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第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《基本不等式》專項測試卷及答案學(xué)校:___________班級:___________姓名:___________考號:___________題型01公式基礎(chǔ)【解題攻略】利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:(1)“一正”就是各項必須為正數(shù);(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.【典例1-1】(2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí))下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.【典例1-2】(2021秋·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學(xué)校考階段練習(xí))對于任意a,b∈R,下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.2【變式1-1】(高三階段測試)下列說法不正確的是(
)A.x+(x>0)的最小值是2 B.的最小值是2C.的最小值是 D.若x>0,則2-3x-的最大值是2-4【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))下列不等式證明過程正確的是(
)A.若,則B.若x>0,y>0,則C.若x<0,則D.若x<0,則【變式1-3】(2022秋·廣東·高三深圳市寶安中學(xué)(集團(tuán))??迹┰谙铝泻瘮?shù)中,最小值是的是(
)A. B.C. D.題型02基礎(chǔ)模型:倒數(shù)型【解題攻略】倒數(shù)型:,或者容易出問題的地方,在于能否“取等”,如,【典例1-1】(浙江杭州·杭州高級中學(xué)??寄M預(yù)測)已知且,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【典例1-2】(2020下·浙江衢州·高三統(tǒng)考)已知的面積為,,則的最小值為(
)A. B. C. D.【變式1-1】(2021上·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知,則的取值范圍是(
).A. B. C. D.【變式1-2】(2020上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)的最小值為(
)A. B. C. D.【變式1-3】(上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)??茧A段練習(xí))若(x,)最大值記為,則的最小值為A.0 B. C. D.題型03常數(shù)代換型【解題攻略】利用常數(shù)代換法,可以代通過“分子分母相約和相乘”,相約去或者構(gòu)造出“倒數(shù)”關(guān)系。多稱之為“1”的代換條件和結(jié)論有“分子分母”特征;(2)可以乘積出現(xiàn)對構(gòu)型,再用均值不等式。注意取等條件結(jié)構(gòu)形式:(1)求(2)求【典例1-1】(江西·校聯(lián)考一模)已知,,是正實數(shù),且,則最小值為.【典例1-2】(2019上·山東濰坊·壽光現(xiàn)代中學(xué)??茧A段練習(xí))已知正實數(shù)滿足,則的最小值為(
)A.10 B.11 C.13 D.21【變式1-1】(上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)??计谥校┮阎?,,,則的最小值為.【變式1-2】(湖南株洲·統(tǒng)考)設(shè)正實數(shù)滿足,則的最小值為.【變式1-3】(上海松江·高三校考)已知,,且,則取得最小值時的值是.題型04積與和型【解題攻略】積與和型,如果滿足有和有積無常數(shù),則可以轉(zhuǎn)化為常數(shù)代換型。形如,可以通過同除ab,化為構(gòu)造“1”的代換求解【典例1-1】(全國·高三測試)已知,,且,則當(dāng)取得最小值時,(
)A.16 B.6 C.18 D.12【典例1-2】(湖南岳陽·高三聯(lián)考)已知,,且,則的最小值是(
)A. B. C. D.【變式1-1】(2020·重慶市暨華中學(xué)校高三階段)已知,且,則的最小值為()A. B. C. D.【變式1-2】(山東威?!じ呷?迹┤簦?,則的最小值為(
)A.18 B.15 C.20 D.13【變式1-3】(全國·高三一專題練習(xí))已知,,,則的最小值為(
)A.2 B.3 C. D.題型05積與和互化解不等式型【解題攻略】積與和型,如果滿足有和有積有常數(shù),則可以轉(zhuǎn)化為解不等式型。形形如求型,可以對“積pxy”部分用均值,再解不等式,注意湊配對應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù),如下:【典例1-1】(2022秋·云南·校聯(lián)考階段練習(xí))已知正數(shù)、滿足,則的最大值為(
)A. B. C. D.【典例1-2】(2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知,則的最大值為(
)A.1 B.2 C. D.4【變式1-1】(2022秋·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校校考期末)已知曲線,則的最大值為(
)A. B. C. D.【變式1-2】(重慶市實驗中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè),,,則ab的最小值是(
)A.4 B.9 C.16 D.25【變式1-3】(安徽·霍邱縣第一中學(xué)高一階段練習(xí))若,且,則的取值范圍(
