專題24 與圓有關(guān)的位置關(guān)系的核心知識點(diǎn)精講-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫（解析版）

專題24與圓有關(guān)的位置關(guān)系的核心知識點(diǎn)精講

01

1.探索并了解點(diǎn)和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關(guān)系.

2.知道三角形的內(nèi)心和外心.

3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)，會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線.

考點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑是r,點(diǎn)P到圓心。的距離為d,則有:

d<r<=>點(diǎn)P在。0內(nèi)；

d=r<=>點(diǎn)P在。0上；

d>ro點(diǎn)P在。O外。

考點(diǎn)2：直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離=[>,?=無交點(diǎn)；

2、直線與圓相切=>d=r=>有一個(gè)交點(diǎn);

3、直線與圓相交=d<r=>有兩個(gè)交點(diǎn);

考點(diǎn)3：切線的性質(zhì)與判定定理

1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;

兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：???MN_LOA且過半徑。4外端

???MN是。。的切線

2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。

推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

考點(diǎn)4：切線長定理

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條

切線的夾角。

即：???小、是的兩條切線

/.PA=PB-PO平分NBR4

考點(diǎn)5：三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

O三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

(2)三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)向平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。

注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。

(1)三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。

(2)ZiABC中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則內(nèi)切圓的半徑廠交立二。

2

(3)SAABc=-r(tz4-/2+c),其中a,b,c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。/廠><

(4)弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。A長■不

如圖，BC切。。于點(diǎn)B,AB為弦，NABC叫弦切角，NABOND。

B

V典例引領(lǐng)

【題型1:點(diǎn)、直線與圓位置關(guān)系的判定】

【典例1](2()23?宿遷)在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,點(diǎn)P為圓上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線/的最大距離是()

A.2B.5C.6D.8

、Bl時(shí)格測

1.：2022?六盤水）如圖是“光盤行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（）

*一秒▼的叫力維

方一門公益叫無一

A.相切B.相交C.相離D.平行

2.（2021?浙江）已知平面內(nèi)有0。和點(diǎn)A,B,若。。半徑為2門小線段。A=3o〃，0B=2cn:,則直線4B

與。0的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交

C.相切D.相交或相切

V典例期領(lǐng)

【題型2：切線的判定與性質(zhì)】

【典例2】（2023?鹽城）如圖，在△ABC中，。是4c上（異于點(diǎn)A,C）的一點(diǎn)，。。恰好經(jīng)過點(diǎn)4,B,

4D_LCB于點(diǎn)。，且A8平分/C4O.

（1）判斷8。與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）若人。=1（）,OC=8,求0。的半徑長.

￥即時(shí)檢測

1.（2023?河南）如圖，附與OO相切于點(diǎn)A,PO交0。于點(diǎn)B點(diǎn)C在網(wǎng)上，且CB=C4.若。4=5,

陰=12,則CA的長為_.

ACF

2.（2023?武漢）如圖，在四邊形ABC￡>中,AB//CD.AD1AB,以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC

相

切，切點(diǎn)為E，若善4，則sinC的值是（）

AB

:,

4.3C.1D.近

4

3.（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AB是。。的直徑，E為。。上的一點(diǎn)：點(diǎn)C是毒的中點(diǎn)，連接BC,過點(diǎn)C的直

線垂直于BE的延長線于點(diǎn)D,交BA的延長線于點(diǎn)P.

（1）求證：PC為。。的切線；

（2）若PC=2&80,。8=10,求3E的長.

4.（2023?東營）如圖，在△A8C中，AB=AC,以A8為直徑的。。交BC于點(diǎn)。，DE.LAC,垂足為E.

（1）求證：。石是的切線；

（2）若NC=30°,。。=2勺”，求奇的長.

【題型3：三角形的外接圓和內(nèi)切圓】

【典例3】（2021?畢節(jié)市）如圖，。。是△A8C的外接圓，點(diǎn)￡是△A8C的內(nèi)心，的延長線交8c于點(diǎn)

F，交OO于點(diǎn)。，連接B。，BE.

（1）求證：DB=DE；

（2）若AE=3,DF=4,求。8的長.

