【優(yōu)化方案】2021屆高中數(shù)學(xué)人教版高考復(fù)習(xí)知能演練輕松闖關(guān)-第三章第5課時

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．函數(shù)y＝eq\r(cosx－\f(1,2))的定義域為()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))，k∈ZC．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))，k∈ZD．R解析：選C．∵cosx－eq\f(1,2)≥0，得cosx≥eq\f(1,2)，∴2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z.2．函數(shù)y＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－1是()A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)D．最小正周期為eq\f(π,2)的偶函數(shù)解析：選A．y＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))－1＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝sin2x為奇函數(shù)，T＝eq\f(2π,2)＝π.3．(2022·高考山東卷)函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值與最小值之和為()A．2－eq\r(3) B．0C．－1 D．－1－eq\r(3)解析：選A．∵0≤x≤9，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1)).∴y∈[－eq\r(3)，2]，∴ymax＋ymin＝2－eq\r(3).4．(2022·山東聊城期末測試)已知函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω＞0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值是－2，則ω的最小值等于()A．eq\f(2,3) B．eq\f(3,2)C．2 D．3解析：選B．∵ω＞0，－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(ωπ,3)≤ωx≤eq\f(ωπ,4).由已知條件知－eq\f(ωπ,3)≤－eq\f(π,2)，∴ω≥eq\f(3,2).5．(2022·安徽黃山聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))，且其圖象關(guān)于直線x＝0對稱，則()A．y＝f(x)的最小正周期為π，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為增函數(shù)B．y＝f(x)的最小正周期為π，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為減函數(shù)C．y＝f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上為增函數(shù)D．y＝f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上為減函數(shù)解析：選B．f(x)＝eq\r(3)cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))，∵其圖象關(guān)于x＝0對稱，∴f(x)是偶函數(shù)，∴eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋\f(π,6)))＝2cos2x.易知f(x)的最小正周期為π，在(0，eq\f(π,2))上為減函數(shù)．6．函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)減區(qū)間為________．解析：由y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))得2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)(k∈Z)．所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)7．比較大?。簊ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))________sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).解析：由于y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上為增函數(shù)且－eq\f(π,18)＞－eq\f(π,10)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).答案：＞8．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))的值域為________，并且取最大值時x的值為________．解析：∵0≤x≤eq\f(π,3)，∴eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，∴0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴－1≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1≤1，即值域為[－1，1]，且當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1，即x＝eq\f(π,12)時，y取最大值．答案：[－1，1]eq\f(π,12)9．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x.(1)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2)求f(x)圖象上與原點最近的對稱中心的坐標(biāo)．解：f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(1)由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)得，kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)．∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)．(2)由sin(2x＋eq\f(π,6))＝0，得2x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z)．∴f(x)圖象上與原點最近的對稱中心坐標(biāo)是(－eq\f(π,12)，0)．10．(2021·高考天津卷)已知函數(shù)f(x)＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋6sinxcosx－2cos2x＋1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝－eq\r(2)sin2x·coseq\f(π,4)－eq\r(2)cos2x·sineq\f(π,4)＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－2cos2x＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由于f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,8)))上是增函數(shù)，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(π,2)))上是減函數(shù)．又f(0)＝－2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝2eq\r(2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2，故函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值為2eq\r(2)，最小值為－2.[力氣提升]1．已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝－2，則f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(9π,8)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)，\f(π,8))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(5π,8)))解析：選C．由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝－2，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋φ))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝－2，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1.由于|φ|＜π，所以φ＝eq\f(π,4).由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(3π,8)≤x≤kπ＋eq\f(π,8)，k∈Z.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)－eq\r(3)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，且其圖象相鄰的兩條對稱軸為x1＝0，x2＝eq\f(π,2)，則()A．y＝f(x)的最小正周期為π，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為增函數(shù)B．y＝f(x)的最小正周期為π，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為減函數(shù)C．y＝f(x)的最小正周期為2π，且在(0，π)上為增函數(shù)D．y＝f(x)的最小正周期為2π，且在(0，π)上為減函數(shù)解析：選B．由已知條件得f(x)＝2cos(ωx＋φ＋eq\f(π,3))，由題意得eq\f(T,2)＝eq\f(π,2)，∴T＝π.∵T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝2.又∵x＝0為f(x)的對稱軸，∴f(0)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(π,3)))＝2或－2，又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,3)，此時f(x)＝2cos2x，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為減函數(shù)．3．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象與x軸交點的坐標(biāo)是________．解析：由2x＋eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)得，x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,8)(k∈Z)．∴函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象與x軸交點的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))(k∈Z)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))(k∈Z)4．(2022·內(nèi)蒙古包頭一模)給出下列命題：①函數(shù)f(x)＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，0))；②已知函數(shù)f(x)＝min{sinx，cosx}，則f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))；③若α、β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ.其中全部真命題的序號是________．解析：對于①，令x＝－eq\f(5,12)π，則2x＋eq\f(π,3)＝－eq\f(5,6)π＋eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)，有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)π))＝0，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)π，0))為f(x)的一個對稱中心，①為真命題；對于②，結(jié)合圖象知f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，②為真命題；對于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin390°＝eq\f(1,2)＜sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故③為假命題，所以真命題為①②.答案：①②5．(2021·高考湖南卷) 已知函數(shù)f(x)＝sin(x－eq\f(π,6))＋cos(x－eq\f(π,3))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解：f(x)＝sin(x－eq\f(π,6))＋cos(x－eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sinx，g(x)＝2sin2eq\f(x,2)＝1－cosx.(1)由f(α)＝eq\f(3\r(3),5)得sinα＝eq\f(3,5).又α是第一象限角，所以cosα>0.從而g(α)＝1－cosα＝1－eq\r(1－sin2α)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)f(x)≥g(x)等價于eq\r(3)sinx≥1－cosx，即eq\r(3)sinx＋cosx≥1，于是sin(x＋eq\f(π,6))≥eq\f(1,2)，從而2kπ＋eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為{x|2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．6．(選做題)(2022·吉林通化質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\