) B. C. D.題型06構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對于分?jǐn)?shù)型求最值,如果復(fù)合a+b=t,求型,則可以湊配(a+m)+(b+n)=t+m+n,再利用“1”的代換來求解。【典例1-1】(福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)??迹┤羧齻€正數(shù)滿足,則的最小值為.【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,,且,那么的最小值為(
)A. B.2 C. D.4【變式1-1】(2022秋·安徽蕪湖·高三??茧A段練習(xí))已知實數(shù),且,則的最小值是(
)A.0 B.1 C.2 D.4【變式1-2】(浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知正實數(shù)滿足,則的最小值為(
)A. B. C. D.【變式1-3】(山東·高三利津縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知正實數(shù),滿足,則的最小值為.題型07湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對于分?jǐn)?shù)型求最值,如果復(fù)合pa+qb=t,求型,則可以湊配(a+m)+(b+n)=h,再利用“1”的代換來求解。其中結(jié)合所給與所求a、b的系數(shù),可以任意調(diào)換,來進(jìn)行變換湊配?!镜淅?-1】(全國·高三題練習(xí))已知,,且,則的最小值為.【典例1-2】(2023秋·全國·高三專題練習(xí))已知且,若恒成立,則實數(shù)的范圍是.【變式1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知,且,若恒成立,則實數(shù)的范圍是.【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))若三個正數(shù)滿足,則的最小值為.【變式1-3】(三課時練習(xí))已知,則的最小值為.題型08換元構(gòu)造分母和定型【解題攻略】換元型構(gòu)造分母和定型:形如型,則可以通過換元分母,再利用“1”的代換來求解?!镜淅?-1】(吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知正實數(shù)x,y滿足,則的小值為.【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知且,則的最小值為.【變式1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知,若,則的最小值是.【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知正數(shù)滿足,則的最小值為.題型09分子與分母互消型【解題攻略】滿足一般情況下可以通過“萬能K法”轉(zhuǎn)化求解設(shè)K法的三個步驟:⑴、問誰設(shè)誰:求誰,誰就是K;⑵、代入整理:整理成某個變量的一元二次方程(或不等式);⑶、確認(rèn)最值:方程有解(或不等式用均值放縮),≥0確定最值【典例1-1】(2021秋·高三單元測試)已知正數(shù),滿足,則的最小值是.【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知正數(shù),滿足,則的最大值是.【變式1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知為正數(shù),且,則的最大值為.【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,若,則的最小值是(
)A.8 B.7 C.6 D.5【變式1-3】(全國·高三專題練習(xí))已知正實數(shù),滿足,則的最大值為(
)A. B.1 C.2 D.9題型10“1”代換綜合型【典例1-1】(遼寧大連·大連二十四中校考)已知且,則的最小值等于.【典例1-2】(2021上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校??迹┤魧崝?shù),滿足等式,,,且不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為.【變式1-1】(2020上·上海徐匯·高三上海中學(xué)??迹┮阎獙崝?shù)滿足且,若,則的最小值是【變式1-2】(2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測)已知,且,則的最小值為.題型11分子消去型【解題攻略】對于分式型不等式求最值,如果分子上有變量,可以通過常數(shù)代換或者分離常熟,消去分子上變量,轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解【典例1-1】(2020·江蘇省震澤中學(xué)高三階段練習(xí))若,,,則的最小值為(
)A. B. C. D.【典例1-2】(2022秋·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知,,,則的最小值為(
)A.2 B.4 C. D.【變式1-1】(2022春·廣東韶關(guān)·高三??茧A段練習(xí))已知a,b為正實數(shù),且,則的最小值為(
)A.1 B.6 C.7 D.【變式1-2】(2023春·重慶·高三校聯(lián)考期中)已知點在線段上(不含端點),是直線外一點,且,則的最小值是(
)A. B. C. D.【變式1-3】(2022春·湖北襄陽·高三襄陽五中??计谥校┮阎龑崝?shù)滿足,則的最小值為(
)A.10 B.11 C.13 D.21題型12消元型【解題攻略】消元型:對于雙變量型不等式求最值,如果不符合常見的轉(zhuǎn)化方法,可以通過反解代入消元,轉(zhuǎn)化為單變量型不等式求最值?!镜淅?-1】(全國·高三專題練習(xí))若正實數(shù)x,y滿足x+2y+xy=7,則x+y的最小值為(
)A.6 B.5 C.4 D.3【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,則的最小值是(