A____

1.（2023?攀枝花）已知△A8C的周長為/,其內(nèi)切圓的面積為irJ,則△ABC的面積為（）

A.—rlB.—nrlC.rlD.TT/7

22

2.（2020?濟(jì)寧）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心，NA=60°,CD=2,BD=4.則△QBC的面

積是（）

A.4^3

3.（2023?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步.問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個(gè)

直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多

少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)勾、股，求得弦長.用勾、股、弦相加作為除數(shù)，用勾乘以

股，再乘以2作為被除數(shù)，商即為該直角三角形內(nèi)切圓的直徑，求得該直徑等于一步（注：“步”為

長度單位）.

4.（2023?湖州）如圖，在RtZ\A5c中，NAC8=90°,點(diǎn)。在邊AC上，以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑的半

國與斜邊48相切于點(diǎn)。，交OA于點(diǎn)￡,連結(jié)08.

（1）求證：BD=BC.

（2）已知OC=1,ZA=30°,求48的長.

中基礎(chǔ)過關(guān)

一.選擇題（共8小題）

1.平面內(nèi)，已知。。的半徑是8o〃，線段。尸=7cm,則點(diǎn)P（）

A.在。。外B.在。。上C.在。。內(nèi)D.不能確定

2.己知三角形的周長為12,面積為6,則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（）

A.4B.3C.2D.1

3.如圖，由、FB、。。是的切線，A、B、K是切點(diǎn)，CO分別交線段由、FB于C、。兩點(diǎn)，若/APB

=40°,則NC。。的度數(shù)為（）

A.50B.60°C.70°D.75°

4.已知。0的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,那么直線/與。0的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無法確定

5.已知。0和直線/相交，圓心到直線/的距離為10c/〃，則的半徑可能為（）

A.11cmB.10cmC.9cmD.Scin

6.如圖，已知△ABC中，AB=AC,NABC=70°,點(diǎn)/是△ABC的內(nèi)心，則N8（的度數(shù)為（）

A.40°B.70°C.110°D.140°

7.如圖，/W與OO相切于點(diǎn)從AO的延長線交。。于點(diǎn)C,連接3C.若NA=36°,則NC的度數(shù)為（

A.18°B.27°C.36°D.54°

8.如圖，A4為。。的直徑，CO切。。于點(diǎn)C,交48的延長線于點(diǎn)。，且CO=CQ,則NA的度數(shù)為（

二.填空題（共4小題）

9.如圖，已知乙4。8=30°,M為0/3邊上任意一點(diǎn)，以“為圓心，為半徑作QM,當(dāng)。M=cm

時(shí)，OM與OA相切.

0B

10.如圖，48是。O的直徑，點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。。的切線，交直徑4B的延長線于點(diǎn)若

ZA13C=65°,則NO的度數(shù)是____度.

11.如圖，PA,P8是。。的切線，A,4是切金若NP=50°,則.

?>

12.如圖是一塊直角三角形木料，ZA=90°,AB=3,AC=4,木工師傅要從中裁下一塊圓形木料，則可

裁圓形木料的最大半徑為______.

B

三.解答題(共3小題)

13.如圖，A3是。。的直徑，C是。。上的一點(diǎn),直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)A作直線MN的垂線，垂足為

點(diǎn)。，且AC平分NZMO.

(1)求證：直線MN是。。的切線；

(2)若AO=4,AC=5,求OO的半徑.

0

“DCN

14.如圖，人8為的直徑，C為00上一點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，過C作0。的切線交")的延長線于七,

交A8的延長線于F,連E4.

（1）求證：以與。。相切：

（2）若CE=3,CF=2,求OO的半徑.

15.如圖，已知，8E是。0的直徑，8c切。。于弦DE//OC,連接CO并延長交BE的延長線于點(diǎn)A.

（1）證明：。。是。。的切線；

(2)若AQ=2,AE=\,求CD的長.

