【2021高考復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)配套黃金練習(xí)：3.1

第三章3.1第1課時(shí)高考數(shù)學(xué)（理）黃金配套練習(xí)一、選擇題1．若f′(x0)＝a≠0，則lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝()A．a(chǎn)B．－aC.eq\f(1,a)D．－eq\f(1,a)答案A2．已知函數(shù)f(x)＝－cosx＋lnx，則f′(1)的值為()A．sin1－1B．1－sin1C．1＋sin1D．－1－sin1答案C解析∵f(x)＝－cosx＋lnx，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋sinx，∴f′(1)＝1＋sin1.3．若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為2x＋y－1＝0，則()A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案B解析切線方程為y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<04．曲線y＝x3－2x＋1在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為()A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2答案A解析由題可知，點(diǎn)(1,0)在曲線y＝x3－2x＋1上，求導(dǎo)可得y′＝3x2－2，所以在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率k＝1，切線過(guò)點(diǎn)(1,0)，依據(jù)直線的點(diǎn)斜式可得在點(diǎn)(1,0)的曲線y＝x3－2x＋1的切線方程為y＝x－1，故選A.5．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，若f(x)，g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，則f(x)與g(x)滿足()A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)為常數(shù)函數(shù)D．f(x)＋g(x)為常數(shù)函數(shù)答案C6．若曲線y＝x－eq\f(1,2)在點(diǎn)(a，a－eq\f(1,2))處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝()A．64B．32C．16D．8答案A解析求導(dǎo)得y′＝－eq\f(1,2)x－eq\f(3,2)(x>0)，所以曲線y＝x－eq\f(1,2)在點(diǎn)(a，a－eq\f(1,2))處的切線l的斜率k＝y(tǒng)′|x＝a＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)，由點(diǎn)斜式得切線l的方程為y－a－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)(x－a)，易求得直線l與x軸，y軸的截距分別為3a，eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)，所以直線l與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S＝eq\f(1,2)×3a×eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)＝eq\f(9,4)aeq\f(1,2)＝18，解得a＝64.7已知點(diǎn)P在曲線y＝eq\f(4,ex＋1)上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是()A．[0，eq\f(π,4))B．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)]D．[eq\f(3π,4)，π)答案D解析設(shè)曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則k＝y(tǒng)′＝eq\f(－4ex,1＋ex2)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)，由于ex＞0，所以由均值不等式得k≥eq\f(－4,2\r(ex×\f(1,ex))＋2)，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以eq\f(3π,4)≤α＜π.8．下列圖象中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則f(－1)＝()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(7,3)D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)答案B解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1∴y＝f′(x)是開(kāi)口向上，以x＝－a為對(duì)稱(chēng)軸(－a，－1)為頂點(diǎn)的拋物線．∴(3)是對(duì)應(yīng)y＝f′(x)的圖象∵由圖象知f′(0)＝0，對(duì)稱(chēng)軸x＝－a>0.∴a2－1＝0，a<0∴a＝－1∴y＝f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋1∴f(－1)＝－eq\f(1,3)選B.二、填空題9．曲線y＝tanx在x＝－eq\f(π,4)處的切線方程為_(kāi)_____答案y＝2x＋eq\f(π,2)－1解析y′＝(eq\f(sinx,cosx))′＝eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝eq\f(1,cos2x)，所以在x＝－eq\f(π,4)處的斜率為2，曲線y＝tanx在x＝－eq\f(π,4)處的切線方程為y＝2x＋eq\f(π,2)－1.10．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，則f′(2)＝________.答案－2解析由題意，得f′(x)＝2x＋3f′(2)∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.11．曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，斜率最小的切線方程為_(kāi)_____________．答案3x－y－11＝0解析y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝－1時(shí)y＝－14∴切線方程為y＋14＝3(x＋1)即3x－y－11＝012．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝______答案3解析在點(diǎn)M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，∴點(diǎn)M在y＝eq\f(1,2)x＋2上．