)A.14 B. C.8 D.【變式1-1】(2023秋·海南??凇じ呷?奸_學(xué)考試)已知正實數(shù)a,b滿足,則的最小值是()A.2 B. C. D.6【變式1-2】(2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學(xué)??茧A段練習(xí))若,且,則的最小值為.【變式1-3】(全國·高三專題練習(xí))已知正實數(shù)、滿足,則的最小值是.題型13齊次化構(gòu)造型【解題攻略】齊次化構(gòu)造型:一般情況下,分式分子分母含有等,滿足齊次型,則可以通過分子分母同除法,構(gòu)造單變量型來轉(zhuǎn)化計算求解【典例1-1】(2023春·天津河西·高二統(tǒng)考期末)已知,則的最小值是(
)A. B.C. D.【典例1-2】(2022秋·湖北黃石·高一期中)已知x,y為正實數(shù),則的最小值為(
)A.4 B.5 C.6 D.8【變式1-1】若a,b均為正實數(shù),則的最大值為A. B. C. D.2【變式1-2】函數(shù)的最大值為()A. B. C. D.【變式1-3】已知,,則的最大值是.【變式1-4】若實數(shù)滿足,且,則的最大值為____.題型14三角換元構(gòu)造型【解題攻略】一般情況下,復(fù)合或者能轉(zhuǎn)化為型,則可以通過三角換元(圓的參數(shù)方程型)來轉(zhuǎn)化構(gòu)造,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)輔助角為主的恒等變形來計算求解最值【典例1-1】(2023春·四川宜賓·高二校考階段練習(xí))已知,則的最小值為(
)A. B. C. D.【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,則的最大值是(
)A. B. C.0 D.【變式1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,,則的最小值為.【變式1-3】(四川成都·成都七中??寄M預(yù)測)已知實數(shù)a,b,c滿足a2+b2=c2,c≠0,則的取值范圍為.題型15因式分解雙換元型【解題攻略】如果條件(或者結(jié)論)可以因式分解,則可以通過對分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解1.特征:條件式子復(fù)雜,一般有一次和二次(因式分解展開就是一次和二次),可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解:a+b+ab+1=(a+1)(b+1)【典例1-1】(2022秋·浙江溫州·高三??茧A段練習(xí))已知,,且,則的最大值為(
)A.2 B. C. D.【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,且,則的最小值為(
)A. B.1 C. D.【變式1-1】(2021江蘇高三月考)若a,b∈R,且a2+2ab?3【變式1-2】(2023春·四川宜賓·高二校考階段練習(xí))已知,則的最小值為(
)A. B. C. D.【變式1-3】(全國·高三專題練習(xí))已知且滿足,則的最小值是.題型16配方型【典例1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知a,,且,則的最大值為(
)A.2 B.3 C. D.【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知正實數(shù)a,b滿足,則的最大值為(
)A. B. C. D.2【變式1-1】(全國·高一專題練習(xí))已知實數(shù)x、y滿足,且不等式恒成立,則c的取值范圍是(
)A. B. C. D.【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知a,b為非負(fù)數(shù),且滿足,則的最大值為(
)A.40 B. C.42 D.【變式1-3】(2022秋·河北保定·高一校聯(lián)考階段練習(xí))設(shè),,若,則的最大值為.高考練場1.(2020秋·浙江紹興·高三??茧A段練習(xí))給出下面四個推導(dǎo)過程:①∵a,b為正實數(shù),∴;②∵x,y為正實數(shù),∴;③∵,,∴;④∵,,∴.其中正確的推導(dǎo)為(
)A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.(2021上·湖北武漢·高三統(tǒng)考)函數(shù)在區(qū)間上(
)A.有最大值為,最小值為0 B.有最大值為,最小值為0C.有最大值為,無最小值 D.有最大值為,無最小值3.(新疆烏魯木齊·高三新疆實驗??迹┰O(shè)x,y均為正數(shù),且,則的最小值為.4.(山東·薛城區(qū)教育局教學(xué)研究室)已知,且,則的最小值為(
)A.3 B.4 C.6 D.95.(江西撫州·高三臨川一中??茧A段練習(xí))已知,,,則的最小值為.6.(湖北恩施·恩施市第一中學(xué)??茧A段練習(xí))已知,且,,則的最小值為.7.(全國·高三專題練習(xí))若正實數(shù),滿足,則的最小值是.8.(2020·全國·高三專題練習(xí))已知正實數(shù)、滿足,,且,則的最小值為.9.(全國·高三專題練習(xí))已知、,且,則的取值范圍是.10.(重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知,且,則的最小值為.11.(2022秋·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考)已知,,且,則的最小值為(
)A.4 B. C. D.512.(2023春·天津和平·高三統(tǒng)考)已知,則的最小值是.13.(高三單元測試)函數(shù)的最大值是(
)A.2 B. C. D.14.若對任意,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是.15.(2023秋·全國·高三專題練習(xí))若實數(shù)滿足,則的最大值為.