一.選擇題（共6小題）

1.如圖，RtZkABC中，NAC8=90°,點(diǎn)。是內(nèi)心，若CO=2,△ABC的周長為16,則△A8C的面積為

)

A.16>/2B.872C.16D.32

2.一個(gè)等邊三角形的邊長為2,則這個(gè)等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為（）

A.-1B.1C.返D.V3

23

3.如圖，已知空間站A與星球8距離為0,信號飛船C在星球8附近沿圓形軌道行駛，B,C之間的距離

為b.數(shù)據(jù)S表示飛船。與空間站A的實(shí)時(shí)距離，那么S的最大值是（）

C.a+bD.a-b

4.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)4（4,3）為圓心、以R為半徑作圓A與％軸相交，且原點(diǎn)。在圓A的外部，

那么半徑R的取值范圍是（）

A.0</?<5B.3</?<4C.3<R<5D.4<R<5

5.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以點(diǎn)（?3,4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.相切D.無法判斷

6.如圖，PA,P8分別與相切于4,8兩點(diǎn)，NC=55°,則NP等于（）

P

A.110°B.70°C.140°D.55°

二.填空題（共4小題）

7.在《九章算術(shù)》卷九中記載了一個(gè)問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“如

圖，今有直角三角形勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納的圓

（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的直徑為步.

8.如圖，PA,P8分別與相切于A,8兩點(diǎn)，NP=60°,PA=6,則。。的半徑為

9.如圖，在等邊三角形人中，BC=2,若OC的半徑為1,P為人B邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作0C的切線P

Q，切點(diǎn)為。則PQ的最小值為

10.如圖，已知的半徑為1,圓心。在拋物線了4乂2-1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。。上

jx軸相切時(shí)，請寫出所有符

合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

三.解答題(共3小題)

11.如圖，△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。為8。上一點(diǎn)，且AO=。。，過A,B,。三點(diǎn)作OO,AE是的

直徑，連接

(1)求證：4c是。0的切線；

(2)SsinC=—,AC=6,求。。的直徑.

5

12.如圖，在RlZXABC中，ZABC=90°,以AB為直徑的。。交4。于點(diǎn)區(qū)點(diǎn)。是8C邊上的中點(diǎn)，連

接DE.

(1)求證：OE與OO相切；

(2)連接。C交QE于點(diǎn)F,若OO的半徑為3,。七=4,求2E的值.

CF

13.如圖，人8是00的直徑，4。交OO于點(diǎn)。，石是BD的中點(diǎn)，連接人后交8c于點(diǎn)八ZACB=2ZEAB.

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）若cosC=2,AC=6,求6尸的長.

至3

E

手4題68知

1.（2020?廣州）如圖，RtZXABC中，/C=90°,八8=5,cosA=—，以點(diǎn)8為圓心，「為半徑作08,當(dāng)

5

r=3時(shí)，08與AC的位置關(guān)系是（）

K

Ch-------------

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

2.（2023?湘西州）如圖，/W為。。的直徑，點(diǎn)P在的延長線上，.PC,夕力與。0相切，切點(diǎn)分別為C,

D.若48=10,PC=12,則sin/。。等于（）

「D.衛(wèi)

.12D1313

512513

3.（2020?泰州）如圖，直線4垂足為"，點(diǎn)P在直線力上,PH=4cm,。為直線人上一動(dòng)點(diǎn)，若以1

cm為半徑的。0與直線。相切，則OP的長為—.

a

P\0）Hb

4.（2021?青海）點(diǎn)尸是嚇圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)p到OO上的點(diǎn)的最小距離是4c,〃，最大距離是9口〃，則的

半徑是.

5.12023?黑龍江）如圖，A5是的直徑，必切。0于點(diǎn)A,尸。交于點(diǎn)C,連接8C,若N8=28°,

6.（2022?黔東南州）如圖,在△A5C中,NA=80°,半徑為3c機(jī)的。0是△48C的內(nèi)切圓，連接08、。

C,則圖中陰影部分的面積是C7ZZ2.（結(jié)果用含n的式子表示）

7.（2023?鄂州）如圖，AB為O。的直徑，E為。0上一點(diǎn)，點(diǎn)C為標(biāo)的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CDJ_4E,交4E

的延長線于點(diǎn)。，延長。。交A3的延長線于點(diǎn)八

（1）求證：CO是。。的切線；

（2）若DE=1,DC=2,求。0的半徑長.

