【創(chuàng)新設計】2021年高考數(shù)學(四川專用-理)一輪復習考點突破:第2篇-第7講-函數(shù)的圖象_第1頁
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第7講函數(shù)的圖象[最新考綱]1.在實際情境中,會依據(jù)不同的需要選擇圖象法、列表法、解析法表示函數(shù).2.會運用函數(shù)圖象理解和爭辯函數(shù)的性質,解決方程解的個數(shù)與不等式的解的問題.知識梳理1.函數(shù)的圖象及作法2.圖象變換(1)平移變換(2)對稱變換①y=f(x)eq\o(→,\s\up14(關于x軸對稱))y=-f(x);②y=f(x)eq\o(→,\s\up14(關于y軸對稱))y=f(-x);③y=f(x)eq\o(→,\s\up14(關于原點對稱))y=-f(-x);④y=ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up14(關于y=x對稱))y=logax(a>0且a≠1).(3)翻折變換①y=f(x)eq\o(→,\s\up14(保留x軸上方圖象),\s\do13(將x軸下方圖象翻折上去))y=|f(x)|.②y=f(x)eq\o(→,\s\up14(保留y軸右邊圖象,并作其),\s\do13(關于y軸對稱的圖象))y=f(|x|).(4)伸縮變換①y=f(x)eq\o(→,\s\up14(縱坐標伸長a>1或縮短0<a<1為原來),\s\do13(的a倍,橫坐標不變))y=af(x)(a>0)②y=f(x)eq\o(→,\s\up14(橫坐標伸長0<a<1或縮短a>1為原來),\s\do13(的\f(1,a)倍,縱坐標不變))y=f(ax)(a>0)辨析感悟1.圖象變換問題(1)為了得到函數(shù)y=lgeq\f(x+3,10)的圖象,只需把函數(shù)y=lgx的圖象上全部的點向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度.(√)(2)若函數(shù)y=f(x)滿足f(x-1)=f(x+1),則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱.(×)(3)當x∈(0,+∞)時,函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同.(×)(4)函數(shù)y=2|x-1|的圖象關于直線x=1對稱.(√)(5)將函數(shù)y=f(-x)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)y=f(-x-1)的圖象.(×)2.圖象應用問題(6)(2021·漢中模擬改編)方程|x|=cosx在(-∞,+∞)內有且僅有兩個根. (√)(7)(2021·洛陽調研改編)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a,\f(c,b)))所在的象限為其次象限. (√)

[感悟·提升]三個防范一是函數(shù)圖象中左、右平移變換可記口訣為“左加右減”,但要留意加、減指的是自變量,如(5);二是留意含確定值符號的函數(shù)的對稱性,如y=f(|x|)與y=|f(x)|的圖象是不同的,如(3);三是混淆條件“f(x+1)=f(x-1)”與“f(x+1)=f(1-x)”的區(qū)分,前者告知周期為2,后者告知圖象關于直線x=1對稱,如(2).同學用書第28頁