參考答案題型01公式基礎(chǔ)【解題攻略】利用基本不等式求最值時,要注意其必須滿足的三個條件:(1)“一正”就是各項必須為正數(shù);(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時,必須驗證等號成立的條件,若不能取等號則這個定值就不是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.【典例1-1】(2020·廣東·普寧市第二中學(xué)高三階段練習(xí))下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】應(yīng)用特殊值法,即可判斷A、B、D的正誤,作差法有,即可確定C的正誤.【詳解】A:當(dāng)時,有,故不等式不一定成立,故A錯誤;B:當(dāng),即時,有,故不等式不一定成立,故B錯誤;C:恒成立,故C正確;D:當(dāng)時,有,故不等式不一定成立,故D錯誤;故選:C【典例1-2】(2021秋·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學(xué)??茧A段練習(xí))對于任意a,b∈R,下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.2【答案】D【分析】當(dāng)時,可判斷A;當(dāng)時,可判斷B;當(dāng)時,可判斷C;利用均值不等式,可判斷D.【詳解】選項A:當(dāng)時,,,不成立,故A錯誤;選項B:當(dāng)時,,,不成立,故B錯誤;選項C:當(dāng)時,,不成立,故C錯誤;選項D:由有意義,故,因此由均值不等式,,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立故D正確故選:D【變式1-1】(高三階段測試)下列說法不正確的是(
)A.x+(x>0)的最小值是2 B.的最小值是2C.的最小值是 D.若x>0,則2-3x-的最大值是2-4【答案】B【解析】由二次根式的性質(zhì)及基本不等式成立的條件逐項判斷即可得解.【詳解】對于A,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故A正確;對于B,,但,所以等號不成立,所以,故B錯誤;對于C,,當(dāng)時,等號成立,故C正確;對于D,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故D正確.故選:B.【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))下列不等式證明過程正確的是(
)A.若,則B.若x>0,y>0,則C.若x<0,則D.若x<0,則【答案】D【分析】利用基本不等式成立的條件及特值法,逐一判斷即可.【詳解】∵可能為負(fù)數(shù),如時,,∴A錯誤;∵可能為負(fù)數(shù),如時,,∴B錯誤;∵,如時,,∴C錯誤;∵,,,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即等號成立,∴D正確.故選:D.【變式1-3】(2022秋·廣東·高三深圳市寶安中學(xué)(集團(tuán))??迹┰谙铝泻瘮?shù)中,最小值是的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式,對選項中依次進(jìn)行求解判斷,特別要注意基本不等式成立的條件“一正、二定、三相等”.【詳解】對于選項A,,當(dāng)時,,即最小值不是,故選項A不符合題意;對于選項B,,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即最小值是2,故選項B不符合題意;對于選項C,,令,則,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,最小值為,故選項C不符合題意;對于選項D,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即最小值是,故選項D符合題意;故選:D..題型02基礎(chǔ)模型:倒數(shù)型【解題攻略】倒數(shù)型:,或者容易出問題的地方,在于能否“取等”,如,【典例1-1】(浙江杭州·杭州高級中學(xué)??寄M預(yù)測)已知且,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】首先求得及的取值范圍,再把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式,利用函數(shù)的單調(diào)性去求的取值范圍即可解決【詳解】由,可得,則,則,令,則,又在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,,則,即故選:C【典例1-2】(2020下·浙江衢州·高三統(tǒng)考)已知的面積為,,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】將原式分離常數(shù),然后利用正弦定理進(jìn)行邊角互化,化簡為對勾函數(shù),利用不等式求最值即可.【詳解】解:,又,==,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故選:B.【變式1-1】(2021上·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知,則的取值范圍是(
