是正數與負數的分界；②0只表示“什么也沒有”；③0可以表示特定的意義，如0℃；④0是正數．A．1 B．2 C．3 D．46．（24-25七年級上·遼寧大連·階段練習）0的發(fā)現(xiàn)被稱為人類偉大的發(fā)現(xiàn)之一．0在我國古代叫做金元數字，意思是極為珍貴的數字，下列關于0在生活中的應用的說法，錯誤的是（

）A．0℃是一個確定的溫度 B．海拔0mC．24小時時制中，0點表示一天的開始時刻 D．在二進制中，0是基本的數字表示7．（2024七年級上·山東青島·專題練習）下列關于“0”的說法正確的有個．①0是正數和負數的分界點；②0是正數；③0是自然數；④不存在既不是正數也不是負數的數；⑤0既是整數也是偶數；⑥0不是負數．【考點3】有理數的分類8．（24-25七年級上·河南平頂山·期中）所有的正數組成正數集合，所有的負數組成負數集合，所有的整數組成整數集合，所有的分數組成分數集合，請把下列各數填入相應的集合中：3，?7，?23，5.6，0，?8正數集合：{____________________…}；負數集合：{____________________…}；整數集合：{____________________…}；分數集合：{____________________…}．9．（24-25七年級上·山東濟寧·期中）把下列各數填在相應的集合里．0.3，?21，π3，0.6，?57，0，?3.1，215，分數集合：{____________________________________…}；負有理數集合：{____________________________________…}；非負整數集合：{____________________________________…}．10．（24-25七年級上·廣東潮州·階段練習）把下列各數填入相應的括號內．?12，0.618，?3.1415，2022，?32，(1)正分數：｛

