高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《基本不等式》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《基本不等式》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________題型01公式基礎(chǔ)【解題攻略】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.【典例1-1】（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2021秋·山東日照·高三山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2【變式1-1】（高三階段測(cè)試）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若x>0，則2－3x－的最大值是2－4【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列不等式證明過(guò)程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【變式1-3】（2022秋·廣東·高三深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？迹┰谙铝泻瘮?shù)中，最小值是的是（

）A． B．C． D．題型02基礎(chǔ)模型：倒數(shù)型【解題攻略】倒數(shù)型：，或者容易出問(wèn)題的地方，在于能否“取等”,如，【典例1-1】（浙江杭州·杭州高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三統(tǒng)考）已知的面積為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【變式1-2】（2020上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若(x,)最大值記為,則的最小值為A．0 B． C． D．題型03常數(shù)代換型【解題攻略】利用常數(shù)代換法，可以代通過(guò)“分子分母相約和相乘”，相約去或者構(gòu)造出“倒數(shù)”關(guān)系。多稱(chēng)之為“1”的代換條件和結(jié)論有“分子分母”特征；（2）可以乘積出現(xiàn)對(duì)構(gòu)型，再用均值不等式。注意取等條件結(jié)構(gòu)形式：（1）求（2）求【典例1-1】（江西·校聯(lián)考一模）已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則最小值為.【典例1-2】（2019上·山東濰坊·壽光現(xiàn)代中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【變式1-1】（上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？计谥校┮阎?，，，則的最小值為．【變式1-2】（湖南株洲·統(tǒng)考）設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【變式1-3】（上海松江·高三?？迹┮阎?，且，則取得最小值時(shí)的值是.題型04積與和型【解題攻略】積與和型，如果滿(mǎn)足有和有積無(wú)常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為常數(shù)代換型。形如，可以通過(guò)同除ab，化為構(gòu)造“1”的代換求解【典例1-1】（全國(guó)·高三測(cè)試）已知，，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A．16 B．6 C．18 D．12【典例1-2】（湖南岳陽(yáng)·高三聯(lián)考）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】(2020·重慶市暨華中學(xué)校高三階段）已知，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【變式1-2】（山東威?！じ呷？迹┤?，且，則的最小值為（

）A．18 B．15 C．20 D．13【變式1-3】（全國(guó)·高三一專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．題型05積與和互化解不等式型【解題攻略】積與和型，如果滿(mǎn)足有和有積有常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為解不等式型。形形如求型，可以對(duì)“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對(duì)應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：【典例1-1】（2022秋·云南·校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)、滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4【變式1-1】（2022秋·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎€(xiàn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，，則ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【變式1-3】（安徽·霍邱縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若，且，則的取值范圍（

） B． C． D．題型06構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代換來(lái)求解?！镜淅?-1】（福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)校考）若三個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【變式1-1】（2022秋·安徽蕪湖·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【變式1-2】（浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（山東·高三利津縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為.題型07湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合pa+qb=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代換來(lái)求解。其中結(jié)合所給與所求a、b的系數(shù)，可以任意調(diào)換，來(lái)進(jìn)行變換湊配?！镜淅?-1】（全國(guó)·高三題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為.【典例1-2】（2023秋·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．【變式1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若三個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【變式1-3】（三課時(shí)練習(xí)）已知，則的最小值為.題型08換元構(gòu)造分母和定型【解題攻略】換元型構(gòu)造分母和定型：形如型，則可以通過(guò)換元分母，再利用“1”的代換來(lái)求解?！镜淅?-1】（吉林·長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的小值為．【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知且，則的最小值為.【變式1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，若，則的最小值是.【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.題型09分子與分母互消型【解題攻略】滿(mǎn)足一般情況下可以通過(guò)“萬(wàn)能K法”轉(zhuǎn)化求解設(shè)K法的三個(gè)步驟：⑴、問(wèn)誰(shuí)設(shè)誰(shuí)：求誰(shuí)，誰(shuí)就是K；⑵、代入整理：整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值【典例1-1】（2021秋·高三單元測(cè)試）已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是.【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值是.【變式1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為正數(shù)，且，則的最大值為．【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，若，則的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【變式1-3】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．