).A. B. C. D.【答案】C【分析】由,根據(jù)基本不等式得,根據(jù),,構(gòu)造對勾函數(shù),然后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性判斷最值.【詳解】因為,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,因為,所以,,令,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知,當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,當(dāng)或時,函數(shù)取得最大值,故,所以,即,同理,所以,所以,所以.故選:C.【變式1-2】(2020上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】先化簡函數(shù)為,再進(jìn)行換元,結(jié)合t的范圍,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求的最小值即得結(jié)果.【詳解】因為,定義域為.令,所以,,驗證可知利用基本不等式求最值時等號不成立.故根據(jù)對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減,可知在上遞減,所以時,,此時,故函數(shù)的最小值為.故選:C.【變式1-3】(上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)??茧A段練習(xí))若(x,)最大值記為,則的最小值為A.0 B. C. D.【答案】D【解析】設(shè),設(shè),,則,由對勾函數(shù)可得在上單調(diào)遞增,則,討論與的大小關(guān)系,進(jìn)而求解即可【詳解】設(shè),因為,所以,設(shè),,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增,所以,即,因為(x,)最大值記為,所以當(dāng),即,;當(dāng),即,,所以的最小值為故選:D.題型03常數(shù)代換型【解題攻略】利用常數(shù)代換法,可以代通過“分子分母相約和相乘”,相約去或者構(gòu)造出“倒數(shù)”關(guān)系。多稱之為“1”的代換條件和結(jié)論有“分子分母”特征;(2)可以乘積出現(xiàn)對構(gòu)型,再用均值不等式。注意取等條件結(jié)構(gòu)形式:(1)求(2)求【典例1-1】(江西·校聯(lián)考一模)已知,,是正實數(shù),且,則最小值為.【答案】【分析】由于,,是正實數(shù),且,所以先結(jié)合基本不等式“1”的代換求的最小值,得,則,再根據(jù)基本不等式湊項法求的最小值,即可求得的最小值.【詳解】解:,由于,,是正實數(shù),且,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,所以時等號成立,則的最小值為,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,則最小值為.故答案為:.【典例1-2】(2019上·山東濰坊·壽光現(xiàn)代中學(xué)校考階段練習(xí))已知正實數(shù)滿足,則的最小值為(
)A.10 B.11 C.13 D.21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】解:正實數(shù)滿足,則,,即:,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時取等號,所以的最小值為11.故選:B.【變式1-1】(上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)??计谥校┮阎?,,則的最小值為.【答案】【分析】將化為后與相乘,化簡后再利用基本不等式求解.【詳解】由題意得:,,,所以得:,所以:當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等號.故最小值為:.故答案為:.【變式1-2】(湖南株洲·統(tǒng)考)設(shè)正實數(shù)滿足,則的最小值為.【答案】/【分析】由題知,再根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】因為正數(shù)滿足,所以,,所以,,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以,的最小值為.故答案為:【變式1-3】(上海松江·高三??迹┮阎?,且,則取得最小值時的值是.【答案】/【分析】變換,展開利用均值不等式計算得到答案.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng),即,時等號成立.故答案為:題型04積與和型【解題攻略】積與和型,如果滿足有和有積無常數(shù),則可以轉(zhuǎn)化為常數(shù)代換型。形如,可以通過同除ab,化為構(gòu)造“1”的代換求解【典例1-1】(全國·高三測試)已知,,且,則當(dāng)取得最小值時,(
)A.16 B.6 C.18 D.12【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可得,將展開利用基本不等式即可求解.【詳解】因為,,所以所以.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,所以當(dāng)取得最小值時,故選:B.【典例1-2】(湖南岳陽·高三聯(lián)考)已知,,且,則的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】由已知條件變形可得,將代數(shù)式與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為,,且,則,可得,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故的最小值是.故選:C.【變式1-1】(2020·重慶市暨華中學(xué)校高三階段)已知,且,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】C【分析】將已知等式變形為,將與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為,且,則,可得,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,因此,的最小值為.故選:C.【變式1-2】(山東威?!じ呷?迹┤?,且,則的最小值為(
)A.18 B.15 C.20 D.13【答案】A【分析】變形條件為,利用“1”的技巧變形待求式,運用均值不等式即可求解.【詳解】由題意可得,則,當(dāng)且僅當(dāng),且,即,時,等號成立,所以的最小值為,故選:A【變式1-3】(全國·高三一專題練習(xí))已知,,,則的最小值為(