}(2)非負整數：｛

}(3)負有理數：｛

}(4)非負數：｛

}【考點4】用數軸上的點表示有理數11．（24-25七年級上·江蘇淮安·期中）把下列各數在數軸上表示出來，并把各數用“<”連接起來：??3，?22，0<<<．12．（24-25七年級上·山東濟南·期中）如圖，點A，B在數軸上，點C表示?3.5，點D表示?2．(1)點A表示_____，點B表示_____；(2)在數軸上表示出點C和點D；(3)用“<”把點A，B，C，D表示的數連接起來．13．（24-25七年級上·廣西南寧·期中）用直尺畫數軸時，數軸上的點A，B，C分別代表數字a，b，c，已知AB=6，BC=2，如圖所示，設點p=a+b+c，該軸的原點為O．(1)若點A所表示的數是?1，則點B所表示的數是，點C所表示的數是；(2)若點A，B所表示的數互為相反數，則點C所表示的數是，此時p的值為；(3)若數軸上點C到原點的距離為4，求p的值．14．（2024七年級上·全國·專題練習）在課后延時服務中，某數學小組在一張白紙上制作一條數軸，如圖．操作一：(1)折疊紙面，使表示1的點與表示?1的點重合，則表示?2的點與表示___________的點重合．操作二：(2)折疊紙面，使表示?1的點與表示3的點重合，解答以下問題：①表示5的點與D在數軸上表示的點重合，求點D表示的數．②若數軸上A，B兩點之間的距離為9（點A在點B的左側），且A，B兩點折疊后重合，求A，B兩點表示的數．【考點5】數軸上兩點之間的距離15．（24-25七年級上·河北保定·期中）在數軸上點A到原點的距離為6，則點A表示的數是．16．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）已知有理數a、b，其中數a在如圖的數軸上的對應點為A，b是負數，且b在數軸上對應的點與原點的距離為3．(1)a=________，b=________．(2)比較b和?2的大小：________．17．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，數軸上標出的所有點中，相鄰任意兩點間的距離都相等，已知點A表示?16，點G表示8．(1)表示原點的是點______，點C表示的數是______；(2)數軸上有兩點M，N，點M到點E的距離為4，點N到點E的距離是3，求點M，N之間的距離．18．（24-25七年級上·湖南邵陽·期中）已知A，B，P為數軸上三點，我們規(guī)定：點P到點A的距離是點P到點B的距離的k倍，則稱P是A,B的“k倍點”，記作PA,B=k．例如：若點P表示的數為0，點A表示的數為?2，點B表示的數為1，則P是A,B的“2倍點”，記作如圖，A，B，P為數軸上三點，回答下面問題：(1)PB,A(2)若點C在數軸上，且CA,B=1，則點(3)若D是數軸上一點，且DA,B=2，求點【考點6】根據點在數軸的位置判斷式子正負19．（22-23七年級上·浙江·階段練習）如圖，A、B兩點在數軸上表示的數分別為a、b，下列式子成立的是（填序號）．①a+b=a+b；②a?b=b?a；③(b?1)(a?1)>020．（23-24七年級上·浙江湖州·期末）如圖，數軸上A，B兩點所表示的數分別為a，b，下列各式中：①a?1b?1>0；②a?1b+1<0；③a+1b+1【考點7】根據點在數軸的位置進行化簡21．（23-24七年級上·山東濟寧·期末）a、b、c在數軸上對應的位置如圖所示，則a?c?a+b22．（23-24七年級上·江西撫州·期中）有理數a、b、c在數軸上的位置如圖，化簡：c?b+a?b23．（23-24七年級上·遼寧葫蘆島·期末）有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，以下結論中；①abc>0②c?a<0③a+b+c>0④aa+【考點8】化簡多重符號24．（2024七年級上·黑龍江·專題練習）化簡下列各式的符號，并回答問題：（1）??2（2）+?（3）??（4）??（5）??問：①當+5的前面有2024個負號時，化簡后的結果是________；②當?5的前面有2025個負號時，化簡后的結果是________；由①②你能總結出什么規(guī)律？【考點9】相反數的應用25．（23-24七年級上·寧夏吳忠·期末）若a與b互為相反數，c、d互為倒數，則2019(a+b)?2020cd的值是多少？26．（23-24七年級上·陜西漢中·期末）如圖是一個長方體的展開圖，若將這個展開圖折疊成一個長方體后，相對面上的兩個數字互為相反數，求xy?z的值．27．（23-24七年級上·廣西來賓·期中）若a,b互為相反數，c,d互為倒數，m=2（1）填空：a+b=______；cd=______；m=______．（2）求a+b4m【考點10】化簡絕對值28．（24-25七年級上·山西大同·期中）已知有理數a、b、c在數軸上的對應點如圖所示，且a>b，則a?b=_____，a+b=_____，a+c=29．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，a,b,c是數軸上A,B,C三個點所對應的實數．(1)化簡：c2(2)計算：aa30．（24-25七年級上·湖南婁底·階段練習）在解決數學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數學思想，下面是運用分類討論的數學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的【探究】【提出問題】兩個有理數a、b滿足a、b同號，求aa【解決問題】解：由a、b同號，可知a、b有兩種可能：①當a，b都正數；②當①若a、b都是正數，即a>0，b>0，有a=a②若a、b都是負數，即a<0，b<0，有a=?a，b=?b，aa+b【探究】請根據上面的解題思路解答下面的問題：(1)兩個有理數a、b滿足a、b異號，求aa(2)已知a=5，b=9，且a<b，求【考點11】絕對值的幾何意義31．（24-25七年級上·貴州貴陽·期中）數軸是數形結合思想的重要載體，任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示，而一個數的絕對值就是這個數所對應的點到原點的距離．(1)對于有理數a，如果a=5，那么a(2)a=a?0，表示有理數例如：?7與6在數軸上對應的點之間的距離可以記作?7?6或6??7那么，對于有理數b：①b?3可以看作b和________在數軸上對應的點之間的距離；②b+8可以看作b和________在數軸上對應的點之間的距離；③若b?3=b+8，請畫出數軸并用數形結合思想求32．（24-25七年級上·重慶綦江·期中）認真閱讀下面的材料，完成有關問題：已知數軸上兩個點之間的距離等于這兩個點表示的數的差的絕對值．如圖1，在數軸上點A表示的數為?2，點B表示的數為1，點C表示的數為3，則B，C之間的距離表示為：BC=3?1，A，C之間的距離表示為：AC=3??2=3+2．若點P在數軸上表示的數為x，則P，A之間的距離表示為：PA=x??2利用數軸探究下列問題：(1)x+2+x?1的最小值是_____，此時(2)請按照（1）問的方法思考：x+3+x?1+(3)如圖2，在一條筆直的街道上有E，F(xiàn)，G，H四個小區(qū)，且相鄰兩個小區(qū)之間的距離均為100m，已知E，F(xiàn)，G，H四個小區(qū)各有2個，1個，2個，2個學生在同一所中學的同一班級上學，安全起見，這7個同學約定先在街道上某處匯合，再一起去學校，聰明的他們通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的M處匯合會使所有學生從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和最小，請直接寫出匯合地點M33．（24-25七年級上·湖北十堰·期中）【問題背景】我們知道x的幾何意義是：在數軸上數x對應的點與原點的距離．這個結論可以推廣為：點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，則A，B兩點之間的表距離示為a?b，即AB=a?b．例如，在數軸上，表示?4和?2的點的距離為AB=【問題解決】（1）x?2表示數軸上數x與（填數字）之間的距離；（2）若點C為數軸上一點，它所表示的數為x，點D在數軸上表示的數為?2，則CD=（用含x的代數式表示）；【關聯(lián)運用】（3）運用一：若x?2+x+4=10，則x（4）運用二：代數式x?2+x+4的最小值為（5）運用三：代數式x?3?x+4的最大值為（6）運用四：已知動點A、B、C分別從數軸?2、3、4的位置沿數軸正方向同時運動，速度分別為2個單位長度/秒，4個單位長度/秒，8個單位長度/秒．原點為點O，線段OA，OB，OC的中點分別為P，M，N，若【考點12】絕對值非負性的應用34．（24-25七年級上·湖南岳陽·期中）若x?32+y+5=0，則x=35．（24-25七年級上·內蒙古呼和浩特·階段練習）若|x?3|+|y?4|=0，則x=，y=．36．（24-25七年級上·江西贛州·期中）當x=時，?|x?2|+2024的值最大．37．（24-25七年級上·河北廊坊·階段練習）x+2+1有最值，為【考點13】比較有理數的大小38．（24-25七年級上·廣東廣州·期中）比較大小：?45?2，??5??4（填“>”“39．（2024七年級上·浙江·專題練習）把0.67，35，67.67%，23，0這五個數按照從大到小的順序排列后，最大的數是，最小的數是40．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）比較大?。?20052004【考點14】與有理數有關的新定義問題41．（24-25七年級上·福建廈門·期中）對于有理數a、b，定義一種新運算“⊙”，規(guī)定a⊙b=(1)計算?3⊙(2)當a、b在數軸上的位置如圖所示時，化簡a⊙b．(3)當a⊙b=a⊙c時，是否一定有b=c或者b=?c？若是，則說明理由；若不是，則舉例說明．42．（24-25七年級上·寧夏固原·階段練習）對于有理數a、b，定義一種新運算“⊙”，規(guī)定：a⊙b=a?b.例如：?1⊙3=?1?343．（24-25七年級上·遼寧大連·階段練習）對于數軸上的兩點P、Q給出如下定義：P、Q兩點到原點O的距離之差的絕對值稱為P，Q兩點的絕對距離，記為POQ．例如，P、Q兩點表示的數如圖1所示，則POQ=(1)A、B兩點表示的數如圖2所示．①A、B兩點絕對距離為______；②若C為數軸上一點（不與點O重合），且3AOB=AOC(2)M、N為數軸上的兩點（點M在點N左邊），且線段MN=2，若MON=1，求出點M44．（2024七年級上·北京·專題練習）定義：已知點A、B在數軸上分別表示有理數x、y，A、B兩點到原點的距離之和叫做兩點之間的原點距，記作d，容易知道原點距d=x+y．例如：有理數2，?5(1)若A，B兩點的原點距為3，且點A代表的數為1，則點B代表的數字為___________；(2)若A點代表的數字為xx>0，B點代表的數字為2?x，則AB45．（24-25七年級上·江蘇淮安·期中）定義：若A，B，C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是【A，B】的美好點．若規(guī)定A、B兩點之間的距離為AB，即當AC=2BC時，我們稱點C是【A，B】的美好點．例如：如圖1，點A表示的數為?1，點B表示的數為2．表示1的點C到點A的距離AC是2，到點B的距離BC是1，那么點C是【A，B】的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離AD是1，到點B的距離BD是2，那么點D就不是【A，B】的美好點，但點D是【B，A】的美好點．如圖2，M，N為數軸上兩點，點M所表示的數為?7，點N所表示的數為2．(1)點E，F(xiàn)，G表示的數分別是?3，6.5，11，其中是【M，N】美好點的是______；寫出【N，M】美好點H所表示的數是______．(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點N開始出發(fā)，以3個單位每秒的速度向左運動．請你寫出當t為何值時，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點？46．（24-25七年級上·山東菏澤·階段練習）對于數軸上的A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的數量關系，則稱該點是其它兩個點的“聯(lián)盟點”．例如數軸上點A，B，C所表示的數分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“聯(lián)盟點”．(1)若點A表示數?4，點B表示數5，點M是點A，B的“聯(lián)盟點”，點M在A、B之間，且表示一個負數，則點M表示的數為________；(2)點A表示數?5，點B表示數25，P為數軸上一點；①若點P在點B的右側，且點P是點A，B的“聯(lián)盟點”，此時點P表示的數是________；②若點P在點B的左側，且點P是點A，B的“聯(lián)盟點”，此時點P表示的數是________．【考點15】與數軸有關的動點問題47．（24-25七年級上·陜西榆林·期中）如圖，已知點A，B，C是數軸上三點，O為原點．點C表示的數為3，點B與點C之間的距離為2，點A與點B之間的距離為6．【問題提出】（1）點A表示的數是________，點B表示的數是________；【問題探究】（2）動點P，Q分別同時從點A，C處出發(fā)，分別以每秒8個單位長度和4個單位長度的速度沿數軸正方向運動，點M在點A和點P之間，且點A到點M的距離與點M到點P的距離相等，點N在點C和點Q之間，且點C到點Q之間的距離是點C到點N之間距離的4倍，當運動時間為tt>0時，用含t的代數式表示點M，N【問題解決】（3）在（2）的條件下，點M到點Q之間的距離是否與t的大小有關？若有關，用含t的代數式表示點M到點Q之間的距離；若無關，請求出點M到點Q之間的距離．48．（23-24七年級上·湖北黃岡·期中）已知：如圖數軸上有A、B、C三點，點A和點B間距20個單位長度且點A、B表示的有理數互為相反數，AC=40，數軸上有一動點P從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右沿數軸運動，設運動時間為t秒（t＞0）．(1)點A表示的有理數是________，點C表示的有理數是________，點P表示的數是________（用含t的式子表示）；(2)當t=________秒時，P、B兩點之間相距10個單位長度？(3)若點A、點B和點C與點P同時在數軸上運動，點A以1個單位/秒的速度向左運動，點B和點C分別以3個單位/秒和4個單位/秒的速度向右運動，是否存在常數m，使得mAP+5BP?3CP為一個定值，若存在，請求出m值以及這個定值；若不存在，請說明理由．49．（24-25七年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖1，將一根木棒放在數軸（單位長度為1）上，木棒左端與數軸上的點A重合，右端與數軸上的點B重合．(1)若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數軸上所對應的數為30；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數軸上所對應的數為3，由此可得這根木棒的長為______；圖中點A所表示的數是______；點B所表示的數是______；(2)受（1）的啟發(fā)，請借助“數軸”這個工具解決下列問題：①一天，爸爸對小明說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你才剛出生（0歲）；你若是我現(xiàn)在這么大，我就87歲啦！”則爸爸的年齡是______歲．（在圖2中標出分析過程）②爺爺對小明說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要13年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大．我就119歲啦！”則爺爺的年齡是______歲．（畫出示意圖展示分析過程）50．（24-25七年級上·吉林·期中）閱讀材料：點A，B在數軸上對應的數分別為a，b，當點A在點B的左側時，我們把數軸上A，B兩點之間的距離AB表示為b?a．如3?1可以表示為3與1兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離．探索：若點A，B在數軸上對應的數分別為?2，6．(1)A，B兩點之間的距離是________；(2)點A以每秒2個單位長度沿數軸向左運動，點A對應的數為________（用含t的代數式表示）；2秒后A，B兩點間距離為______；(3)點A以每秒2個單位長度沿數軸向左運動，點B以每秒3個單位長度同時沿數軸向右運動，求t秒后A，B兩點間距離．（用含t的代數式表示）51．（24-25七年級上·廣東深圳·期中）若定義新運算：a?b=1?3ab，如5??1=5?3×5×?1=20，請利用此定義計算：A．?61 B．?59 C．59 D．6152．（24-25七年級上·河南洛陽·期中）請你利用所學知識判斷，下列敘述錯誤的是（