8.（2023?遼寧）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C,E在。。上，/CA8=2NE48,點(diǎn)尸在線段A8的延長線

上，Z/WC.

（1）求證：F尸與OO相切；

（2）若BF=1,sin/AFE=&,求BC的長.

5

c

9.（2023?眉山）如圖，ZXABC中，以AB為直徑的。。交8c于點(diǎn)E,AE平分N8AC,過點(diǎn)E作EDJ_AC

于點(diǎn)。，延長DE交A8的延長線于點(diǎn)P.

（1）求證：PE是。。的切線；

10.（2023?朝陽）如圖，以△ABC的邊AB為直徑作。0,分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)、F在BC上,ZC

DF=NABD.

（1）求證：。尸是。。的切線；

（2）若嬴=而，tanNW=卷，BC=^10,求。0的半徑.

O

A

專題24與圓有關(guān)的位置關(guān)系的核心知識點(diǎn)精講

1.探索并了解點(diǎn)和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關(guān)系.

2.知道三角形的內(nèi)心和外心.

3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質(zhì)，會(huì)過網(wǎng)上一點(diǎn)畫圓的切線.

考點(diǎn)1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑是r,點(diǎn)P到圓心。的距離為d,則有:

d<r=點(diǎn)P在。0內(nèi)；

d=r=點(diǎn)P在。0上；

d>r=點(diǎn)P在。0外。

考點(diǎn)2：直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離=d>r=無交點(diǎn)；

2、直線與圓相切nd=rn有一個(gè)交點(diǎn):

3、直線與圓相交=d<rn有兩個(gè)交點(diǎn);

考點(diǎn)3：切線的性質(zhì)與判定定理

1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;

兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：???MV_LOA且MN過半徑外端

???MV是。。的切線

2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。

推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。

以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

考點(diǎn)4：切線長定理

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線K相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條

切線的夾角。

即：;弘、P3是的兩條切線

:?PA=PB；P0平分/BPA

考點(diǎn)5：三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

（1）三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

（2）三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)向平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。

注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。

（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。

（2）ZiABC中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則內(nèi)切圓的半徑廠空上三。

2

（3）SAABC=r（6/+/?+C）,其中a,b,C是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。/~、

（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。A（\,0A

如圖，BC切。。于點(diǎn)B,AB為弦，NABC叫弦切角，ZABC=ZDO

B

寺典例引領(lǐng)

【題型1:點(diǎn)、直線與圓位置關(guān)系的判定】

【典例1】（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，已知OO的半徑為2,圓心O到直線/的距離為3,點(diǎn)尸為圓上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【解答】解：如圖，由題意得，0A=2,08=3,

當(dāng)點(diǎn)〃在80的延長線與。0的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線/的距離最大，

此時(shí)，點(diǎn)。到直線/的最大距離是3+2=5,

故選:B.

@H）時(shí)捺泅

1.：2022?六盤水）如圖是“光盤行動(dòng)”的宣傳海報(bào)，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（)

次一*t節(jié)妁7*4

A.相切B.相交C.相離D.平行

【答案】B

【解答】解：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系相交，

故選：B.

2.（2021?浙江）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)4,B,若半徑為2切z,線段。4=3cw,OB=2cm,則直線AB

與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交

C.相切D.相交或相切

【答案】。

【解答】解：OO的半徑為2a〃，線段。4=3?！?，OB=2cm,

卻點(diǎn)人到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，

，點(diǎn)A在。。外，點(diǎn)8在。。上，

???直線AB與。。的位置關(guān)系為相交或相切，

故選：D.

【題型2：切線的判定與性質(zhì)】

【典例2】（2023?鹽城）如圖，在AABC中，。是AC上（異于點(diǎn)A,C）的一點(diǎn)，。。恰好經(jīng)過點(diǎn)A,B,

AQ_LCB于點(diǎn)。，且48平分N'CAO.

（1）判斷8c與OO的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）若4C=10,。。=8,求。0的半徑長.

【答案】(1)8。與。0相切，理由見解答；

(2)。。的半徑長為匹.