)A.2 B.3 C. D.【答案】D【詳解】根據(jù)題意,,∴,當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立,∴的最小值為,故選:D.題型05積與和互化解不等式型【解題攻略】積與和型,如果滿足有和有積有常數(shù),則可以轉(zhuǎn)化為解不等式型。形形如求型,可以對“積pxy”部分用均值,再解不等式,注意湊配對應(yīng)的“和”的系數(shù)系數(shù),如下:【典例1-1】(2022秋·云南·校聯(lián)考階段練習(xí))已知正數(shù)、滿足,則的最大值為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式,即可解得的最大值.【詳解】由題意得,得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.因此,的最大值為為.故選:C.【典例1-2】(2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知,則的最大值為(
)A.1 B.2 C. D.4【答案】D【分析】先化簡把單獨放在一側(cè),再應(yīng)用重要不等式把未知數(shù)都轉(zhuǎn)化為,計算求解即可.【詳解】可變形為,因為,所以,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取到最大值4.故選:D.【變式1-1】(2022秋·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校校考期末)已知曲線,則的最大值為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用,可求的最大值.【詳解】曲線,,又,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,,,,,的最大值為.故選:.【變式1-2】(重慶市實驗中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè),,,則ab的最小值是(
)A.4 B.9 C.16 D.25【答案】D【分析】利用均值不等式,把方程轉(zhuǎn)化為不等式,解之即可.【詳解】∵,,∴,令,則,即,解得,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故選:D【變式1-3】(安徽·霍邱縣第一中學(xué)高一階段練習(xí))若,且,則的取值范圍(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】化簡整理式子可得,再利用基本不等式即可求解.【詳解】由,且,則,即,由基本不等式可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,整理得,即,因為,所以,所以,解得.故選:D題型06構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對于分?jǐn)?shù)型求最值,如果復(fù)合a+b=t,求型,則可以湊配(a+m)+(b+n)=t+m+n,再利用“1”的代換來求解。【典例1-1】(福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)??迹┤羧齻€正數(shù)滿足,則的最小值為.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意為正數(shù),,所以,當(dāng)且僅當(dāng),,時等號成立.故答案為:【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,,且,那么的最小值為(
)A. B.2 C. D.4【答案】C【分析】由題意可得,再由基本不等式求解即可求出答案.【詳解】因為,,,則.當(dāng)且僅當(dāng)即時取等.故選:C.【變式1-1】(2022秋·安徽蕪湖·高三??茧A段練習(xí))已知實數(shù),且,則的最小值是(
)A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【分析】根據(jù)題意,將所求式子進(jìn)行整理變形,再利用基本不等式即可求解.【詳解】,等式恒成立,,由于,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等號.,,故的最小值為1.故選:.【變式1-2】(浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知正實數(shù)滿足,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由題可得,,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取得等號,故選:C.【變式1-3】(山東·高三利津縣高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知正實數(shù),滿足,則的最小值為.【答案】【分析】由,結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因為,所以,所以,因為為正實數(shù),所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即時等號成立,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以的最小值為,故答案為:.題型07湊配系數(shù)構(gòu)造分母和定型【解題攻略】對于分?jǐn)?shù)型求最值,如果復(fù)合pa+qb=t,求型,則可以湊配(a+m)+(b+n)=h,再利用“1”的代換來求解。其中結(jié)合所給與所求a、b的系數(shù),可以任意調(diào)換,來進(jìn)行變換湊配?!镜淅?-1】(全國·高三題練習(xí))已知,,且,則的最小值為.【答案】12【分析】,展開后利用基本不等式可求.【詳解】∵,,且,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號,故的最小值為12.故答案為:12.【典例1-2】(2023秋·全國·高三專題練習(xí))已知且,若恒成立,則實數(shù)的范圍是.【答案】【分析】依題意得,利用基本不等式“1”的代換求出的最小值,即可得解.【詳解】因為且,若恒成立,則,又,當(dāng)且僅當(dāng),即,時等號成立,所以,即實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【變式1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知,且,若恒成立,則實數(shù)的范圍是.