）A．正負數是表示在生活中互為相反的方向上數量發(fā)生改變需要產生的計數方式；B．表示正負數時前面的符號代表方向，是人為規(guī)定的，后面的數字代表數量；C．0沒有相反數；D．互為相反數的量在不同的情況下，可以互換表示．53．（24-25七年級上·河南信陽·期中）甲、乙兩人同時從相距1500米的兩地出發(fā)（如圖），如果兩人步行速度都是每分鐘50米，10分鐘后兩人相距多少米？下列選項中錯誤的是（

）A．2500米 B．1500米 C．1000米 D．500米過關檢測一、單選題1．（24-25七年級上·全國·期中）?3=（

A．13 B．3 C．?3 D．2．（24-25七年級上·重慶·期中）若M=x+2+3，N=x?4A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，13．（24-25七年級上·廣東廣州·期中）下列化簡計算正確的是（）A．?(?3)=?3 B．?|?3|=3C．??3?2=?二、填空題4．（2024·陜西·模擬預測）若點A在數軸上表示的數是?3，將點A向右平移2個單位長度，正好與點B重合，則點B表示的數是．5．（2024·江西·模擬預測）若x+82+y?7=0，則代數式6．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預測）已知x與y互為相反數，m與n互為倒數，a=1，則a2?7．（2024·寧夏銀川·一模）銀川某天四個時刻的氣溫分別是?1℃，2℃，0℃，?9℃8．（2024·上?！つM預測）實數中絕對值最小的數是三、解答題9．（2024·河北邢臺·模擬預測）按要求完成下列各題(1)在數軸上表示下列各數：??3，??4，1.5，(2)用“<”將（1）題中的各數連接起來；(3)a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡a?c?10．（2024·河北滄州·模擬預測）郵遞員騎摩托車從郵局出發(fā)，先向東騎行2km到達A村，繼續(xù)向東騎行3km到達B村，然后向西騎行9km(1)以郵局為原點，以向東方向為正方向，用1個單位長度表示1km，請你在圖中數軸上表示出A，B，C三個村莊的位置；(2)若摩托車每1km

專題01有理數考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺難點強化：難點內容標注與講解，能力提升提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點1：用正、負數表示具有相反意義的量具有相反意義的量包括兩個因素：①有相反的意義；②有數量.【補充說明】1）單獨的一個量不能稱為具有相反意義的量，即具有相反意義的量總是成對出現(xiàn)的.2）在一對具有相反意義的量中，通常先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．3）具有相反意義的量必須是同類量，如虧損30元與上升10米就不是具有相反意義的量；3）與一個量具有相反意義的量不止有一個，即具有相反意義的量只要求具有相反意義和數量即可，數量不一定要相等，例：與盈利100元是相反意義的量有很多，如虧損50元、虧損150元、虧損200元等；4）常見的具有相反意義的量：前進與后退，上升和下降，盈利和虧損，向南和向北，收入與支出等.知識點2：有理數的分類有理數：整數和分數統(tǒng)稱為有理數.（【實質】可以寫成形式的數，其中m，n為整數且m≠0）【補充】有限小數和無限循環(huán)小數可以轉化為分數，因此有限小數和無限循環(huán)小數是有理數.例：0.53（分數形式：53100），1.333333…（分數形式：43），4，整數3（分數形式：3有理數分類：【易錯點】帶“非”字有理數分類時忽律0.知識點3：數軸數軸的定義：在數學中，通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸.數軸有三要素：原點、正方向、單位長度，三者缺一不可.數軸的畫法：1）畫一條直線；2）在這條直線上任取一點作為原點，這點表示0；3）確定正方向：通常規(guī)定直線上向右為正方向，畫上箭頭；4）選取適當的長度，從原點向右每隔一個單位長度取一點，依次標上1，2，3，…從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次標上-1，-2，-3，…知識點4：相反數相反數：只有符號不同的兩個數稱為互為相反數，相反數是成隊出現(xiàn)的.性質：1）【熱考】若a，b互為相反數，則a+b=0；反之，若a+b=0，則若a，b互為相反數.2）一個有理數有且只有一個相反數；3）正數的相反數是負數；負數的相反數是正數；0的相反數是0.【補充】0是唯一一個相反數等于本身的數.知識點5：絕對值絕對值：數軸上表示數a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|．絕對值的代數意義：正數的絕對值是它本身；0絕對值是0；負數的絕對值是它的相反數，即知識點6：有理數比較大小考點剖析【考點1】用正、負數表示具有相反意義的量1．（24-25七年級上·山西晉中·期中）東、西為兩個相反方向，如果+4m表示一個物體向東運動4m，那么?2m表示【答案】這個物體向西運動2m【分析】本題考查了用正負數表示具有相反意義的量，在一對具有相反意義的量中，其中一個用正數表示，則另一個量用負數表示；據此即可求解．【詳解】解：∵+4m表示一個物體向東運動4m，∴?2m表示一個物體向西運動2m故答案為：這個物體向西運動2m．2．（24-25七年級上·山東菏澤·期中）人體正常體溫平均為36.5°C，如果某溫度高于36.5°C，那么高出的部分記為正；如果溫度低于36.5°C，那么低于的部分記為負，國慶假期間某同學在家測的體溫為38.3°C【答案】+1.8【分析】本題考查了正數和負數的意義，根據題意，38.3℃高于36.5°【詳解】解：38.3?36.5=1.8∴體溫為38.3°C應記為故答案為：+1.8．3．（24-25七年級上·河南濮陽·期中）手機移動支付給生活帶來便捷．如圖所示是某用戶微信的賬單情況，+41.00元表示收款41.00元，則?5.50元表示．【答案】付款5.50元【分析】本題考查的是正負數的應用，收款額和付款額是具有相反意義的量，如果用正數表示收款額，就可以用負數表示付款額．【詳解】解：由題意可得：?5.50元表示付款5.50元．故答案為：付款5.50元4．（2024七年級上·全國·專題練習）根據正數或負數的意義填空：（1）如果收入20元記作+20元，那么支出100元記作元；（2）如果水位上升2米時水位變化記作+2米，那么水位下降2米時水位變化記作米；（3）如果向南走20米記作?20米，那么向北走70米記作米．【答案】?100?2+70【分析】本題主要考查了正負數的實際應用．（1）根據題意收入為正，則支付為負填寫即可．（2）根據題意水位上升為正，則水位下降為負填寫即可．（3）根據題意向南走為負，在向北走為正填寫即可．【詳解】解：（1）如果收入20元記作+20元，那么支出100元記作?100元，故答案為：?100．（2）如果水位上升2米時水位變化記作+2米，那么水位下降2米時水位變化記作?2米．故答案為：?2（3）如果向南走20米記作?20米，那么向北走70米記作+70米．故答案為：+70【考點2】0的意義5．（24-25七年級上·湖南湘西·期中）下列對“0”的說法正確的個數是（

