【優(yōu)化方案】2021屆高中數(shù)學(xué)人教版高考復(fù)習(xí)知能演練輕松闖關(guān)-第二章第10課時(shí)

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2022·山西臨汾一模)某家具的標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以九折出售(即優(yōu)待10%)，仍可獲利10%(相對(duì)進(jìn)貨價(jià))，則該家具的進(jìn)貨價(jià)是()A．118元 B．105元C．106元 D．108元解析：選D．設(shè)進(jìn)貨價(jià)為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.2．(2022·廣東廣州模擬)在某個(gè)物理試驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：選D．依據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排解A；依據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排解B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．3．(2021·高考陜西卷)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x(單位：m)的取值范圍是()A．[15，20] B．[12，25]C．[10，30] D．[20，30]解析：選C．設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為ym，則由三角形相像知，eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，∴y＝40－x.∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.4．某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，其次個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：選C．依據(jù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型．5.(2022·河南鄭州市第一次質(zhì)量檢測(cè))圖中陰影部分的面積S是h的函數(shù)(0≤h≤H)，則該函數(shù)的大致圖象是()解析：選B．由圖知，隨著h的增大，陰影部分的面積S漸漸減小，且減小得越來(lái)越慢，結(jié)合選項(xiàng)可知選B．6．(2022·河南焦作調(diào)研)某商人購(gòu)貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%.他期望對(duì)貨物定一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的利潤(rùn)，則此商人經(jīng)營(yíng)這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______．解析：設(shè)新價(jià)為b，依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡(jiǎn)得b＝eq\f(5,4)A．∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N*)．答案：y＝eq\f(a,4)x(x∈N*)7．(2022·黑龍江哈爾濱一模)現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水為200g，需將它制成工業(yè)生產(chǎn)上需要的含鹽5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食鹽水，設(shè)需要加入4%的食鹽水xg，則x的取值范圍是________．解析：依據(jù)已知條件設(shè)y＝eq\f(200×7%＋x·4%,200＋x)×100%，令5%＜y＜6%，即(200＋x)·5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)·6%，解得100＜x＜400.答案：(100，400)8．一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量快速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度削減，為了保障交通平安，某地依據(jù)《道路交通平安法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)0.09mg/mL，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過(guò)________小時(shí)才能開(kāi)車．(精確到1小時(shí))解析：設(shè)至少經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能開(kāi)車．由題意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈5.答案：59．(2022·福建寧德調(diào)研)有一種新型的洗衣液，去污速度特殊快．已知每投放k(1≤k≤4，且k∈R)個(gè)單位的洗衣液在確定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝k·f(x)，其中f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－x)－1（0≤x≤4）,7－\f(1,2)x（4＜x≤14）.))若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．依據(jù)閱歷，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時(shí)，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k個(gè)單位的洗衣液，兩分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3(克/升)，求k的值；(2)若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？解：(1)由題意知keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,8－2)－1))＝3，∴k＝1.(2)由于k＝4，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(96,8－x)－4（0≤x≤4）,28－2x（4＜x≤14），))則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由eq\f(96,8－x)－4≥4，解得x≥－4，所以此時(shí)0≤x≤4.當(dāng)4＜x≤14時(shí)，由28－2x≥4，解得x≤12，所以此時(shí)4＜x≤12.綜上可知0≤x≤12，若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)12分鐘．10．(2022·山東德州一模)某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，依據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)猜想，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元．(1)分別寫(xiě)出兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；(2)該家庭有20萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，問(wèn)：怎么支配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益是多少萬(wàn)元？解：(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)分別為f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).由已知得f(1)＝eq\f(1,8)＝k1，g(1)＝eq\f(1,2)＝k2，所以f(x)＝eq\f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq\f(1,2)eq\r(x)(x≥0)．(2)設(shè)投資債券類產(chǎn)品為x萬(wàn)元，則投資股票類產(chǎn)品為(20－x)萬(wàn)元．依題意得y＝f(x)＋g(20－x)＝eq\f(x,8)＋eq\f(1,2)eq\r(20－x)(0≤x≤20)．令t＝eq\r(20－x)(0≤t≤2eq\r(5))，則y＝eq\f(20－t2,8)＋eq\f(1,2)t＝－eq\f(1,8)(t－2)2＋3，所以當(dāng)t＝2，即x＝16時(shí)，收益最大，ymax＝3萬(wàn)元．故投資債券類產(chǎn)品為16萬(wàn)元，投資股票類產(chǎn)品為4萬(wàn)元時(shí)，能使投資獲得最大收益3萬(wàn)元．[力氣提升]1．(2022·廣東江門模擬)我國(guó)為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，除了應(yīng)征稅收外，還征收附加稅．已知某種酒每瓶售價(jià)為70元，不收附加稅時(shí)，每年大約銷售100萬(wàn)瓶；若每銷售100元國(guó)家要征附加稅x元(叫做稅率x%)，則每年銷售量將削減10x萬(wàn)瓶，假如要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅額不少于112萬(wàn)元，則x的最小值為()A．2 B．6C．8 D．10解析：選A．