【答案】【分析】依題意可得,利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值,即可得解.【詳解】因為,且,若恒成立,則,又,當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立,,即實數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))若三個正數(shù)滿足,則的最小值為.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意為正數(shù),,所以,當(dāng)且僅當(dāng),,時等號成立.故答案為:【變式1-3】(三課時練習(xí))已知,則的最小值為.【答案】【分析】首先利用“1”的等價變形,,再利用基本不等式求最小值.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng),即,解得是等號成立,所以的最小值是題型08換元構(gòu)造分母和定型【解題攻略】換元型構(gòu)造分母和定型:形如型,則可以通過換元分母,再利用“1”的代換來求解?!镜淅?-1】(吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知正實數(shù)x,y滿足,則的小值為.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法可得出,與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè),可得,解得,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時,即等號成立,則的小值為.故答案為:9.【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知且,則的最小值為.【答案】【分析】令,,將已知條件簡化為;將用表示,分離常數(shù),再使用“乘1法”轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】解:令,,因為,所以,則,,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,,即時取“”,所以的最小值為.故答案為:.【變式1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知,若,則的最小值是.【答案】【分析】將用與表示,湊配常數(shù)1,使用“1”的代換與基本不等式求解.【詳解】設(shè),由對應(yīng)系數(shù)相等得,得所以整理得即所以.經(jīng)驗證當(dāng)時,等號可取到.故答案為:【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知正數(shù)滿足,則的最小值為.【答案】【分析】換元后可得,再由及“1”的技巧化簡,利用均值不等式求解.【詳解】令,則,即,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,解得時等號成立,故的最小值為.故答案為:題型09分子與分母互消型【解題攻略】滿足一般情況下可以通過“萬能K法”轉(zhuǎn)化求解設(shè)K法的三個步驟:⑴、問誰設(shè)誰:求誰,誰就是K;⑵、代入整理:整理成某個變量的一元二次方程(或不等式);⑶、確認(rèn)最值:方程有解(或不等式用均值放縮),≥0確定最值【典例1-1】(2021秋·高三單元測試)已知正數(shù),滿足,則的最小值是.【答案】【分析】設(shè),則,計算利用基本不等式可得最小值,即可得的最小值,解不等式可得的最小值,即的最小值.【詳解】因為,則,設(shè),則,由,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,由即,解得:或(舍)所以,的最小值是,故答案為:.【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知正數(shù),滿足,則的最大值是.【答案】【分析】設(shè),則,同時根據(jù)均為正數(shù)確定的取值范圍,利用基本不等式可求得,解不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),則,均為正數(shù),,解得:;則(當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號),又,當(dāng),時,取得最小值;,即,解得:,滿足,的最大值為.故答案為:9【變式1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知為正數(shù),且,則的最大值為.【答案】【分析】等式化為,兩邊平方,令,由基本不等式可得,即可求出.【詳解】因為,所以,所以,即,令,則,而,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以,即,所以的最大值為8.故答案為:.【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,若,則的最小值是(
)A.8 B.7 C.6 D.5【答案】A【分析】設(shè),將變形整理,用含k的式子表示,這樣會出現(xiàn)互為倒數(shù)的形式,再利用基本不等式即可求解.【詳解】解:設(shè),則,∴∴整理得:,由得,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.∴,解得或(舍去),即當(dāng)時,取得最小值8,故選:A.【變式1-3】(全國·高三專題練習(xí))已知正實數(shù),滿足,則的最大值為(