）①0是正數與負數的分界；②0只表示“什么也沒有”；③0可以表示特定的意義，如0℃；④0是正數．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了正數和負數，根據0的意義，逐一判斷即可解答．【詳解】①因為正數大于0，負數小于0，所以0是正數與負數的分界，故①正確；②0除了表示“什么也沒有”，還可以表示其他意義，如0℃等，故②錯誤；③0可以表示特定的意義，如0℃，故③正確；④0既不是正數，也不是負數，故④錯誤，綜上所述：正確的有①③，共2個，故選：B．6．（24-25七年級上·遼寧大連·階段練習）0的發(fā)現(xiàn)被稱為人類偉大的發(fā)現(xiàn)之一．0在我國古代叫做金元數字，意思是極為珍貴的數字，下列關于0在生活中的應用的說法，錯誤的是（

）A．0℃是一個確定的溫度 B．海拔0mC．24小時時制中，0點表示一天的開始時刻 D．在二進制中，0是基本的數字表示【答案】B【分析】本題主要考查了有理數，0是有理數中的重要數字等知識點，根據0在不同問題中的實際含義解答即可，熟練掌握有理數0的性質是解決此題的關鍵．【詳解】A．0℃是一個確定的溫度，本選項說法正確，不符合題意；B．海拔0m表示與海平面一樣的高度?C．24小時時制中，0點表示一天的開始時刻，本選項說法正確，不符合題意；D．在二進制中，0是基本的數字表示，本選項說法正確，不符合題意；故選：B．7．（2024七年級上·山東青島·專題練習）下列關于“0”的說法正確的有個．①0是正數和負數的分界點；②0是正數；③0是自然數；④不存在既不是正數也不是負數的數；⑤0既是整數也是偶數；⑥0不是負數．【答案】4【分析】本題考查了對數字0的認識，注意：負數都小于零，正數都大于零，零既不是正數也不是負數，整數包括正整數、零、負整數；零不僅表示沒有，還表示一個介于負數與正數之間的一個數．依據題意，零大于負數，小于正數，零既不是正數也不是負數，整數包括正整數、零、負整數，零是自然數，零是偶數，從而即可根據以上內容判斷求解．【詳解】0是正數和負數的分界點，故①正確；0既不是正數，也不是負數，故②錯誤，⑥正確；0是自然數，故③正確；存在既不是正數也不是負數的數，即0，故④錯誤；0既是整數也是偶數，故⑤正確；故答案為：4．【考點3】有理數的分類8．（24-25七年級上·河南平頂山·期中）所有的正數組成正數集合，所有的負數組成負數集合，所有的整數組成整數集合，所有的分數組成分數集合，請把下列各數填入相應的集合中：3，?7，?23，5.6，0，?8正數集合：{____________________…}；負數集合：{____________________…}；整數集合：{____________________…}；分數集合：{____________________…}．【答案】見解析【分析】本題考查了有理數的分類，根據有理數的分類解答即可，熟練有理數的分類是解此題的關鍵．【詳解】解：正數集合：{3，5.6，15，1負數集合：{?7，?23，整數集合：{3，?7，0，15…}；分數集合：{?23，?814，9．（24-25七年級上·山東濟寧·期中）把下列各數填在相應的集合里．0.3，?21，π3，0.6，?57，0，?3.1，215，分數集合：{____________________________________…}；負有理數集合：{____________________________________…}；非負整數集合：{____________________________________…}．【答案】0.3，0.6，?57，?3.1，215，2.3%；?21，?【分析】本題考查了有理數的分類，根據有理數的分類填寫即可求解．【詳解】解：分數集合：{0.3，0.6，?57，?3.1，2負有理數集合：{?21，?57，非負整數集合：{0，10，…}；10．（24-25七年級上·廣東潮州·階段練習）把下列各數填入相應的括號內．?12，0.618，?3.1415，2022，?32，(1)正分數：｛