4

【解答】解：(1)與。。相切,理由如下:

如圖，連接08,

-：0A=0B,

：,Z0AB=Z0BA,

???AB平分NC4O,

：,ZDAB=^CAB,

：.ADAB=Z0BA,

：,AD//0B,

???AQ_LCB,

???OBLCB,

〈OB是。。的半徑，

???8C與00相切；

(2)VZD=90°,AC=10,DC=8,

/MO=>7AC2-DC2=6>

?:ND"OB、

?0B=0C

**ADAC'

?.??OB--I一O-OA??

610

?：OA=OB,

???。吐坦

4

???OO的半徑長為三.

4

2即時(shí)檢測

I.（2023?河南）如圖，氏與OO相切于點(diǎn)4,PO交0。于點(diǎn)B,點(diǎn)。在用上，且CA=C4.若。4=5,

陰=12,則C4的長為.

一3一

【答案】①.

3

???NO4P=90°,

?；OA=OB,OC=OC,CA=CB,

???△OACdOBCCSSS）,

：.ZOAP=ZOBC=90a,

在RtZS/MP中，04=5,辦=12,

???C>P=VOA2+AP2=VB2+122=13,

???△OAC的面積+4OCP的面積=4OAP的面積，

????AC+4OP-8C=4A?4P,

222

：.OA*AC+OP*BC=OA*AP,

???54C+13BC=5X12,

???AC=BC=衛(wèi)，

3

故答案為：也

3

2.（2023?武漢）如圖，在四邊形A8C。中，AB//CD,AD1AB,以。為圓心，A。為半徑的弧恰好與8C

相

切，切點(diǎn)為E,若也'，則sinC的值是（）

CD3

AB

A.2B.返C.2D.近

3344

【答案】B

【解答】解：連接。8、DE,設(shè)zW=/〃，

??迪=工

*CD?

.\CD=3AB=3m,

??F。是O。的半徑，ADLAB.

是O。的切線，

丁。。與8。相切于點(diǎn)E,

；?BCLDE,EB=AB=m,/CBD=/ABD,

YAB//CD,

：.NABD=NCDB,

：,4CBD=/CDB,

:.CB=CD=3m,

CE=CB-EB=3m-m=2m,

???NCED=90°,

???^=VCD2-CE2=V(3m)2-(2m)2=V5/H,

,sinc3=&=返，

CD3m3

故選：B.

3.(2()23?內(nèi)蒙古)如圖，AB是00的直徑，上為。。上的一點(diǎn)：點(diǎn)。是裾的中點(diǎn)，連接8C,過點(diǎn)。的直

線垂直于BE的延長線于點(diǎn)。，交B4的延長線于點(diǎn)P.

(1)求證：PC為。。的切線；

(1)證明：連接oc,

???點(diǎn)C是AE的中點(diǎn),

???ZABC=/DBC,

：.NABC=NOCB,

:./DBC=/OCB,

J.OC//DB,

PD1BD,

：.PD1CO,

???PC為。。的切線:

(2)解：連接人E,設(shè)08=0C=r,

\'PB=\0,

.*.3r+r=IO,即r=區(qū)

2

,?OC//DB,

：.^PCO^APDB,

???1OC=PO,,

BDPB

515

.7_T

??麗F'

??.8。=也

3

???A8是。。的直徑，

：.AELBD,

：,AE//PD,

???BE二BAr

BDBP

.BE__

??叵F

V

，8E=立.

3

4.(2023?東營)如圖，在△4BC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交8c于點(diǎn)。，QE_LAC,垂足為E.

(1)求證：QE是。。的切線；

【答案】(1)證明見解答;

(2)標(biāo)的長是里L(fēng).

3

【解答】(1)證明：連接。。，則。。=。8,

：?NODB=NB,

'：AB=AC,

:?/C=/B,

：,/ODB=4C,

：.OD//AC,

???QE_LAC于點(diǎn)E,

：./ODE=/CED=90°,

???0。是O。的半徑，DEA.OD,

???OE是。。的切線.

