【2021高考復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)配套黃金練習(xí)：4.6

第四章4.6第6課時(shí)高考數(shù)學(xué)（理）黃金配套練習(xí)一、選擇題1．下列函數(shù)中，周期為π，且在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上為減函數(shù)的是()A．y＝sin(2x＋eq\f(π,2))B．y＝cos(2x＋eq\f(π,2))C．y＝sin(x＋eq\f(π,2))D．y＝cos(x＋eq\f(π,2))答案A解析對(duì)于選項(xiàng)A，留意到y(tǒng)＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x的周期為π，且在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上是減函數(shù)，故選A.2．函數(shù)y＝2cos2x的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A．(－eq\f(π,4)，eq\f(π,4))B．(0，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,4)，eq\f(3π,4))D．(eq\f(π,2)，π)答案D解析y＝2cos2x＝1＋cos2x，∴遞增區(qū)間為2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π∴kπ＋eq\f(π,2)≤x≤kπ＋π∴k＝0時(shí)，eq\f(π,2)≤x≤π.選D.3．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝eq\f(π,4)處取得最小值，則()A．f(x＋eq\f(π,4))確定是偶函數(shù)B．f(x＋eq\f(π,4))確定是奇函數(shù)C．f(x－eq\f(π,4))確定是偶函數(shù)D．f(x－eq\f(π,4))確定是奇函數(shù)答案A解析f(x＋eq\f(π,4))是f(x)向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位得到的f(x)圖象關(guān)于x＝eq\f(π,4)對(duì)稱，則f(x＋eq\f(π,4))圖象關(guān)于x＝0對(duì)稱，故f(x＋eq\f(π,4))為偶函數(shù)．4．定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當(dāng)x∈[－eq\f(π,2)，0)時(shí)，f(x)＝sinx，則f(－eq\f(5π,3))的值為()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)答案D解析據(jù)題意，由函數(shù)的周期性及奇偶性知：f(－eq\f(5π,3))＝f(－eq\f(5π,3)＋2π)＝f(eq\f(π,3))＝－f(－eq\f(π,3))＝－sin(－eq\f(π,3))＝eq\f(\r(3),2).5．函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是()答案D分析方法一由函數(shù)y＝－xcosx是奇函數(shù)，知圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又由當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，cosx≥0，有－xcosx≤0.當(dāng)x∈[－eq\f(π,2)，0]時(shí)，cosx≥0，有－xcosx≥0.∴應(yīng)選D.方法二特殊值法，由f(±eq\f(π,2))＝0，∵f(eq\f(π,4))＝－eq\f(π,4)·coseq\f(π,4)<0，由圖象可排解A、B，又∵f(－eq\f(π,4))＝eq\f(π,4)·coseq\f(π,4)>0，排解C，故選D.6．關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝sin(πx＋φ)有以下命題：①?φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；②?φ∈R，f(x＋1)＝f(x)；③?φ∈R，f(x)都不是偶函數(shù)；④?φ∈R，使f(x)是奇函數(shù)．其中假命題的序號(hào)是()A．①③B．①④C．②④D．②③答案A解析對(duì)命題①，取φ＝π時(shí)，f(x＋2π)≠f(x)，命題①錯(cuò)誤；如取φ＝2π，則f(x＋1)＝f(x)，命題②正確；對(duì)于命題③，φ＝0時(shí)f(x)＝f(－x)，則命題③錯(cuò)誤；如取φ＝π，則f(x)＝sin(πx＋π)＝－sinπx，命題④正確．二、填空題7．設(shè)函數(shù)y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象關(guān)于點(diǎn)P(x0,0)成中心對(duì)稱，若x0∈[－eq\f(π,2)，0]則x0＝______答案－eq\f(π,6)解析由于圖象的對(duì)稱中心是其與x軸的交點(diǎn)，所以由y＝2sin(2x＋eq\f(π,3))＝0，x0∈[－eq\f(π,2)，0]，得x0＝－eq\f(π,6).8．函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．答案π解析f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))－2eq\r(2)sin2x＝eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x－2eq\r(2)×eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)＝sin(2x＋eq\f(π,4))－eq\r(2)，故該函數(shù)的最小正周期為eq\f(2π,2)＝π.9．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(eq\r(3)x＋φ)(0<φ<π)，若函數(shù)f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，則φ＝________.答案eq\f(2π,3)解析由題意得f′(x)＝eq\r(3)cos(eq\r(3)x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝2sin(eq\r(3)x＋φ＋eq\f(π,3))是奇函數(shù)，因此φ＋eq\f(π,3)＝kπ(其中k∈Z)，φ＝kπ－eq\f(π,3)，又0<φ<π，所以φ＝eq\f(2π,3).10．若函數(shù)y＝f(x)同時(shí)具有下列三共性質(zhì)：(1)最小正周期為π；(2)圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對(duì)稱；(3)在區(qū)間[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]上是增函數(shù)，則y＝f(x)的解析式可以是______．答案y＝cos(2x－eq\f(2,3)π)．11．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx－eq\f(π,6))(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同．若x∈[0，eq\f(π,2)]，則f(x)的取值范圍是________．答案[－eq\f(2,3)，3]解析∵f(x)與g(x)的圖象的對(duì)稱軸完全相同，所以f(x)與g(x)的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－eq\f(π,6))，∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sin(2x－eq\f(π,6))≤1，∴－eq\f(3,2)≤3sin(2x－eq\f(π,6))≤3，即f(x)的取值范圍為[－eq\f(3,2)，3]．