}(2)非負整數：｛

}(3)負有理數：｛

}(4)非負數：｛

}【答案】(1)0.618,26.5(2)2022,0,?(3)?(4)0.618,2022,26.5【分析】本題考查了有理數的分類，熟練掌握有理數的概念是解題關鍵．（1）根據正分數的定義求解即可得；（2）根據非負整數的定義（包括0和正整數）求解即可得；（3）根據負有理數的定義（小于0的有理數）求解即可得；（4）根據非負數的定義（包括0和正數）求解即可得．【詳解】（1）解：正分數：0.618,26.5%（2）解：非負整數：2022,0,?．（3）解：負有理數：?1（4）解：非負數：0.618,2022,26.5%【考點4】用數軸上的點表示有理數11．（24-25七年級上·江蘇淮安·期中）把下列各數在數軸上表示出來，并把各數用“<”連接起來：??3，?22，0<<<．【答案】見解析．【分析】本題考查了數軸和有理數的大小比較的應用，注意：在數軸上表示的數，右邊的數總比左邊的數大．首先根據在數軸上表示數的方法，在數軸上表示出所給的各數；然后根據當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大，把這些數由大到小用“<”號連接起來即可．【詳解】解：??3=3，?22把??3，?22，0，如圖，∴??2.512．（24-25七年級上·山東濟南·期中）如圖，點A，B在數軸上，點C表示?3.5，點D表示?2．(1)點A表示_____，點B表示_____；(2)在數軸上表示出點C和點D；(3)用“<”把點A，B，C，D表示的數連接起來．【答案】(1)?1，3(2)見解析(3)?3.5<?1<【分析】本題主要考查了數軸上的點表示有理數，數軸上比較有理數大小，對于（1）觀察數軸可得答案；對于（2），在數軸上畫出即可；對于（3），根據數軸上各點得位置可得答案．【詳解】（1）點A表示?1，點B表示3；故答案為：?1,3；（2）如圖所示，（3）觀察數軸可知?3.5<?1<?213．（24-25七年級上·廣西南寧·期中）用直尺畫數軸時，數軸上的點A，B，C分別代表數字a，b，c，已知AB=6，BC=2，如圖所示，設點p=a+b+c，該軸的原點為O．(1)若點A所表示的數是?1，則點B所表示的數是，點C所表示的數是；(2)若點A，B所表示的數互為相反數，則點C所表示的數是，此時p的值為；(3)若數軸上點C到原點的距離為4，求p的值．【答案】(1)5，7(2)5，5(3)2或?22【分析】本題考查了數軸上兩點間的距離以及用數軸上的點表示有理數，掌握相關結論即可．（1）由數軸可知：點B所表示的數是?1+6=5；根據BC=2，可得點C所表示的數是5+2=7；（2）由題意得點A所表示的數是?3，則點B所表示的數是3，可求出點C所表示的數是3+2=5；即可求解；（3）由題意得點C所表示的數是4或?4，分類討論即可求解；【詳解】（1）解：∵點A所表示的數是?1，AB=6，由數軸可知：點B所表示的數是?1+6=5；∵BC=2，∴點C所表示的數是5+2=7；故答案為：5，7；（2）解：∵點A，B所表示的數互為相反數，AB=6，∴點A所表示的數是?3，則點B所表示的數是3，點C所表示的數是3+2=5；p=a+b+c=5，故答案為：5，5；（3）解：∵數軸上點C到原點的距離為4，∴點C所表示的數是4或?4；當點C所表示的數是4時，點B所表示的數是4?2=2，點A所表示的數是2?6=?4，∴p=?4+2+4=2；當點C所表示的數是?4時，點B所表示的數是?4?2=?6，點A所表示的數是?6?6=?12，∴p=?12?6?4=?22；綜上所述，p的值為2或?22．14．（2024七年級上·全國·專題練習）在課后延時服務中，某數學小組在一張白紙上制作一條數軸，如圖．操作一：(1)折疊紙面，使表示1的點與表示?1的點重合，則表示?2的點與表示___________的點重合．操作二：(2)折疊紙面，使表示?1的點與表示3的點重合，解答以下問題：①表示5的點與D在數軸上表示的點重合，求點D表示的數．②若數軸上A，B兩點之間的距離為9（點A在點B的左側），且A，B兩點折疊后重合，求A，B兩點表示的數．【答案】(1)2(2)①?3，②5.5【分析】本題考查了數軸的簡單應用，解決數軸中的折疊問題，關鍵是找到折痕經過的數軸上表示的點．（1）根據表示1的點與表示?1的點重合，可得其中點為原點，則?2與2重合；（2）根據表示?1的點與表示3的點重合，可得其中點為表示1的點，再根據互相重合的兩個點到中點的距離相等即可求解．【詳解】（1）解：∵表示1的點與表示?1的點重合，∴折痕經過原點，∴表示?2的點與表示2的點重合．故答案為：2；（2）解：∵表示?1的點與表示3的點重合，∴?1+3?(?1)∴折痕經過表示1的點，①1?(5?1)=?3，∴點D表示的數為?3；②A:1?9B:1+9∴A，B兩點表示的數分別為?3.5，5.5．【考點5】數軸上兩點之間的距離15．（24-25七年級上·河北保定·期中）在數軸上點A到原點的距離為6，則點A表示的數是．【答案】±6【分析】本題主要考查了數軸上兩點的距離，分點A在原點左邊和右邊兩種情況求解即可．【詳解】解：∵數軸上的點A到原點的距離是6，∴當點A在原點左邊時，點A表示的數為?6；當點A在原點右邊時，點A表示的數為6；綜上所述，點A表示的數為±6，故答案為：±6．16．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）已知有理數a、b，其中數a在如圖的數軸上的對應點為A，b是負數，且b在數軸上對應的點與原點的距離為3．(1)a=________，b=________．(2)比較b和?2的大?。篲_______．【答案】(1)2，?3(2)b<?2【分析】本題考查了在數軸上表示有理數，化簡絕對值，有理數的大小比較，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）從數軸得出A所對應的數是2，即可作答．（2）兩個負數比較大小，絕對值越大的數反而越小，即可作答．【詳解】（1）解：∵數a在如圖的數軸上的對應點為A，∴a=2，∵b是負數，且b在數軸上對應的點與原點的距離為3．∴b=?3，故答案為：2，?3；（2）解：由（1）得b=?3，∵?2=2,?3=3∴b<?2，故答案為：b<?2．17．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，數軸上標出的所有點中，相鄰任意兩點間的距離都相等，已知點A表示?16，點G表示8．(1)表示原點的是點______，點C表示的數是______；(2)數軸上有兩點M，N，點M到點E的距離為4，點N到點E的距離是3，求點M，N之間的距離．【答案】(1)E，?8(2)1或7【分析】本題考查了利用數軸上的點表示有理數，數軸上的兩點之間的距離，采用數形結合與分類討論的思想是解此題的關鍵．（1）先求出相鄰任意兩點間的距離為4，再結合數軸即可得解（2）分兩種情況：當M、N在點E的同側時，當M、N在點E的異側時，分別畫出圖形，利用數軸上兩點間的距離公式計算即可得解．【詳解】（1）解：8??16÷6=4，故相鄰任意兩點間的距離為∴表示原點的數為E，點C表示的數為?8；（2）解：如圖：當M、N在點E的同側時，MN=4?3=1或MN=?3??4=1如圖，當M、N在點E的異側時，MN=4??3=7或MN=3?綜上所述，點M，N之間的距離為1或7．18．（24-25七年級上·湖南邵陽·期中）已知A，B，P為數軸上三點，我們規(guī)定：點P到點A的距離是點P到點B的距離的k倍，則稱P是A,B的“k倍點”，記作PA,B=k．例如：若點P表示的數為0，點A表示的數為?2，點B表示的數為1，則P是A,B的“2倍點”，記作如圖，A，B，P為數軸上三點，回答下面問題：(1)PB,A(2)若點C在數軸上，且CA,B=1，則點(3)若D是數軸上一點，且DA,B=2，求點【答案】(1)4(2)2(3)3或11．【分析】本題主要考查數軸上兩點之間的距離，理解題中定義和分類討論是解答的關鍵．