考點一函數(shù)圖象的辨識【例1】(2021·山東卷)函數(shù)y=xcosx+sinx的圖象大致為().解析函數(shù)y=xcosx+sinx在x=π時為負,排解A;易知函數(shù)為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,排解B;再比較C,D,不難發(fā)覺當x取接近于0的正數(shù)時y>0,排解C.答案D規(guī)律方法函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手:(1)從函數(shù)的定義域,推斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,推斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調性,推斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性,推斷圖象的對稱性.(4)從函數(shù)的特征點,排解不合要求的圖象.利用上述方法排解、篩選選項.【訓練1】(1)(2022·濰坊模擬)函數(shù)y=xsinx在[-π,π]上的圖象是().(2)函數(shù)y=x+cosx的大致圖象是().解析(1)簡潔推斷函數(shù)y=xsinx為偶函數(shù),可排解D.當0<x<eq\f(π,2)時,y=xsinx>0,當x=π時,y=0,可排解B,C,故選A.(2)∵y′=1-sinx≥0,∴函數(shù)y=x+cosx為增函數(shù),排解C.又當x=0時,y=1,排解A,當x=eq\f(π,2)時,y=eq\f(π,2),排解D,故選B.答案(1)A(2)B考點二函數(shù)圖象的變換【例2】函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1,,log\f(1,3)xx>1,))則y=f(1-x)的圖象是().解析畫出y=f(x)的圖象,再作其關于y軸對稱的圖象,得到y(tǒng)=f(-x)的圖象,再將所得圖象向右平移1個單位,得到y(tǒng)=f[-(x-1)]=f(-x+1)的圖象.答案C規(guī)律方法作圖象平移時,要留意不要弄錯平移的方向,必要時,取特殊點進行驗證;平移變換只轉變圖象的位置,不轉變圖象的外形.【訓練2】(2021·江南十校聯(lián)考)函數(shù)y=log2(|x|+1)的圖象大致是().解析當x>0時,y=log2(x+1),先畫出y=log2x的圖象,再將圖象向左平移1個單位,最終作出關于y軸對稱的圖象,得與之相符的圖象為B.答案B考點三函數(shù)圖象的應用【例3】(1)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當x∈[-1,1]時,f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象的交點共有().A.10個B.9個C.8個D.1個(2)直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個交點,則a的取值范圍是________.審題路線(1)畫出x∈[-1,1]時,f(x)=x2的圖象?依據(jù)周期為2畫出x∈(1,+∞)時的函數(shù)圖象?畫出函數(shù)y=|lgx|的圖象eq\o(→,\s\up14(留意x=10時的情形))觀看圖象,得出交點個數(shù).解析(1)依據(jù)f(x)的性質及f(x)在[-1,1]上的解析式可作圖如下可驗證當x=10時,y=|lg10|=1;x>10時,|lgx|>1.因此結合圖象及數(shù)據(jù)特點知y=f(x)與y=|lgx|的圖象交點共有10個.(2)y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-x+a,x≥0,,x2+x+a,x<0,))作出圖象,如圖所示.此曲線與y軸交于(0,a)點,最小值為a-eq\f(1,4),要使y=1與其有四個交點,只需a-eq\f(1,4)<1<a,∴1<a<eq\f(5,4).答案(1)A(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(5,4)))規(guī)律方法(1)利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問題,如推斷方程是否有解,有多少個解.數(shù)形結合是常用的思想方法.(2)利用圖象,可觀看函數(shù)的對稱性、單調性、定義域、值域、最值等性質.同學用書第29頁【訓練3】已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|.(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間,并指出其增減性;(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四個不相等的實根}.解f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-22-1,x∈-∞,1]∪[3,+∞,,-x-22+1,x∈1,3,))作出函數(shù)圖象如圖.(1)函數(shù)的增區(qū)間為[1,2],[3,+∞);函數(shù)的減區(qū)間為(-∞,1],[2,3].(2)在同一坐標系中作出y=f(x)和y=m的圖象,使兩函數(shù)圖象有四個不同的交點(如圖).由圖知0<m<1,∴M={m|0<m<1}.1.把握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧,來掛念我們簡化作圖過程.2.識圖的要點:重點依據(jù)圖象看函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調性、特殊點(與x、y軸的交點,最高、最低點等).3.識圖的方法(1)定性分析法:對函數(shù)進行定性分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢,利用這一特征分析解決;(2)定量計算法:通過定量的計算來分析解決;(3)排解法:利用本身的性能或特殊點進行排解驗證.4.爭辯函數(shù)性質時一般要借助于函數(shù)圖象,體現(xiàn)了數(shù)形結合思想;5.方程解的問題常轉化為兩生疏的函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題來解決.思想方法2——利用數(shù)形結合思想求參數(shù)的范圍【典例】已知不等式x2-logax<0,當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))時恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解由x2-logax<0,得x2<logax.設f(x)=x2,g(x)=logax.由題意知,當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))時,函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)的圖象的下方,如圖,可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1,,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2≤loga\f(1,2),))解得eq\f(1,16)≤a<1.∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16),1)).[反思感悟](1)“以形助數(shù)”是已知兩圖象交點問題求參數(shù)范圍常用到的方法,解決此類問題的關鍵在于精確?????作出不含參數(shù)的函數(shù)的圖象,并標清一些關鍵點,對于含參數(shù)的函數(shù)圖象要留意結合條件去作出符合題意的圖形.(2)當不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關時,常將不等式問題轉化為兩函數(shù)圖象的上、下關系問題,從而利用數(shù)形結合求解.【自主體驗】(2022·黃岡調研)設函數(shù)f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,對于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.解析如圖,要使f(x)≥g(x)恒成立,則-a≤1,∴a≥-1.答案[-1,+∞)