∴f(1)＝eq\f(1,2)·1＋2＝eq\f(5,2).f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋f′(1)＝3.13．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為_(kāi)_______．答案4解析依題意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.三、解答題14．點(diǎn)P是曲線x2－y－2lneq\r(x)＝0上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線y＝x－2的最短距離．答案eq\r(2)解析y＝x2－2lneq\r(x)＝x2－lnx(x>0)，y′＝2x－eq\f(1,x)，令y′＝1，即2x－eq\f(1,x)＝1，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)(舍去)，故過(guò)點(diǎn)(1,1)且斜率為1的切線為：y＝x，其到直線y＝x－2的距離eq\r(2)即為所求．15．已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x，直線l：y＝kx，且直線l與曲線C相切于點(diǎn)(x0，y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．答案y＝－eq\f(1,4)x，(eq\f(3,2)，－eq\f(3,8))解析∵直線過(guò)原點(diǎn)，則k＝eq\f(y0,x0)(x0≠0)．由點(diǎn)(x0，y0)在曲線C上，則y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，∴eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，∴在(x0，y0)處曲線C的切線斜率應(yīng)為k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2.∴xeq\o\al(2,0)－3x0＋2＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2.整理得2xeq\o\al(2,0)－3x0＝0.解得x0＝eq\f(3,2)(x0≠0)．這時(shí)，y0＝－eq\f(3,8)，k＝－eq\f(1,4).因此，直線l的方程為y＝－eq\f(1,4)x，切點(diǎn)坐標(biāo)是(eq\f(3,2)，－eq\f(3,8))．16．曲線y＝x(x＋1)(2－x)有兩條平行于y＝x的切線，求二切線之間距離．答案eq\f(16,27)eq\r(2)解析y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1得x1＝1或x2＝－eq\f(1,3)∴兩個(gè)切點(diǎn)分別為(1,2)和(－eq\f(1,3)，－eq\f(14,27))切線方程為x－y＋1＝0和x－y－eq\f(5,27)＝0d＝eq\f(|1＋\f(5,27)|,\r(2))＝eq\f(16\r(2),27)拓展練習(xí)·自助餐1．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f2011(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx答案D解析f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期為4.∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.2．已知曲線S：y＝3x－x3及點(diǎn)P(2,2)，則過(guò)點(diǎn)P可向S引切線，其切線條數(shù)為()A．0B．1C．2D．3答案D解析明顯P不在S上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3xeq\o\al(2,)0切線方程為：y－(3x0－xeq\o\al(3,)0)＝(3－3xeq\o\al(2,)0)(x－x0)∵P(2,2)在切線上∴2－(3x0－xeq\o\al(3,)0)＝(3－3xeq\o\al(2,)0)(2－x0)即xeq\o\al(3,)0－3xeq\o\al(2,)0＋2＝0(x0－1)(xeq\o\al(2,)0－2x0－2)＝0由x0－1＝0得x0＝1由xeq\o\al(2,)0－2x0－2＝0得x0＝1±eq\r(3).∵有三個(gè)切點(diǎn)，∴由P向S作切線可以作3條．3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈[0，eq\f(5π,12)]，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍為_(kāi)_______．答案[eq\r(2)，2]解析∵f′(x)＝sinθ·x2＋eq\r(3)cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sin(θ＋eq\f(π,3))．∵θ∈[0，eq\f(5π,12)]，∴θ＋eq\f(π,3)∈[eq\f(π,3)，eq\f(3π,4)]，∴sin(θ＋eq\f(π,3))∈[eq\f(\r(2),2)，1]．4．已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋eq\f(1－a,x)－1(a∈R)．當(dāng)a＝－1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程．解析當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝lnx＋x＋eq\f(2,x)－1，x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝eq\f(x2＋x－2,x2)，x∈(0，＋∞)，因此f′(2)＝1，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率為1.又f(2)＝ln2＋2，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.老師備選題1．設(shè)函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為_(kāi)_______．答案0解析由題意得f′(5)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f5＋Δx－f5,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝f′(0)，且f′(0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝－eq\o(lim,\s\do4(－Δx→0))eq\f(f0－Δx－f0,－Δx)＝－f′(0)，f′(0)＝0，因此f′(5)＝0.2．已知曲線C1：y＝x2與C2：y＝－(x－2