（1）根據新定義，求得PA、PB即可求解；（2）根據新定義得到點C為AB的中點，進而求解即可；（3）根據新定義分兩種情況：點D在線段AB上和點D在線段AB的延長線上，分別求解即可．【詳解】（1）解：由數軸知，PA=?1??3∴PB=4PA，則PB,A故答案為：4；（2）解：∵點C在數軸上且CA,B∴CA=CB，則點C為AB的中點，∴點C表示的數為?1+52故答案為：2；（3）解：因為D是數軸上一點，且DA,B=2，所以因為點A表示的數為?1，點B表示的數為5，所以AB=5??1當點D在點A，B之間時，點D表示的數為?1+2當點D在點B的右邊時，點D表示的數為?1+2×6=11．所以點D表示的數為3或11．【考點6】根據點在數軸的位置判斷式子正負19．（22-23七年級上·浙江·階段練習）如圖，A、B兩點在數軸上表示的數分別為a、b，下列式子成立的是（填序號）．①a+b=a+b；②a?b=b?a；③(b?1)(a?1)>0【答案】①②④【分析】此題主要考查數軸上的有理數性質，熟練掌握，即可解題．首先根據數軸上的有理數判定?1<a<0<1<b，然后逐一判定即可．【詳解】由題意，得?1<a<0<1<b∴a+b>0，a?b<0，a?1<0，b?1>0，a+1>0①a+b=a+b②a?b=b?a③(b?1)(a?1)<0，錯誤；④(b?1)(a+1)>0，正確；故答案為：①②④．20．（23-24七年級上·浙江湖州·期末）如圖，數軸上A，B兩點所表示的數分別為a，b，下列各式中：①a?1b?1>0；②a?1b+1<0；③a+1b+1【答案】①④/④①【分析】本題考查了數軸上數的大小比較，有理數的乘法法則．根據表示數a，b的點在數軸上的位置可確定a，b與1，?1的大小關系，從而確定a?1，b?1，a+1，b+1的符號，進而根據有理數的乘法法則判斷各式子的符號，即可解答．【詳解】由數軸可得：b<?1，0<a<1，∴a+1>0，a?1<0，b+1<0，b?1<0，∴a?1b?1a?1b+1a+1b+1a+1b?1∴正確的式子是①④．故答案為：①④【考點7】根據點在數軸的位置進行化簡21．（23-24七年級上·山東濟寧·期末）a、b、c在數軸上對應的位置如圖所示，則a?c?a+b【答案】b+c/c+b【分析】本題考查的是利用數軸判斷代數式的符號，整式的加減運算，熟練的化簡絕對值是解本題的關鍵．先判斷a?c<0，a+b<0，再化簡絕對值，合并同類項即可．【詳解】解：由數軸可得a<?1<c<0<b<1∴a?c<0，a+b<0，∴a?c?故答案為：b+c．22．（23-24七年級上·江西撫州·期中）有理數a、b、c在數軸上的位置如圖，化簡：c?b+a?b【答案】?2a【分析】本題考查了整式的加減，解答本題的關鍵是掌握去括號法則和合并同類項法則．根據a、b、c在數軸上的位置，進行絕對值的化簡，然后合并．【詳解】解：∵?2<a<?1<0<b<1<2<c，∴c?b>0,a?b<0,a+c>0，∴c?b=c?b?=c?b?a+b?a?c=?2a．故答案為：?2a．23．（23-24七年級上·遼寧葫蘆島·期末）有理數a，b，c在數軸上的位置如圖所示，以下結論中；①abc>0②c?a<0③a+b+c>0④aa+【答案】③/④【分析】本題考查了數軸上表示數，根據數軸分別判斷a，b，c，c?a的正負，然后逐項排除即可，解題的關鍵是結合數軸判斷絕對值符號里面代數式的正負．【詳解】根據數軸可判斷：a<0，b>0，c>0，c?a>0，則①abc<0，故①②c?a>0，故②③a+b+c>0，故③④aa+故答案為：③④．【考點8】化簡多重符號24．（2024七年級上·黑龍江·專題練習）化簡下列各式的符號，并回答問題：（1）??2（2）+?（3）??（4）??（5）??問：①當+5的前面有2024個負號時，化簡后的結果是________；②當?5的前面有2025個負號時，化簡后的結果是________；由①②你能總結出什么規(guī)律？【答案】（1）2；（2）?15；（3）?4；（4）3.5；（5）5；①5；②【分析】本題考查化簡多重符號，熟練掌握相反數的定義，負號的個數奇負偶正，是解題的關鍵：（1）（2）（3）（4）（5）根據相反數的定義，化簡多重符號即可；①②根據負號的個數，求解即可，根據結果，總結出規(guī)律即可．【詳解】解：（1）??2（2）+?（3）??（4）??（5）??①當+5的前面有2024個負號時，化簡后的結果是5；②當?5的前面有2025個負號時，化簡后的結果是?5；總結：一個數的前面有奇數個負號時，化簡后的結果等于它的相反數；一個數的前面有偶數個負號時，化簡后的結果等于它本身．【考點9】相反數的應用25．（23-24七年級上·寧夏吳忠·期末）若a與b互為相反數，c、d互為倒數，則2019(a+b)?2020cd的值是多少？【答案】?2020【分析】本題考查了相反數，倒數，代數式求值，根據題意得到a+b=0，cd=1，代入式子即可求出結果．【詳解】解：∵a與b互為相反數，c、d互為倒數，∴a+b=0，cd=1，2019(a+b)?2020cd=2019×0?2020×1=?2020．26．（23-24七年級上·陜西漢中·期末）如圖是一個長方體的展開圖，若將這個展開圖折疊成一個長方體后，相對面上的兩個數字互為相反數，求xy?z的值．【答案】?1【分析】本題主要考查了正方體的表面展開圖和求代數式的值，利用正方體及其表面展開圖的特點，根據相對面上的兩個數字互為相反數，即可求出x、y、z的值，從而求代數式的值，解題的關鍵是注意正方體為空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．【詳解】由題意：x與?3互為相反數，x=3y與1互為相反數，y=?1，z與2互為相反數，z=?2,∴xy?z=3×?127．（23-24七年級上·廣西來賓·期中）若a,b互為相反數，c,d互為倒數，m=2（1）填空：a+b=______；cd=______；m=______．（2）求a+b4m【答案】（1）0；1；±2（2）1【分析】（1）根據相反數、倒數、絕對值的意義，即可求解；（2）將（1）中的結果代入代數式，即可求解．【詳解】（1）a,b互為相反數，c,d互為倒數，m=2∴a+b=0,cd=1,m=±2，故答案為：0；1；±2；（2）由（1）得a+b=0,cd=1,m=±2，原式=0+4?3×1=0+4?3=1．【點睛】本題考查了相反數的定義，倒數的定義，絕對值的意義，熟練掌握相反數的定義，倒數的定義，絕對值的意義是解題的關鍵．【考點10】化簡絕對值28．（24-25七年級上·山西大同·期中）已知有理數a、b、c在數軸上的對應點如圖所示，且a>b，則a?b=_____，a+b=_____，a+c=【答案】b?a；?a?b；?a?c；b?c；b?c【分析】本題考查了數軸上點的特點，絕對值的性質，掌握數軸上點的位置確定式子的符號，絕對值的化簡是解題的關鍵．根據數軸上點的位置可得a<c<0<b，a>【詳解】解：根據數軸上有理數a、b、c位置可得a<c<0<b，a>∴a?b<0,a+b<0,a+c<0,b?c>0，∴a?b=b?a，a+b=?a?b，a+c=?a?c∴c?故答案為：b?a；?a?b；?a?c；b?c；b?c．29．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，a,b,c是數軸上A,B,C三個點所對應的實數．(1)化簡：c2(2)計算：aa【答案】(1)3b(2)?1【分析】本題主要考查了數軸上的點，絕對值的性質，平方根和立方根，對于（1），根據數軸上的點的位置判斷a?b>0,c>0,b?c<0,a+b<0，再去掉絕對值和根號，然后計算；對于（2），根據數軸可知a<0,b<0,c>0，再去掉絕對值計算即可．【詳解】（1）由數軸可知，a?b>0,c>0,b?c<0,a+b<0，∴=c?a+b+a+b+b?c=3b；（2）∵a<0,b<0,c>0∴a30．