9題型10“1”代換綜合型【典例1-1】（遼寧大連·大連二十四中?？迹┮阎?，則的最小值等于.【典例1-2】（2021上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校校考）若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足等式，，，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式1-1】（2020上·上海徐匯·高三上海中學(xué)校考）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足且，若，則的最小值是【變式1-2】（2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為．題型11分子消去型【解題攻略】對(duì)于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過(guò)常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來(lái)求解【典例1-1】（2020·江蘇省震澤中學(xué)高三階段練習(xí)）若，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【變式1-1】（2022春·廣東韶關(guān)·高三?？茧A段練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．1 B．6 C．7 D．【變式1-2】（2023春·重慶·高三校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在線(xiàn)段上（不含端點(diǎn)），是直線(xiàn)外一點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022春·湖北襄陽(yáng)·高三襄陽(yáng)五中?？计谥校┮阎龑?shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21題型12消元型【解題攻略】消元型：對(duì)于雙變量型不等式求最值，如果不符合常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法，可以通過(guò)反解代入消元，轉(zhuǎn)化為單變量型不等式求最值?！镜淅?-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．14 B． C．8 D．【變式1-1】（2023秋·海南?？凇じ呷？奸_(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【變式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，且，則的最小值為．【變式1-3】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值是.題型13齊次化構(gòu)造型【解題攻略】齊次化構(gòu)造型：一般情況下，分式分子分母含有等，滿(mǎn)足齊次型，則可以通過(guò)分子分母同除法，構(gòu)造單變量型來(lái)轉(zhuǎn)化計(jì)算求解【典例1-1】（2023春·天津河西·高二統(tǒng)考期末）已知，則的最小值是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2022秋·湖北黃石·高一期中）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【變式1-1】若a，b均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為A． B． C． D．2【變式1-2】函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【變式1-3】已知，，則的最大值是．【變式1-4】若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則的最大值為_(kāi)___.題型14三角換元構(gòu)造型【解題攻略】一般情況下，復(fù)合或者能轉(zhuǎn)化為型，則可以通過(guò)三角換元（圓的參數(shù)方程型）來(lái)轉(zhuǎn)化構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)輔助角為主的恒等變形來(lái)計(jì)算求解最值【典例1-1】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的最大值是（

）A． B． C．0 D．【變式1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為．【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則的最小值為.【變式1-3】（四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2＋b2＝c2，c≠0，則的取值范圍為．題型15因式分解雙換元型【解題攻略】如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過(guò)對(duì)分解后因式雙換元來(lái)轉(zhuǎn)化求解1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開(kāi)就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見(jiàn)的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【典例1-1】（2022秋·浙江溫州·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【變式1-1】（2021江蘇高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab?3【變式1-2】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知且滿(mǎn)足，則的最小值是.題型16配方型【典例1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a，，且，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【變式1-1】（全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a，b為非負(fù)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A．40 B． C．42 D．【變式1-3】（2022秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，，若，則的最大值為．高考練場(chǎng)1.（2020秋·浙江紹興·高三?？茧A段練習(xí)）給出下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：①∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴；②∵x，y為正實(shí)數(shù)，∴；③∵，，∴；④∵，，∴．其中正確的推導(dǎo)為（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④2.（2021上·湖北武漢·高三統(tǒng)考）函數(shù)在區(qū)間上（

）A．有最大值為，最小值為0 B．有最大值為，最小值為0C．有最大值為，無(wú)最小值 D．有最大值為，無(wú)最小值3.（新疆烏魯木齊·高三新疆實(shí)驗(yàn)?？迹┰O(shè)x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為．4.（山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室）已知，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．6 D．95.（江西撫州·高三臨川一中?？茧A段練習(xí)）已知，，，則的最小值為.6.（湖北恩施·恩施市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，，則的最小值為.7.（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是．8.（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，，且，則的最小值為.9.（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知、，且，則的取值范圍是.10.（重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為.11.（2022秋·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．512.（2023春·天津和平·高三統(tǒng)考）已知，則的最小值是．13.（高三單元測(cè)試）函數(shù)的最大值是（

）A．2 B． C． D．14.若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15.（2023秋·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為.