由分析可知，每年此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中所收取的附加稅額為104·(100－10x)·70·eq\f(x,100)，令104·(100－10x)·70·eq\f(x,100)≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值為2.2.某種新藥服用x小時(shí)后血液中的殘留量為y毫克，如圖所示為函數(shù)y＝f(x)的圖象，當(dāng)血液中藥物殘留量不小于240毫克時(shí)，治療有效．設(shè)某人上午8∶00第一次服藥，為保證療效，則其次次服藥最遲的時(shí)間應(yīng)為()A．上午10∶00 B．中午12∶00C．下午4∶00 D．下午6∶00解析：選C．當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，設(shè)y＝k1x，把(4，320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.當(dāng)x∈[4，20]時(shí)，設(shè)y＝k2x＋B．把(4，320)，(20，0)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k2＋b＝320,20k2＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－20,b＝400.))∴y＝400－20x.∴y＝f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(80x，0≤x≤4,400－20x，4＜x≤20.))由y≥240，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4,80x≥240))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＜x≤20,400－20x≥240.))解得3≤x≤4或4＜x≤8，∴3≤x≤8.故其次次服藥最遲應(yīng)在當(dāng)日下午4∶00.3．一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬(wàn)元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時(shí)，年銷售總收入為(33x－x2)萬(wàn)元；當(dāng)x＞20時(shí)，年銷售總收入為260萬(wàn)元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y(萬(wàn)元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______，該工廠的年產(chǎn)量為_(kāi)_______件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大．(年利潤(rùn)＝年銷售總收入－年總投資)解析：當(dāng)x≤20時(shí)，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當(dāng)x＞20時(shí)，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0＜x≤20,160－x，x＞20))(x∈N*)．當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時(shí)，ymax＝156.而當(dāng)x＞20時(shí)，160－x＜140，故x＝16時(shí)取得最大年利潤(rùn)．答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0＜x≤20,160－x，x＞20))(x∈N*)164．某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對(duì)掛號(hào)處的排隊(duì)人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)覺(jué)：當(dāng)還未開(kāi)頭掛號(hào)時(shí)，有N個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候掛號(hào)；開(kāi)頭掛號(hào)后排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號(hào)的速度是每個(gè)窗口每分鐘K個(gè)人，當(dāng)開(kāi)放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)毀滅排隊(duì)現(xiàn)象；若同時(shí)開(kāi)放兩個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)毀滅排隊(duì)現(xiàn)象．依據(jù)以上信息，若要求8分鐘后不毀滅排隊(duì)現(xiàn)象，則需要同時(shí)開(kāi)放的窗口至少應(yīng)有________個(gè)．解析：設(shè)要同時(shí)開(kāi)放x個(gè)窗口才能滿足要求，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(N＋40M＝40K，①,N＋15M＝15K×2，②,N＋8M≤8Kx.③))由①②，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(K＝2.5M,N＝60M，))代入③，得60M＋8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4.故至少同時(shí)開(kāi)放4個(gè)窗口才能滿足要求．答案：45．某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t，市場(chǎng)價(jià)格x(單位：千元)與市場(chǎng)供應(yīng)量p(單位：萬(wàn)件)之間近似滿足關(guān)系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中k，b均為常數(shù)．當(dāng)關(guān)稅稅率t＝75%時(shí)，若市場(chǎng)價(jià)格為5千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量為1萬(wàn)件；若市場(chǎng)價(jià)格為7千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量約2萬(wàn)件．(1)試確定k，b的值；(2)市場(chǎng)需求量q(單位：萬(wàn)件)與市場(chǎng)價(jià)格x近似滿足關(guān)系式：q＝2－x，當(dāng)p＝q時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格，當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過(guò)4千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的最大值．解：(1)由已知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝2（1－0.75k）（5－b）2,2＝2（1－0.75k）（7－b）2))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－0.75k）（5－b）2＝0,（1－0.75k）（7－b）2＝1)).解得b＝5，k＝1.(2)當(dāng)p＝q時(shí)，2(1－t)(x－5)2＝2－x，∴(1－t)(x－5)2＝－x?t＝1＋eq\f(x,（x－5）2)＝1＋eq\f(1,x＋\f(25,x)－10)，而f(x)＝x＋eq\f(25,x)在(0，4]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最小值eq\f(41,4)，故當(dāng)x＝4時(shí)，關(guān)稅稅率的最大值為500%.6．(選做題)某商場(chǎng)估量從2022年1月份起的前x個(gè)月，顧客對(duì)某商品的需求總量p(x)(單位：件)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)(其中x∈N*，且x≤12)，該商品第x個(gè)月的進(jìn)貨單價(jià)q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(150＋2x（x∈N*，且1≤x≤6），,185－\f(160,x)（x∈N*，且7≤x≤12）.))(1)寫(xiě)出2022年第x個(gè)月的需求量f(x)(單位：件)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該商品每件的售價(jià)為185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足市場(chǎng)需求，試問(wèn)該商場(chǎng)2022年第幾個(gè)月銷售該商品的月利潤(rùn)最大，最大月利潤(rùn)為多少元？解：(1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝p(1)＝37，當(dāng)2≤x≤12，且x∈N*時(shí)，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(39－2x)－eq\f(1,2)(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x.驗(yàn)證x＝1符合，故f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)估量該商場(chǎng)第x個(gè)月銷售該商品的月利潤(rùn)為eq\a\vs4\al\co1(g（x）＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－3x2＋40x）·（35－2x）（x∈N*，且1≤x≤6），,（－3x2＋40x）·\f(160,x)（x∈N*，且7≤x≤12），)))即g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\