（24-25七年級上·湖南婁底·階段練習）在解決數學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數學思想，下面是運用分類討論的數學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的【探究】【提出問題】兩個有理數a、b滿足a、b同號，求aa【解決問題】解：由a、b同號，可知a、b有兩種可能：①當a，b都正數；②當①若a、b都是正數，即a>0，b>0，有a=a②若a、b都是負數，即a<0，b<0，有a=?a，b=?b，aa+b【探究】請根據上面的解題思路解答下面的問題：(1)兩個有理數a、b滿足a、b異號，求aa(2)已知a=5，b=9，且a<b，求【答案】(1)0(2)14或4【分析】（1）由a、b異號分2種情況討論：①a>0，b<0；②（2）利用絕對值的代數意義，以及a小于b，求出a與b的值，再代入代數式計算即可求解；本題考查了絕對值、有理數的混合運算，熟練掌握相關知識并運用分類討論思想解答是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵a、b異號，∴分2種情況討論：①a>0，b<0，則有a=a∴aa②a<0，b>0，則有a=?a∴aa綜上，aa+b（2）解：∵a=5，b∴a=±5，b=±9，∵a<b，∴a=±5，b=9，當a=?5，b=9時，a+b=?5+9=4；當a=5，b=9時，a+b=5+9=14；綜上，a+b的值為4或14．【考點11】絕對值的幾何意義31．（24-25七年級上·貴州貴陽·期中）數軸是數形結合思想的重要載體，任何一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示，而一個數的絕對值就是這個數所對應的點到原點的距離．(1)對于有理數a，如果a=5，那么a(2)a=a?0，表示有理數例如：?7與6在數軸上對應的點之間的距離可以記作?7?6或6??7那么，對于有理數b：①b?3可以看作b和________在數軸上對應的點之間的距離；②b+8可以看作b和________在數軸上對應的點之間的距離；③若b?3=b+8，請畫出數軸并用數形結合思想求【答案】(1)A，D(2)①3；②?8；③數軸見詳解，b=?【分析】本題考查了絕對值的意義，在數軸上表示有理數以及數軸兩點間的距離，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）化簡絕對值，得a=±5，即可作答．（2）①依題意，b?3可以看作b和3在數軸上對應的點之間的距離；②b+8可以看作b和?8在數軸上對應的點之間的距離；③依題意作出數軸，再運用數形結合思想，即可作答．【詳解】（1）解：∵a=5∴a=±5，∴a可能對應下面數軸上的點A或點D．故答案為：A，D；（2）解：依題意，①b?3可以看作b和3在數軸上對應的點之間的距離；故答案為：3；②b+8=∴b+8可以看作b和?8在數軸上對應的點之間的距離；故答案為：?8；③∵b?3=∴b和3在數軸上對應的點之間的距離等于b和?8在數軸上對應的點之間的距離如圖：此時3?b=b+8，∴b=?532．（24-25七年級上·重慶綦江·期中）認真閱讀下面的材料，完成有關問題：已知數軸上兩個點之間的距離等于這兩個點表示的數的差的絕對值．如圖1，在數軸上點A表示的數為?2，點B表示的數為1，點C表示的數為3，則B，C之間的距離表示為：BC=3?1，A，C之間的距離表示為：AC=3??2=3+2．若點P在數軸上表示的數為x，則P，A之間的距離表示為：PA=x??2利用數軸探究下列問題：(1)x+2+x?1的最小值是_____，此時(2)請按照（1）問的方法思考：x+3+x?1+(3)如圖2，在一條筆直的街道上有E，F(xiàn)，G，H四個小區(qū)，且相鄰兩個小區(qū)之間的距離均為100m，已知E，F(xiàn)，G，H四個小區(qū)各有2個，1個，2個，2個學生在同一所中學的同一班級上學，安全起見，這7個同學約定先在街道上某處匯合，再一起去學校，聰明的他們通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的M處匯合會使所有學生從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和最小，請直接寫出匯合地點M【答案】(1)3，?2≤x≤1(2)5，1(3)1200米【分析】（1）由x+2+x?1=x??2+x?1可知式子x+2+x?1表示x到?2（2）同理（1）解答即可；（3）以其中一點F為原點，一個單位表示200建立數軸，則點E、F、G、H四點分別表示?200，0，200，400，設點M表示的數為x，可得所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和表示為2x+200+2x+2x?200+x?400本題考查了數軸上兩點間距離，絕對值的意義，掌握數軸上兩點間距離公式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵x+2+∴式子x+2+x?1表示x到?2和到可知當x在?2和1之間時，距離之和最小，最小值為1??2=3，此時x的取值范圍故答案為：3，?2≤x≤1；（2）解：∵x+3+∴式子x+3+x?1+x?2表示x分別到?3、可知當x在1的位置時，距離之和最小，最小值為2??3=5，此時x的值是故答案為：5，1；（3）解：如圖，以其中一點F為原點，一個單位表示200建立數軸，則點E、F、G、H四點分別表示?200，0，200，400，設點M表示的數為x，則所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和表示為2x+200當x=0時，即點M與點F重合時，該距離之和最小，最小值為2×200+2×200+400=1200，∴匯合地點M的位置在F點時，所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和的最小，最小值為1200米．33．（24-25七年級上·湖北十堰·期中）【問題背景】我們知道x的幾何意義是：在數軸上數x對應的點與原點的距離．這個結論可以推廣為：點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，則A，B兩點之間的表距離示為a?b，即AB=a?b．例如，在數軸上，表示?4和?2的點的距離為AB=【問題解決】（1）x?2表示數軸上數x與（填數字）之間的距離；（2）若點C為數軸上一點，它所表示的數為x，點D在數軸上表示的數為?2，則CD=（用含x的代數式表示）；【關聯(lián)運用】（3）運用一：若x?2+x+4=10，則x（4）運用二：代數式x?2+x+4的最小值為（5）運用三：代數式x?3?x+4的最大值為（6）運用四：已知動點A、B、C分別從數軸?2、3、4的位置沿數軸正方向同時運動，速度分別為2個單位長度/秒，4個單位長度/秒，8個單位長度/秒．原點為點O，線段OA，OB，OC的中點分別為P，M，N，若【答案】（1）2；（2）x+2；（3）4或?6；（4）6；（5）7；（6）m=2，k=92；或m=2【分析】本題為絕對值動點綜合題，考查了數軸上絕對值的意義，絕對值的化簡，數軸上點的距離運算，數軸上中點的表達，靈活根據動點的運動速度表達出點在數軸上的情況是解題的關鍵．（1）根據絕對值的意義作答即可；（2）根據絕對值的意義作答即可；（3）分類討論x的取值范圍，結合絕對值的化簡，運算分析即可；（4）分類討論x的取值范圍，結合絕對值的化簡，運算分析即可；（5）分類討論x的取值范圍，結合絕對值的化簡，運算分析即可；（6）根據運動情況，用含t的式子表達出各點的值，再根據各點的值表達出PM和MN的長度，套入mPM?MN=k分析出m的值后即可求得k的值．【詳解】（1）解：由題意可得：x?2表示數軸上數x與2之間的距離；故答案為：2；（2）解：CD=x?