參考答案題型01公式基礎(chǔ)【解題攻略】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.【典例1-1】（2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】應(yīng)用特殊值法，即可判斷A、B、D的正誤，作差法有，即可確定C的正誤.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，有，故不等式不一定成立，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)，即時(shí)，有，故不等式不一定成立，故B錯(cuò)誤；C：恒成立，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，有，故不等式不一定成立，故D錯(cuò)誤；故選：C【典例1-2】（2021秋·山東日照·高三山東省日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對(duì)于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】當(dāng)時(shí)，可判斷A；當(dāng)時(shí)，可判斷B；當(dāng)時(shí)，可判斷C；利用均值不等式，可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，，不成立，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，，不成立，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，不成立，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由有意義，故，因此由均值不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故D正確故選：D【變式1-1】（高三階段測(cè)試）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若x>0，則2－3x－的最大值是2－4【答案】B【解析】由二次根式的性質(zhì)及基本不等式成立的條件逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，但，所以等號(hào)不成立，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：B.【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列不等式證明過(guò)程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【答案】D【分析】利用基本不等式成立的條件及特值法，逐一判斷即可．【詳解】∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴A錯(cuò)誤；∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴B錯(cuò)誤；∵，如時(shí)，，∴C錯(cuò)誤；∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，∴D正確．故選：D．【變式1-3】（2022秋·廣東·高三深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？迹┰谙铝泻瘮?shù)中，最小值是的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式，對(duì)選項(xiàng)中依次進(jìn)行求解判斷，特別要注意基本不等式成立的條件“一正、二定、三相等”.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，當(dāng)時(shí)，，即最小值不是，故選項(xiàng)A不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即最小值是2，故選項(xiàng)B不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，，令，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，最小值為，故選項(xiàng)C不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即最小值是，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D..題型02基礎(chǔ)模型：倒數(shù)型【解題攻略】倒數(shù)型：，或者容易出問(wèn)題的地方，在于能否“取等”,如，【典例1-1】（浙江杭州·杭州高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范圍，再把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性去求的取值范圍即可解決【詳解】由，可得，則，則，令，則，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，則，即故選：C【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三統(tǒng)考）已知的面積為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將原式分離常數(shù)，然后利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，化簡(jiǎn)為對(duì)勾函數(shù)，利用不等式求最值即可.【詳解】解：，又，==，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.【變式1-1】（2021上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由，根據(jù)基本不等式得，根據(jù)，，構(gòu)造對(duì)勾函數(shù)，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性判斷最值.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋?，，令，根?jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最大值，故，所以，即，同理，所以，所以，所以.故選：C.【變式1-2】（2020上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先化簡(jiǎn)函數(shù)為，再進(jìn)行換元，結(jié)合t的范圍，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求的最小值即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?令，所以，，驗(yàn)證可知利用基本不等式求最值時(shí)等號(hào)不成立.故根據(jù)對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知在上遞減，所以時(shí)，，此時(shí)，故函數(shù)的最小值為.故選：C.【變式1-3】（上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若(x,)最大值記為,則的最小值為A．0 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè),設(shè),,則,由對(duì)勾函數(shù)可得在上單調(diào)遞增,則,討論與的大小關(guān)系,進(jìn)而求解即可【詳解】設(shè),因?yàn)?所以,設(shè),,由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,所以,即,因?yàn)?x,)最大值記為,所以當(dāng),即,；當(dāng),即,,所以的最小值為故選:D.題型03常數(shù)代換型【解題攻略】利用常數(shù)代換法，可以代通過(guò)“分子分母相約和相乘”，相約去或者構(gòu)造出“倒數(shù)”關(guān)系。多稱(chēng)之為“1”的代換條件和結(jié)論有“分子分母”特征；（2）可以乘積出現(xiàn)對(duì)構(gòu)型，再用均值不等式。