12．將函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(eq\f(π,2)<φ<π)的圖象，僅向右平移eq\f(4π,3)，或僅向左平移eq\f(2π,3)，所得到的函數(shù)圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則ω＝________.答案eq\f(1,2)解析留意到函數(shù)的對(duì)稱軸之間距離是函數(shù)周期的一半，即有eq\f(T,2)＝eq\f(4π,3)－(－eq\f(2π,3))＝2π，T＝4π，即eq\f(2π,ω)＝4π，ω＝eq\f(1,2).三、解答題13．已知函數(shù)f(x)＝2cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx－1(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的周期、對(duì)稱軸方程；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間．解析f(x)＝2cos2x＋2eq\r(3)sinxcosx－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋eq\f(π,6))．(1)f(x)的周期T＝π，函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kx－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)．14．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)設(shè)x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，求f(x)的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．解析(1)∵f(x)＝－eq\r(3)(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝－eq\r(3)cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋eq\f(π,3))，∴f(x)的最小正周期為π.(2)∵x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,3)]，∴－eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，∴－eq\f(\r(3),2)≤sin(2x＋eq\f(π,3))≤1.∴f(x)的值域?yàn)閇－2，eq\r(3)]．∵當(dāng)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))單調(diào)遞減時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，∴eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤π，即eq\f(π,12)≤x≤eq\f(π,3).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[eq\f(π,12)，eq\f(π,3)]．15．已知向量m＝(sinwx，－eq\r(3)coswx)，n＝(sinwx，cos(wx＋eq\f(π,2)))(w>0)，若函數(shù)f(x)＝m·n的最小正周期為π.(1)求w的值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．解析(1)由題意得f(x)＝m·n＝sin2wx－eq\r(3)coswxcos(wx＋eq\f(π,2))＝sin2wx＋eq\r(3)coswxsinwx＝eq\f(1－cos2wx,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2wx＝eq\f(\r(3),2)sin2wx－eq\f(1,2)cos2wx＋eq\f(1,2)＝sin(2wx－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).由于函數(shù)f(x)的最小正周期為π，且w>0，所以eq\f(2π,2w)＝π，解得w＝1.(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x＋eq\f(π,12))的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝f(eq\f(x,4)＋eq\f(π,12))即函數(shù)y＝g(x)的圖象．由(1)知f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，所以g(x)＝f(eq\f(x,4)＋eq\f(π,12))＝sin[2(eq\f(x,4)＋eq\f(π,12))－eq\f(π,6)]＋eq\f(1,2)＝sineq\f(x,2)＋eq\f(1,2).令2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(x,2)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，解得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)．因此函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ＋π，4kπ＋3π](k∈Z)．拓展練習(xí)·自助餐1．已知函數(shù)y＝2sin(wx＋θ)為偶函數(shù)(0<θ<π)，其圖象與直線y＝2的某兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1、x2，若|x2－x1|的最小值為π，則()A．w＝2，θ＝eq\f(π,2)B．w＝－eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,2)C．w＝eq\f(1,2)，θ＝eq\f(π,4)D．w＝2，θ＝eq\f(π,4)答案A解析∵y＝2sin(wx＋θ)為偶函數(shù)，∴θ＝eq\f(π,2).∵圖象與直線y＝2的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，x2，|x2－x1|min＝π，即T＝π.2．將函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象沿x軸方向平移|a|個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)(－eq\f(π,12)，0)中心對(duì)稱，則a的值可能為()A．－eq\f(π,12)B．－eq\f(π,6)C.eq\f(π,12)D.eq\f(π,6)答案C3．已知函數(shù)y＝sineq\f(πx,3)在區(qū)間[0，t]上至少取得2次最大值，則正整數(shù)t的最小值是()A．6B．7C．8D．9答案C解析周期T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6.由題意，T＋eq\f(T,4)≤t，得t≥7.5.故選C.4．動(dòng)點(diǎn)A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周．已知時(shí)間t＝0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，則當(dāng)0≤t≤12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．[0,1]B．[1,7]C．[7,12]D．[0,1]和[7,12]答案D解析由已知可得該函數(shù)的最小正周期為T＝12，則ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)，又當(dāng)t＝0時(shí)，A的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3)