對應同學用書P239基礎鞏固題組(建議用時:40分鐘)一、選擇題1.(2021·青島一模)函數(shù)y=21-x的大致圖象為().解析y=21-x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x-1,由于0<eq\f(1,2)<1,所以y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x-1為減函數(shù),取x=0時,則y=2,故選A.答案A2.(2021·福建卷)函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象大致是().解析函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的定義域為(-∞,+∞),又由于f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù)且f(0)=ln1=0,綜上選A.答案A3.(2022·日照一模)函數(shù)f(x)=lg(|x|-1)的大致圖象是().解析易知f(x)為偶函數(shù),故只考慮x>0時f(x)=lg(x-1)的圖象,將函數(shù)y=lgx圖象向x軸正方向平移一個單位得到f(x)=lg(x-1)的圖象,再依據(jù)偶函數(shù)性質得到f(x)的圖象.答案B4.(2021·東營模擬)已知函數(shù)y=f(x)的大致圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的解析式可以為().A.f(x)=exlnxB.f(x)=e-xln(|x|)C.f(x)=exln(|x|)D.f(x)=e|x|ln(|x|)解析如題圖,函數(shù)的定義域是{x|x≠0},排解選項A,當x→-∞時,f(x)→0,排解選項B,D,因此選C.答案C5.已知函數(shù)f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1),f(2011)·g(-2012)<0,則y=f(x),y=g(x)在同一坐標系內的大致圖象是().解析由f(2011)·g(-2012)<0,知0<a<1,依據(jù)函數(shù)g(x)=loga|x|(0<a<1)的圖象和函數(shù)f(x)=ax-2(0<a<1)的圖象,知選項B正確.答案B二、填空題6.函數(shù)y=(x-1)3+1的圖象的對稱中心是________.解析y=x3的圖象的對稱中心是(0,0),將y=x3的圖象向上平移1個單位,再向右平移1個單位,即得y=(x-1)3+1的圖象,所以對稱中心為(1,1).答案(1,1)7.若方程|ax|=x+a(a>0)有兩個解,則a的取值范圍是________.解析畫出y=|ax|與y=x+a的圖象,如圖.只需a>1.答案(1,+∞)8.(2021·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2xx>0,,2xx≤0,))且關于x的方程f(x)-a=0有兩個實根,則實數(shù)a的范圍是________.解析當x≤0時,0<2x≤1,所以由圖象可知要使方程f(x)-a=0有兩個實根,即f(x)=a有兩個交點,所以由圖象可知0<a≤1.答案(0,1]三、解答題9.已知函數(shù)f(x)=eq\f(x,1+x).(1)畫出f(x)的草圖;(2)指出f(x)的單調區(qū)間.

解(1)f(x)=eq\f(x,1+x)=1-eq\f(1,x+1),函數(shù)f(x)的圖象是由反比例函數(shù)y=-eq\f(1,x)的圖象向左平移1個單位后,再向上平移1個單位得到,圖象如圖所示.(2)由圖象可以看出,函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-1),(-1,+∞).10.設函數(shù)f(x)=x+eq\f(1,x)的圖象為C1,C1關于點A(2,1)對稱的圖象為C2,C2對應的函數(shù)為g(x).(1)求g(x)的解析式;(2)若直線y=m與C2只有一個交點,求m的值和交點坐標.解(1)設點P(x,y)是C2上的任意一點,則P(x,y)關于點A(2,1)對稱的點為P′(4-x,2-y),代入f(x)=x+eq\f(1,x),可得2-y=4-x+eq\f(1,4-x),即y=x-2+eq\f(1,x-4),∴g(x)=x-2+eq\f(1,x-4).(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=m,,y=x-2+\f(1,x-4),))消去y得x2-(m+6)x+4m+9=0,Δ=[-(m+6)]2-4(4m+9),∵直線y=m與C2只有一個交點,∴Δ=0,解得m=0或m=4.當m=0時,經(jīng)檢驗合理,交點為(3,0);當m=4時,經(jīng)檢驗合理,交點為(5,4).力量提升題組(建議用時:25分鐘)一、選擇題1.(2022·濟南4月模擬)函數(shù)y=x2+eq\f(ln|x|,x)的圖象大致為().解析由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))f(1)<0,故由零點存在定理可得函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),1))上存在零點,故排解A,D選項,又當x<0,f(x)=x2+eq\f(ln-x,x),而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,e)))=eq\f(1,e2)+e>0,排解B,故選C.答案C2.函數(shù)f(x)是定義在[-4,4]上的偶函數(shù),其在[0,4]上的圖象如圖所示,那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集為().A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|-\f(π,2)<x<-1))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(π,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|-\f(π,2)<x<-1,或1<x<\f(π,2)))D.{x|-1<x<1}解析當x∈(0,1)時,cosx>0,f(x)>0;當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(π,2)))時,cosx>0,f(x)<0;當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),4))時,cosx<0,f(x)<0,當x∈(-1,0)時,cosx>0,f(x)>0;當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),-1))時,cosx>0,f(x)<0;當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-4,-\f(π,2)))時,cosx<0,f(x)<0.故不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(

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