注意取等條件結(jié)構(gòu)形式：（1）求（2）求【典例1-1】（江西·校聯(lián)考一模）已知，，是正實(shí)數(shù)，且，則最小值為.【答案】【分析】由于，，是正實(shí)數(shù)，且，所以先結(jié)合基本不等式“1”的代換求的最小值，得，則，再根據(jù)基本不等式湊項(xiàng)法求的最小值，即可求得的最小值.【詳解】解：，由于，，是正實(shí)數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則最小值為.故答案為：.【典例1-2】（2019上·山東濰坊·壽光現(xiàn)代中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則，，即：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為11.故選：B.【變式1-1】（上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則的最小值為．【答案】【分析】將化為后與相乘，化簡(jiǎn)后再利用基本不等式求解.【詳解】由題意得：，，，所以得：，所以：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).故最小值為：.故答案為：.【變式1-2】（湖南株洲·統(tǒng)考）設(shè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【答案】/【分析】由題知，再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿(mǎn)足，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值為.故答案為：【變式1-3】（上海松江·高三?？迹┮阎?，，且，則取得最小值時(shí)的值是.【答案】/【分析】變換，展開(kāi)利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：題型04積與和型【解題攻略】積與和型，如果滿(mǎn)足有和有積無(wú)常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為常數(shù)代換型。形如，可以通過(guò)同除ab，化為構(gòu)造“1”的代換求解【典例1-1】（全國(guó)·高三測(cè)試）已知，，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A．16 B．6 C．18 D．12【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可得，將展開(kāi)利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以所以．?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，故選：B.【典例1-2】（湖南岳陽(yáng)·高三聯(lián)考）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件變形可得，將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)椋?，且，則，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是.故選：C.【變式1-1】（2020·重慶市暨華中學(xué)校高三階段）已知，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知等式變形為，將與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，且，則，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：C.【變式1-2】（山東威海·高三?？迹┤簦?，則的最小值為（

）A．18 B．15 C．20 D．13【答案】A【分析】變形條件為，利用“1”的技巧變形待求式，運(yùn)用均值不等式即可求解.【詳解】由題意可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：A【變式1-3】（全國(guó)·高三一專(zhuān)題練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為，故選：D．題型05積與和互化解不等式型【解題攻略】積與和型，如果滿(mǎn)足有和有積有常數(shù)，則可以轉(zhuǎn)化為解不等式型。形形如求型，可以對(duì)“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對(duì)應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：【典例1-1】（2022秋·云南·校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)、滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最大值.【詳解】由題意得，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最大值為為.故選：C.【典例1-2】（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【分析】先化簡(jiǎn)把單獨(dú)放在一側(cè),再應(yīng)用重要不等式把未知數(shù)都轉(zhuǎn)化為,計(jì)算求解即可.【詳解】可變形為，因?yàn)椋?，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值4.故選:D．【變式1-1】（2022秋·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎€(xiàn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，可求的最大值．【詳解】曲線(xiàn)，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，，，的最大值為．故選：．【變式1-2】（重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，，則ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用均值不等式，把方程轉(zhuǎn)化為不等式，解之即可.【詳解】∵，，∴，令，則，即，解得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D【變式1-3】（安徽·霍邱縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若，且，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)整理式子可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，且，則，即，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，整理得，即，因?yàn)椋?，所以，解?故選：D題型06構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代換來(lái)求解?！镜淅?-1】（福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)校考）若三個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意為正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由題意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，，，則.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等.故選：C.【變式1-1】（2022秋·安徽蕪湖·高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，將所求式子進(jìn)行整理變形，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，等式恒成立，，由于，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).