(2)解：連接4。，

???A8是OO的直徑，

AZADB=W,

：.AD1BC,

*：AB=AC,CD=2g,

：,BD=CD=2^3,

VZfi=ZC=30°,

???A￡＞-5D?ian300-2雨＞＜逅-2,

3

*：OD=OA,NAOO=2N8=60°,

:.△AOO是等邊三角形，

???OD=AD=2,

*：ZBOD=\SO°-ZAOD=\2Q0,

?1_120nX2_4兀

-I俞一1803~'

工麗的長是業(yè).

3

舟典例引領(lǐng)

【題型3：三角形的外接圓和內(nèi)切圓】

【典例3】(2021?畢節(jié)市)如圖，是△ABC的外接圓，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點(diǎn)

F,交。0于點(diǎn)。，連接BQ,BE.

(1)求證：DB=DE；

(2)若AE=3,DF=4,求的長.

D

【答案】(1)見解析；

(2)6.

【解答】(1)證明：???點(diǎn)E1是A/WC的內(nèi)心，

???AE平分N84C,8E平分NA8C,

/./BAD=ZCADtNABE=NCBE,

又???ZCAD與/CBD所對弧為羽，

/.ZCAD=4CBD=/BAD.

???/BED=/ABE+NBAD,ZDBE=ZCBE+ZCBD,

：.NBED=NDBE,

故DB=DE.

(2)解：VZD=ZD,/DBF=/CAD=/BAD,

:.△ABDsgFD,

ABD,^AD@t

FDBD

VDF=4,AE=3,設(shè)

由(1)可得。8=DE=4+x,

則①式化為史三上良，

44+x

解得：*=2,4=-6（不符題意，舍去）,

則O8=4+x=4+2=6.

1.（2023?攀枝花）已知△A8C的周長為/,其內(nèi)切圓的面積為nJ,則△43C的面積為（）

A.—rlB.—mlC.rlD.irr/

22

【答案】A

【解答】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓。與AABC相切于點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)尸，連接OA,OB,OC,OE,OF,OD,

切。。于E,

AOELAB,OE=r,

：.SMOB=—AHXOE=X\BXr,

22

同理：S^BOC=—BCXr,

2

2

A5=5A4OB+5A^C+5AAOC=X1BXH-A^CXr+X\CXr=A(AB+BC+AC)Xr,

2222

'：l=AB+BC+AC,

：.S=^lr,

2

故選：A.

2.(2020?濟(jì)寧)如圖，在△ABC中，點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心，ZA=60°,CD=2,BQ=4.貝］△QBC的面

積是()

【答案】B

【解答】解：過點(diǎn)8作8H_LCO的延長線于點(diǎn)H.

二點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心,NA=60°,

：.ZDBC+ZDCB=^-(ZABC+ZACB)=-1(180°-NA),

22

AZBDC=90°+AZA=90°+2X60°=120°,

22

則N5O”=60°,

VBD=4,

：.DH=2,

?:CD=2,

的面積=上?！?gt;?“〃=工X2X2^3=2^3?

故選：B.

3.（2023?鎮(zhèn)江）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股-I五步.問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個(gè)

直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多

少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)勾、股，求得弦長.用勾、股、弦相加作為除數(shù)，用勾乘以

股，再乘以2作為被除數(shù)，商即為該直角三角形內(nèi)切圓的直徑，求得該直徑等于6步（注：“步”為

勾8

【答案】6.

【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為482+152=17,

則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑/=電15二17.=3（步），即直徑為6步，

2

故答案為：6.

4.（2023?湖州）如圖，在中，NACB=9（T,點(diǎn)。在邊AC上，以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑的半

圓與斜邊AB相切于點(diǎn)Q,交OA于點(diǎn)E,連結(jié)08.

（1）求證：BD=BC.

（2）273.

