【名師一號】2022屆高三數(shù)學一輪總復習基礎練習：第七章-立體幾何7-1-

第一節(jié)空間幾何體的結構特征及三視圖和直觀圖時間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．(2022·陜西卷)將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側面積是()A．4π B．3πC．2π D．π解析依題意，知所得幾何體是一個圓柱，且其底面半徑為1，母線長也為1，因此其側面積為2π×1×1＝2π，故選C.答案C2．若一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個面中，直角三角形的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析觀看三視圖，可得直觀圖如圖所示．該三棱錐A—BCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，側面ABC，ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，側面ACD也是直角三角形，故選D.答案D3．已知一三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()解析由已知條件得直觀圖如圖所示，正視圖是直角三角形，中間的線是看不見的線PA形成的投影，應為虛線．故選C.答案C4．如圖，水平放置的三棱柱的側棱長和底邊長均為2，且側棱AA1⊥平面A1B1C1A．4 B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D.eq\r(3)解析依題意得，該幾何體的側視圖是邊長分別為2和eq\r(3)的矩形，因此其側視圖的面積為2eq\r(3)，選B.答案B5．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC將矩形ABCD折疊，其正視圖和俯視圖如圖所示，此時連接頂點B、D形成三棱錐B—ACD，則其側視圖的面積為()A.eq\f(12,5) B.eq\f(12,25)C.eq\f(72,25) D.eq\f(144,25)解析由題意知正視圖的高為eq\f(12,5)，即為側視圖的高，俯視圖的高為eq\f(12,5)，即為側視圖的底面邊長，結合側視圖可知側視圖的面積是S＝eq\f(1,2)×eq\f(12,5)×eq\f(12,5)＝eq\f(72,25).答案C6．(2022·四川卷)某三棱錐的側視圖、俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是(錐體體積公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面面積，h為高)()A．3 B．2C.eq\r(3) D．1解析由俯視圖知該三棱錐的底面積S底＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，由側視圖知該三棱錐的高h＝eq\r(3).所以V三棱錐＝eq\f(1,3)S底×h＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故選D.答案D二、填空題7．在直觀圖(如圖所示)中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2cm，則在xOy坐標系中，四邊形ABCO為______，面積為______cm2.解析由斜二測畫法的特點，知該平面圖形的直觀圖的原圖，即在xOy坐標系中，四邊形ABCO是一個長為4cm，寬為2cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8cm2.答案矩形88．用半徑為r的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是________．解析由題意可知卷成的圓錐的母線長為r，設卷成的圓錐的底面半徑為r′，則2πr′＝πr，所以r′＝eq\f(1,2)r，所以圓錐的高h＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r))2)＝eq\f(\r(3),2)r.答案eq\f(\r(3),2)r9．(2022·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為________．解析由題中三視圖可知，三棱錐的直觀圖如圖所示，其中PA⊥平面ABC，M為AC的中點，且BM⊥AC.故該三棱錐的最長棱為PC.在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)三、解答題10．一個幾何體的三視圖及其相關數(shù)據(jù)如圖所示，求這個幾何體的表面積．解這個幾何體是一個圓臺被軸截面割出來的一半．依據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為eq\r(3)，母線長為2，幾何體的表面積是兩個半圓的面積、圓臺側面積的一半和軸截面的面積之和，故這個幾何體的表面積為S＝eq\f(1,2)π×12＋eq\f(1,2)π×22＋eq\f(1,2)π×(1＋2)×2＋eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝eq\f(11π,2)＋3eq\r(3).11．已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其內(nèi)部有一個高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側面積；(2)x為何值時，圓柱的側面積最大？解(1)作圓錐的軸截面，如圖所示．由于eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，所以r＝R－eq\f(R,H)x.所以S圓柱側＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2(0<x<H)．(2)由于－eq\f(2πR,H)<0，所以當x＝eq\f(2πR,\f(4πR,H))＝eq\f(H,2)時，S圓柱側最大．故當x＝eq\f(H,2)，即圓柱的高為圓錐高的一半時，圓柱的側面積最大．eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．一個幾何體的三視圖外形都相同、大小均相等，那么這個幾何體不行以是()A．球 B．三棱錐C．正方體 D．圓柱解析球的正視圖、側視圖和俯視圖均為圓，且外形相同、大小相等；三棱錐的正視圖、側視圖和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖、側視圖和俯視圖可以為外形相同、大小相等的正方形；圓柱的正視圖、側視圖均為矩形，俯視圖為圓．答案D2．如圖所示，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD—A1B1C1D1的面ADDA1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是________(填序號)．解析由正投影的定義，四邊形BFD1E在面AA1D1D與面BB1C1C上的正投影是圖③；其在面ABB1A1與面DCC1D1上的正投影是圖②；其在面ABCD與面A1B1C1D1答案②③3．(2022·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)空間中任意放置的棱長為2的正四周體ABCD.下列命題正確的是________．(寫出全部正確的命題的編號)①正四周體ABCD的正視圖面積可能是eq\r(2)；②正四周體ABCD的正視圖面積可能是eq\f(2\r(6),3)；③正四周體ABCD的正視圖面積可能是eq\r(3)；④正四周體ABCD的正視圖面積可能是2；⑤正四周體ABCD的正視圖面積可能是4.解析對于四周體ABCD，如圖：當光線垂直于底面BCD時，正視圖為△BCD，其面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，③正確；當光線平行于底面BCD，沿CO方向時，正視圖為以BD為底，正四周體的高AO為高的三角形，則其面積為eq\f(1,2)×2×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(2\r(6),3)，②正確；當光線平行于底面BCD，沿CD方向時，正視圖為圖中△ABE，則其面積為eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(\r(3),3)))2)＝eq\r(2)，①正確；將四周體放入正方體中，如上右圖，光線垂直于正方體正對我們的面時，正視圖是正方形，其面積為eq\r(2)×eq\r(2)＝2，并且此時正視圖面積最大，故④正確，⑤不正確．答案①②③④4．(2021·廣東中山階段考試)如圖，在三棱柱P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側棱PC上一點，它的正(主)視圖和側(左)視圖如圖所示．(1)證明：AD⊥平面PBC；(2)在∠ACB的平分線上確定一點Q，使得PQ∥平面ABD，并求此時PQ的長．解(1)證明：由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而AD?平面PAC，所以BC⊥AD.由三視圖得，在△PAC中，PA＝AC＝4，D為PC中點，所以AD⊥PC，又BC⊥AD，所以AD⊥平面P