，，故的最小值為1.故選：.【變式1-2】（浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由題可得，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，故選:C.【變式1-3】（山東·高三利津縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為.【答案】【分析】由，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：.題型07湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對(duì)于分?jǐn)?shù)型求最值，如果復(fù)合pa+qb=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代換來(lái)求解。其中結(jié)合所給與所求a、b的系數(shù)，可以任意調(diào)換，來(lái)進(jìn)行變換湊配?！镜淅?-1】（全國(guó)·高三題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為.【答案】12【分析】，展開(kāi)后利用基本不等式可求．【詳解】∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為12．故答案為：12．【典例1-2】（2023秋·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．【答案】【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)榍遥艉愠闪?，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【變式1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是．【答案】【分析】依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】因?yàn)?，且，若恒成立，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若三個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意為正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【變式1-3】（三課時(shí)練習(xí)）已知，則的最小值為.【答案】【分析】首先利用“1”的等價(jià)變形，，再利用基本不等式求最小值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得是等號(hào)成立，所以的最小值是題型08換元構(gòu)造分母和定型【解題攻略】換元型構(gòu)造分母和定型：形如型，則可以通過(guò)換元分母，再利用“1”的代換來(lái)求解。【典例1-1】（吉林·長(zhǎng)春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的小值為．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法可得出，與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)，可得，解得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，則的小值為.故答案為：9.【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知且，則的最小值為.【答案】【分析】令，，將已知條件簡(jiǎn)化為；將用表示，分離常數(shù)，再使用“乘1法”轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可求得最小值．【詳解】解：令，，因?yàn)?，所以，則，，所以,所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，即時(shí)取“”，所以的最小值為.故答案為：.【變式1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，若，則的最小值是.【答案】【分析】將用與表示，湊配常數(shù)1，使用“1”的代換與基本不等式求解.【詳解】設(shè)，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得，得所以整理得即所以.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，等號(hào)可取到.故答案為：【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.【答案】【分析】換元后可得，再由及“1”的技巧化簡(jiǎn)，利用均值不等式求解.【詳解】令，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，解得時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：題型09分子與分母互消型【解題攻略】滿(mǎn)足一般情況下可以通過(guò)“萬(wàn)能K法”轉(zhuǎn)化求解設(shè)K法的三個(gè)步驟：⑴、問(wèn)誰(shuí)設(shè)誰(shuí)：求誰(shuí)，誰(shuí)就是K；⑵、代入整理：整理成某個(gè)變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認(rèn)最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值【典例1-1】（2021秋·高三單元測(cè)試）已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值是.【答案】【分析】設(shè)，則，計(jì)算利用基本不等式可得最小值，即可得的最小值，解不等式可得的最小值，即的最小值.【詳解】因?yàn)?，則，設(shè)，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，由即，解得：或（舍）所以，的最小值是，故答案為：.【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值是.【答案】【分析】設(shè)，則，同時(shí)根據(jù)均為正數(shù)確定的取值范圍，利用基本不等式可求得，解不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，均為正數(shù)，，解得：；則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），又，當(dāng)，時(shí)，取得最小值；，即，解得：，滿(mǎn)足，的最大值為.故答案為：9【變式1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為正數(shù)，且，則的最大值為．【答案】【分析】等式化為，兩邊平方，令，由基本不等式可得，即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，令，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，所以的最大值為8.故答案為：．【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，若，則的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】設(shè)，將變形整理，用含k的式子表示，這樣會(huì)出現(xiàn)互為倒數(shù)的形式，再利用基本不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)，則，∴∴整理得：，由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.∴，解得或（舍去）,即當(dāng)時(shí)，取得最小值8，故選：A.【變式1-3】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所?所以，即所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)有最大值為9.故選:D.題型10“1”代換綜合型【典例1-1】（遼寧大連·大連二十四中校考）已知且，則的最小值等于.