【解答】（1）證明如圖，連結(jié)O。,

???半圓。與A8相切于點(diǎn)D,

???OO_LAB,

???NACB=90°,

；?NODB=NOCB=90°,

在RtAODB和RtAOCB中,

OB=OB,

'OD=OC,

ARtAOD^RtAOCB(HL),

:?BD=BC；

(2)解如圖，???N4=30°，N4CB=90°,

/.ZABC=60°,

VRtAOD^RtAOCB,

AZCBO=ZDBO=yZABC=300*

乙

在RtZ\OBC中，

???OC=\,

???BC=7^^

在RlZVlBC中，

一.選擇題（共8小題）

1.平面內(nèi)，已知的半徑是8C〃J,線段O〃=7c〃J,則點(diǎn)，（）

A.在O。外B.在。0上C.在。0內(nèi)D.不能確定

【答案】C

【解答】解：???平面內(nèi)，已知0。的半徑廠是8c、〃?，線段OP=7c〃?，

:?r>OP,

???點(diǎn)尸在。。內(nèi).

故選：C.

2.已知三角形的周長為12,面積為6,則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解答】解：設(shè)這個(gè)三角形的內(nèi)切圓半徑是廣，

???三角形周長為12,面積為6,

??.JLX⑵=6,

2

解得r=1.

故選:D.

3.如圖，PA.PB、CO是。。的切線，A、B、E是切點(diǎn)，CO分別交線段以、PB于C、。兩點(diǎn)，若NAPB

=40°,則NCO。的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.75°

【答案】C

【解答】解：由題意得，連接。A、OC、OE、OD、OB,所得圖形如下：

由切線性質(zhì)得，OA1PA,OBLPB,OELCD,DB=DE,AC=CE,

?：AO=OE=OB,

???△AOC絲△EOC(SAS),△EOD/ABOD(SAS),

；?ZAOC=ZEOC,NE()D=NBOD,

???ZCOD=^ZAOB,

2

VZAP^=40°,

???NAO8=140°,

：.ZCOD=JO°.

故選：C.

4.已知OO的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,那么直線/與OO的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無法確定

【答案】A

【解答】解：???。0的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,

卻圓心0到直線/的距離大于圓的半徑，

???直線/和。0相離，

???直線/與。。沒有公共點(diǎn).

故選：A.

5.已知。0和直線/相交，圓心到直線/的距離為10c/〃，則0。的半徑可能為（）

A.11anB.1OcmC.9cmD.8c7〃

【答案】A

【解答】解：：。。和直線/杓交

：,d<r

又?:圓心到直線/的距離為10cm

r>1Ocm

故選:A.

6.如圖，已知△48。中，AB=AC,N48C=70°,點(diǎn)/是△A8C的內(nèi)心，則N8七的度數(shù)為（）

A.40°B.70°C.110°D.140°

【答案】C

【解答】解：VAB=ACfNA8C=70°,

???點(diǎn)/是AA8c的內(nèi)心，

???N/8C=1NA4C=35°,Z/CB=AzACB=35°,

22

.\Z/BC+Z/C5=70°,

AZB/C=180°-(Z/BC+Z7CB)=110°.

故選：C.

7.如圖，AB與OO相切于點(diǎn)B,AO的延長線交。0于點(diǎn)C,連接BC.若N4=36°,則NC的度數(shù)為（

o

AB

A.18°B.27°C.36°D.54°

【答案】B

【解答】解：連接08,

:AB切圓。于5,

:.OBLAB,

.??/O8A=90°,

VZA=36°,

???NAO8=180°?NA?NO朋=54°,

???NC和NA08是同弧所對的圓周角和圓心角,

???NC=2NAO4=27”.

2

8.如圖，A8為。。的直徑，CO切。。于點(diǎn)C,交A8的延長線于點(diǎn)。，且CO=CQ,則NA的度數(shù)為（

C.22.5°D.37.5°

【答案】C

【解答】解：TC。切O。于C,

???OCLCD,

AZOCD=90°，

VCO=CD,

???NCOO=/。=45°,

?：OA=CO,

???NQ4C=N0CA,

VZCOD=ZOAC+ZOCA=45°,

-22.5°.

二.填空題(共4小題)

9.如圖，已知N4OB=30°，”為05邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2c?利為半徑作0M,當(dāng)OM=4c

加時(shí)，OM與04相切.

【解答】解：作用〃_LO4于點(diǎn)〃，如圖,

當(dāng)MH=2cm時(shí)，0M與0A相切，

因?yàn)镹O=30°,

所以此時(shí)OM=2MH=4cm,

0M=4cm時(shí)，OM與0A相切.