故答案為：x+2；（3）解：根據題意可得：x?2和x+4表示x與2的距離和x與?4的距離的和，x?2+當x>2時，則：x?2+x+4=10，解得：x=4；當?4≤x≤2時，則?x+2+x+4=6≠10，不符合題意；當x<?4時，則：?x+2?x?4=10，解得：x=?6；故答案為：4或?6；（4）解：x?2+當x>2時，則：x?2+x+4=2x+2>6，當?4≤x≤2時，則?x+2+x+4=6，當x<?4時，則：?x+2?x?4=?2x?2>6，∴?4≤x≤2時，x?2+x+4的最小值為故答案為：6；（5）解：∵x?3?x+4表示x與3的距離和x與∴當x>3時，則：x?3?x+4當?4≤x≤3時，則?x+3?x+4∴?7≤?2x?1≤7，當x<?4時，則?x+3??x?4∴綜上x?3?x+4的最大值為：故答案為：7；（6）解：∵動點A、B、C分別從數軸?2、3、4的位置沿數軸正方向同時運動，速度分別為2個單位長度/秒，4個單位長度/秒，8個單位長度/秒，設時間為t，∴點A可表示為：?2+2t，點B可表示為：3+4t，點C可表示為：4+8t，∴OA的中點P為：?2+2t2=t?1，OB的中點M為：32+2t，OC的中點∵A在B的左邊，B在C的左邊，∴P在M的左邊，M在N的左邊，∴PM=32+2t?(t?1)=t+∴mPM?MN=mt+∴m?2=0時，mPM?MN的值與t無關，即m=2，∴k=mPM?MN=5∴m=2，k=9【考點12】絕對值非負性的應用34．（24-25七年級上·湖南岳陽·期中）若x?32+y+5=0，則x=【答案】3?5【分析】本題考查了非負數的性質，解得關鍵是掌握非負數的性質．根據題意得到：x?3=0，y+5=0，即可求解．【詳解】解：∵x?32∴x?3=0，y+5=0，解得：x=3，y=?5，故答案為：3，?5．35．（24-25七年級上·內蒙古呼和浩特·階段練習）若|x?3|+|y?4|=0，則x=，y=．【答案】34【分析】本題主要考查了絕對值的非負性，根據絕對值的非負性，求出x、y的值即可．【詳解】解：∵|x?3|+|y?4|=0，∴x?3=0，y?4=0，∴x=3，y=4．故答案為：3；4．36．（24-25七年級上·江西贛州·期中）當x=時，?|x?2|+2024的值最大．【答案】2【分析】本題考查了絕對值的意義，根據?|x?2|≤0，若使?|x?2|+2024有最大值，則|x?2|應為0即可．【詳解】解：∵?|x?2|≤0，∴要使得?|x?2|+2024的值最大，則需滿足?|x?2|=0，即x=2．故答案為：2．37．（24-25七年級上·河北廊坊·階段練習）x+2+1有最值，為【答案】小1【分析】本題考查了絕對值的非負性，根據a≥0【詳解】解：∵x+2∴x+2+1≥1∴x+2+1有最小值，為故答案為：小，1．【考點13】比較有理數的大小38．（24-25七年級上·廣東廣州·期中）比較大小：?45?2，??5??4（填“>”“【答案】><【分析】本題考查比較有理數大小，根據負數小于0，0小于正數，兩個負數，絕對值大的反而小，進行比較即可．【詳解】解：∵45∴?4∵??5∴??5故答案為：>，<．39．（2024七年級上·浙江·專題練習）把0.67，35，67.67%，23，0這五個數按照從大到小的順序排列后，最大的數是，最小的數是【答案】67.67%0【分析】本題考查的是有理數大小比較，解決有關小數、百分數、分數之間的大小比較，一般都把分數、百分數化為小數再進行比較，即可得出答案．【詳解】解：35=0.6，67.67%=0.6767，∵0<0.6<0.6∴0<3最大的數是67.67%，最小的數是0．故答案為：67.67%，0．40．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）比較大?。?20052004【答案】?【分析】本題考查了有理數的大小比較，解題的關鍵是先將其拆分成整數加或減一個分數，然后再進行比較．先變形?20052004=?1+(?【詳解】解：∵?20052004=?1+(?1∴?【考點14】與有理數有關的新定義問題41．（24-25七年級上·福建廈門·期中）對于有理數a、b，定義一種新運算“⊙”，規(guī)定a⊙b=(1)計算?3⊙(2)當a、b在數軸上的位置如圖所示時，化簡a⊙b．(3)當a⊙b=a⊙c時，是否一定有b=c或者b=?c？若是，則說明理由；若不是，則舉例說明．【答案】(1)8(2)?2b(3)不一定，舉例見解析【分析】本題主要考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）根據題中的新定義計算即可得到答案；（2）根據a、b在數軸上的位置判斷正負進行化簡即可；（3）根據題意進行舉例即可．【詳解】（1）解：?3⊙（2）解：根據題意可得a+b<0,a?b>0，故a⊙b=a+b（3）解：不一定，a⊙b=a⊙c時，即a+b+當a=6,b=5,c=4時，a⊙b=a⊙c=12此時，等式成立，但b≠c,b≠?c，故不一定有b=c或者b=?c．42．（24-25七年級上·寧夏固原·階段練習）對于有理數a、b，定義一種新運算“⊙”，規(guī)定：a⊙b=a?b.例如：?1⊙3=?1?3【答案】4【分析】本題考查有理數的混合運算，根據新運算“⊙”的定義計算即可．【詳解】解：2⊙(?2)=|2?(?2)|=|4|=443．（24-25七年級上·遼寧大連·階段練習）對于數軸上的兩點P、Q給出如下定義：P、Q兩點到原點O的距離之差的絕對值稱為P，Q兩點的絕對距離，記為POQ．例如，P、Q兩點表示的數如圖1所示，則POQ=(1)A、B兩點表示的數如圖2所示．①A、B兩點絕對距離為______；②若C為數軸上一點（不與點O重合），且3AOB=AOC(2)M、N為數軸上的兩點（點M在點N左邊），且線段MN=2，若MON=1，求出點M【答案】(1)①2；②7或?7(2)?1.5或?0.5【分析】本題主要考查了數軸和絕對值的有關內容，關鍵在于理解絕對距離的定義．（1）①根據絕對距離的定義，直接計算即可；②根據題意，可計算出CO=7，則點C表示的數為7或?7；（2）設點M所表示的數為x，則點N所表示的數為x+2，||MON||=1=|MO?NO|=||x|?|x+2||；注意，如果M、N的符號相同，則||MON||=2不符合題意，因此點M在點O左邊，點N在點O右邊，然后計算求解即可．【詳解】（1）解：①A、B兩點絕對距離為||AOB||=|AO?BO|=|1?3|=2；故答案為：2；②根據題意得，||AOC||=3||AOB||=6，則||AOC||=|AO?CO|=|1?CO|=6，解得CO=7或?5(?5舍去），因此，點C表示的數為7或?7；（2）解：設點M所表示的數為x，則點N所表示的數為x+2，||MON||=1=|MO?NO|=||x|?|x+2||；根據題意，x<0，x+2>0，則|?x?(x+2)|=1，即|?2x?2|=1，解得x=?1.5或?0.5；因此，點M所表示的數為?1.5或?0.5．44．（2024七年級上·北京·專題練習）定義：已知點A、B在數軸上分別表示有理數x、y，A、B兩點到原點的距離之和叫做兩點之間的原點距，記作d，容易知道原點距d=x+y．例如：有理數2，?5(1)若A，B兩點的原點距為3，且點A代表的數為1，則點B代表的數字為___________；(2)若A點代表的數字為xx>0，B點代表的數字為2?x，則AB【答案】(1)±2(2)2或2x?2【分析】本題考查了絕對值以及數軸，解題的關鍵是：讀懂題中給出的原點距的定義，并能利用原點距結合絕對值來解決問題．（1）根據原點距的定義，可得出點B代表的數字的絕對值，從而得出結論；（2）結合原點距的定義，分2?x≥0與2?x<0兩種情況考慮，即可得出結論．【詳解】（1）解：設B點代表的數字為b，∵A，B兩點的原點距為3，且點A代表的數為1，∴有1+b=3∴b=±2（2）當2?x≥0，即0<x≤2時，有：AB之間的原點距=x當2?x<0，即x>2時，有：AB之間的原點距=x故AB之間的原點距為2或2x?2．45．（24-25七年級上·江蘇淮安·期中）定義：若A，B，C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是【A，B】的美好點．若規(guī)定A、B兩點之間的距