【答案】/【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】因?yàn)榍?，所以，?dāng)且僅當(dāng)且，即，等號(hào)成立，故的最小值等于.故答案為：.【典例1-2】（2021上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校校考）若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足等式，，，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由題意可得：，由已知可得代入整理，再利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可求解.【詳解】由題意可得：，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，，所以，即，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：，故答案為：.【變式1-1】（2020上·上海徐匯·高三上海中學(xué)?？迹┮阎獙?shí)數(shù)滿(mǎn)足且，若，則的最小值是【答案】【解析】將變形為，再根據(jù)“”的妙用結(jié)合基本不等式求解出的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，即，所以的最小值為，故答案為：.【變式1-2】（2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為．【答案】【詳解】由基本不等式可得：≤，即≤4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”．又因?yàn)椤?.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”．所以≥≥.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”．所以的最小值為.題型11分子消去型【解題攻略】對(duì)于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過(guò)常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來(lái)求解【典例1-1】（2020·江蘇省震澤中學(xué)高三階段練習(xí)）若，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，結(jié)合基本不等式即可求出答案.【詳解】解：，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，即或時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A.【典例1-2】（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】對(duì)原式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，，．所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故選：B.【變式1-1】（2022春·廣東韶關(guān)·高三?？茧A段練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A．1 B．6 C．7 D．【答案】B【分析】利用已知條件將原式化為可以使用基本不等式的形式即可.【詳解】由已知條件得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為6；故選：B.【變式1-2】（2023春·重慶·高三校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在線(xiàn)段上（不含端點(diǎn)），是直線(xiàn)外一點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)定理推論得，再利用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)橐驗(yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上（不含端點(diǎn)），所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：B【變式1-3】（2022春·湖北襄陽(yáng)·高三襄陽(yáng)五中?？计谥校┮阎龑?shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則，，即：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為11.故選：B.題型12消元型【解題攻略】消元型：對(duì)于雙變量型不等式求最值，如果不符合常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法，可以通過(guò)反解代入消元，轉(zhuǎn)化為單變量型不等式求最值?！镜淅?-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)閤＋2y＋xy＝7，所以，所以．因?yàn)?，則所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1，y＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以x＋y的最小值為3．故選：D【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．14 B． C．8 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，用含x的式子表示，再運(yùn)用基本不等式求解作答.【詳解】因?yàn)?，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，取最小值14.故選：A【變式1-1】（2023秋·海南?？凇じ呷？奸_(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)變形得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，用湊配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故選：B.【變式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，且，則的最小值為．【答案】3【分析】由已知得，代入，然后由基本不等式得最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：3．【變式1-3】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則的最小值是.【答案】/【分析】由已知可得出且，化簡(jiǎn)代數(shù)式，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則，由可得，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值是.故答案為：.題型13齊次化構(gòu)造型【解題攻略】齊次化構(gòu)造型：一般情況下，分式分子分母含有等，滿(mǎn)足齊次型，則可以通過(guò)分子分母同除法，構(gòu)造單變量型來(lái)轉(zhuǎn)化計(jì)算求解【典例1-1】（2023春·天津河西·高二統(tǒng)考期末）已知，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，化二元變量問(wèn)題為一元變量，結(jié)合基本不等式處理.【詳解】，設(shè)，則.于是，令，則，當(dāng)，即，也即時(shí)，取到最小值.故選：C【典例1-2】（2022秋·湖北黃石·高一期中）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】將原式變形，換元設(shè)，然后利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由題得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以的最小值為6．故選：C．