10.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。。的切線，交直徑AB的延長線于點(diǎn)。，若

NABC=65°,則N。的度數(shù)是4()度.

AQD

【答案】40.

【解答】解:連接。C,如圖,

???CO為。。的切線，

AOCICD,

???NOCQ=90°,

?；OC=OB,

：./OCB=NOBC=65°

:,NBCD=/OCD-/OCB=90°-65°=25°,

?：ZOBC=ZBCD+ZD

AZD=65°-25°=40°.

故答案為：40.

11.如圖，PA,尸8是。。的切線，A,8是切點(diǎn).若/尸=50°,則乙4。8=130°

【答案】130°.

【解答】解：:以，P8是。。的切線，A,8是切點(diǎn)，

OBLPB,

???NQ4P=NO8P=90°,

VZOAP+ZAOB+ZOBP+ZP=3()0o,

???NAO8=360°-90°-90°-50°=130°.

故答案為130".

12.如圖是一塊直角三角形木料，NA=90°,AB=3,AC=4,木工師傅要從中裁下一塊圓形木料，則可

裁圓形木料的最大半徑為1.

C

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：VZA=90°,AB=3,AC=4,

J^C=VAB2+AC2=VS2+42=5，

???圓形木料的最大半徑=出生殳=I,

2

故答案為：I.

三.解答題(共3小題)

13.如圖，48是的直徑，。是。。上的一點(diǎn)，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)A作直線MN的垂線，垂足為

點(diǎn)。，且AC平分NBA。.

(1)求證：直線MN是。。的切線；

(2)若AO=4,AC=5,求OO的半徑.

MDCN

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(I)連接OC，

???Q4=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

*：ZCAB=ZDAC,

：.ZDAC=ZOCA,

：.OC//AD,

*：ADA-MN,

???OCLMN,

???oc為半徑，

???MN是OO切線；

(2)TAB是OO的直徑,

???NAC8=90",

VZACB=ZADC=90°,

VZDAC=ZBAC,

:.

.AD=AC

**ACAB>

?4-5

??,

5AB

.?.48=至，

4

:.GO半徑是JLX至=空.

248

14.如圖，A8為。0的直徑，C為。0上一點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，過C作OO的切線交0。的延長線于E,

交48的延長線于F,連E4.

(1)求證：E4與。。相切；

(2)若CE=3,CF=2,求。。的半徑.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：如圖，連接0C,

???石廠為切線，

，N0CE=90°,

???￡＞為AC中點(diǎn),

：,EC=EA,

：.ZECA=ZEAC,

\*OA=OC,

???/OCA=NOAC,

???NO4C+NE4C=NOCA+NEC4=90°,

1PZEAO=90°,

:.FA為OO的切線；

(2)解:連接8C,

??YB為直徑，

AZBCA=90u,

???NC48+NC8A=90°,

???E尸為切線，

???NBC"NBCO=90°，且NBCO=NCBA,

：.ZBCF=ZCAF,

:.△BCFs^CAF,

?

?*'CF'二BF■，

AFCF

由（1）知E4為o。切線，則EA=EC=3,EF=EC+FC=5,

在廠中，可求得A尸=4,

??.29，解得即=1,

42

：.AB=AF-BF=3,

???0。的半徑為3.

2

15.如圖，已知，8E是。。的直徑，8c切。。于弦DE〃OC,連接C。并延長交BE的延長線于點(diǎn)4.

(1)證明：CD是。。的切線；

(2)若AQ=2,AE=\,求。力的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：連接0Q，

■:ED//OC,

工ZCOB=/DEO,4coD=/EDO,

?：OD=OE,

NDEO=NE。。，

：.ZCOB=ZCOD,

在和△OCO中，

OB=OD

,ZC0B=ZC0D

OC=OC

/.△BCO^ADCO(SAS),

:./CDO=NCBO,

??,8C為圓。的切線,

???8C_LOB,即NC8O=9(T,

???NCQO=9()",

乂：。。為圓的半徑，

，C。為圓。的切線；

(2)解：〈CD,8c分別切GO于。，B,

：.CD