【變式1-1】若a，b均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為A． B． C． D．2【答案】B【詳解】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且a=1取等，即a=1,b=取等即則的最大值為，故選：B．【變式1-2】函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值,故選B.【變式1-3】已知，，則的最大值是．【答案】詳解：由題得原式=，設(shè)，所以原式=，令所以原式=.(函數(shù)在上單調(diào)遞減).故答案為：.【變式1-4】若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且，則的最大值為_(kāi)___【詳解】實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，則xy＝2，則，當(dāng)且僅當(dāng)x﹣y，即x﹣y＝2時(shí)取等號(hào)故的最大值為，故答案為：．.題型14三角換元構(gòu)造型【解題攻略】一般情況下，復(fù)合或者能轉(zhuǎn)化為型，則可以通過(guò)三角換元（圓的參數(shù)方程型）來(lái)轉(zhuǎn)化構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)輔助角為主的恒等變形來(lái)計(jì)算求解最值【典例1-1】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根據(jù)式子特征，設(shè)，，從而表達(dá)出，結(jié)合基本不等式去除最小值；法二：采用三角換元，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，利用三角函數(shù)有界性求出最小值.【詳解】法一：∵，∴可設(shè)，，∴，代入所求式子得，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.法二：設(shè)，，代入已知等式得，，∴，其中，.∴，所以的最小值為.故選：D【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的最大值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】利用均值不等式及三角換元法，即可得到結(jié)果.【詳解】令，等號(hào)在時(shí)取到．故選：A【變式1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)，結(jié)合三角函數(shù)定義表示，代入條件等式通過(guò)三角恒等變換和正弦函數(shù)性質(zhì)可求的最小值.【詳解】設(shè)，則，則點(diǎn)在單位圓上，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可設(shè)，，則，則由可得，則，因?yàn)橛煽傻?，所以，即，所以，由可得，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值為，故答案為：【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則的最小值為.【答案】【分析】把整理為完全平方式，利用三角換元法可求.【詳解】因?yàn)?，所以令，解得，所?因?yàn)?，所以的最小值?【變式1-3】（四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a2＋b2＝c2，c≠0，則的取值范圍為．【答案】【詳解】由a2＋b2＝c2可設(shè)a＝csinx，b＝ccosx，＝＝，可以理解為點(diǎn)(2，0)與單位圓上的點(diǎn)連線(xiàn)的斜率的范圍，而兩條切線(xiàn)的斜率為±，則的取值范圍為.題型15因式分解雙換元型【解題攻略】如果條件（或者結(jié)論）可以因式分解，則可以通過(guò)對(duì)分解后因式雙換元來(lái)轉(zhuǎn)化求解1.特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開(kāi)就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見(jiàn)的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【典例1-1】（2022秋·浙江溫州·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可得，令，，可得，，，進(jìn)一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【詳解】，，配湊得：，兩邊同時(shí)除以4得：，即，令，，則，，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立）.故選：C.【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用換元法表示出代入所求式子，化簡(jiǎn)利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則且，代入中得：當(dāng)即時(shí)取“=”,所以最小值為1.故選：B【變式1-1】（2021江蘇高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab?3【詳解】5+14由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，則xy＝1且a=x所以a2+b2＝（x+3y4）2+（x?y4）2=x2+5【變式1-2】（2023春·四川宜賓·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根據(jù)式子特征，設(shè)，，從而表達(dá)出，結(jié)合基本不等式去除最小值；【詳解】：∵，∴可設(shè)，，∴，代入所求式子得，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.【變式1-3】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知且滿(mǎn)足，則的最小值是.【答案】【分析】將因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值．【詳解】解：，令，，則，，且，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最小值故答案為：．題型16配方型【典例1-1】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a，，且，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】由題知，進(jìn)而得，再結(jié)合已知得，即可得答案.【詳解】解：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，又a，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，所以的最大值為.故選：C【典例1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】將條件中的式子進(jìn)行配方，利用基本不等式得到關(guān)于的不等式，解不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，即，所以，即，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，因此，故的最大值為，此時(shí)，故選：B.【變式1-1】（全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得出，進(jìn)一步得到的最小值，再根據(jù)不等式恒成立，得出求出c的取值范圍．【詳解】解：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，又不等式恒成立，，的取值范圍是．故選：B．【變式1-2】（全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知a，b為非負(fù)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A．40 B． C．42 D．【答案】D【分析】將表示成的函數(shù)，利用均值不等式求出的范圍即可求解作答.【詳解】，