)A. B.1 C.2 D.9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【詳解】因為,所以,所以,即所以,解得,當(dāng)且僅當(dāng),解得或時等號成立,所以當(dāng)時有最大值為9.故選:D.題型10“1”代換綜合型【典例1-1】(遼寧大連·大連二十四中校考)已知且,則的最小值等于.【答案】/【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】因為且,所以,當(dāng)且僅當(dāng)且,即,等號成立,故的最小值等于.故答案為:.【典例1-2】(2021上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校??迹┤魧崝?shù),滿足等式,,,且不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由題意可得:,由已知可得代入整理,再利用基本不等式求的最小值,再解不等式即可求解.【詳解】由題意可得:,因為,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,,所以,即,所以,解得:,所以實數(shù)的取值范圍為:,故答案為:.【變式1-1】(2020上·上海徐匯·高三上海中學(xué)??迹┮阎獙崝?shù)滿足且,若,則的最小值是【答案】【解析】將變形為,再根據(jù)“”的妙用結(jié)合基本不等式求解出的最小值.【詳解】因為,所以,所以,所以,所以,取等號時,即,所以的最小值為,故答案為:.【變式1-2】(2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測)已知,且,則的最小值為.【答案】【詳解】由基本不等式可得:≤,即≤4,當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”.又因為≥8.當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”.所以≥≥.當(dāng)且僅當(dāng)時,取“”.所以的最小值為.題型11分子消去型【解題攻略】對于分式型不等式求最值,如果分子上有變量,可以通過常數(shù)代換或者分離常熟,消去分子上變量,轉(zhuǎn)化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解【典例1-1】(2020·江蘇省震澤中學(xué)高三階段練習(xí))若,,,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】,結(jié)合基本不等式即可求出答案.【詳解】解:,因為,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即,即或時,取等號,所以的最小值為.故選:A.【典例1-2】(2022秋·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知,,,則的最小值為(
)A.2 B.4 C. D.【答案】B【分析】對原式化簡,然后根據(jù)基本不等式求解.【詳解】因為,,.所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故選:B.【變式1-1】(2022春·廣東韶關(guān)·高三??茧A段練習(xí))已知a,b為正實數(shù),且,則的最小值為(
)A.1 B.6 C.7 D.【答案】B【分析】利用已知條件將原式化為可以使用基本不等式的形式即可.【詳解】由已知條件得,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時取等號,∴的最小值為6;故選:B.【變式1-2】(2023春·重慶·高三校聯(lián)考期中)已知點在線段上(不含端點),是直線外一點,且,則的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)向量共線定理推論得,再利用基本不等式求最值.【詳解】因為因為點在線段上(不含端點),所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故選:B【變式1-3】(2022春·湖北襄陽·高三襄陽五中??计谥校┮阎龑崝?shù)滿足,則的最小值為(
)A.10 B.11 C.13 D.21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】解:正實數(shù)滿足,則,,即:,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時取等號,所以的最小值為11.故選:B.題型12消元型【解題攻略】消元型:對于雙變量型不等式求最值,如果不符合常見的轉(zhuǎn)化方法,可以通過反解代入消元,轉(zhuǎn)化為單變量型不等式求最值。【典例1-1】(全國·高三專題練習(xí))若正實數(shù)x,y滿足x+2y+xy=7,則x+y的最小值為(
)A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【分析】由,得,,利用基本不等式求解即可.【詳解】因為x+2y+xy=7,所以,所以.因為,則所以,當(dāng)且僅當(dāng),即x=1,y=2時,等號成立,所以x+y的最小值為3.故選:D【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,則的最小值是(
)A.14 B. C.8 D.【答案】A【分析】根據(jù)給定條件,用含x的式子表示,再運用基本不等式求解作答.【詳解】因為,則,于是得,當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=”,所以當(dāng)時,取最小值14.故選:A【變式1-1】(2023秋·海南??凇じ呷?奸_學(xué)考試)已知正實數(shù)a,b滿足,則的最小值是()A.2 B. C. D.6【答案】B【分析】根據(jù)變形得,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為,用湊配方式得出,再利用基本不等式即可求解.【詳解】由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即取等號.故選:B.【變式1-2】(2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學(xué)??茧A段練習(xí))若,且,則的最小值為.【答案】3【分析】由已知得,代入,然后由基本不等式得最小值.【詳解】因為,所以,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.故答案為:3.【變式1-3】(全國·高三專題練習(xí))已知正實數(shù)、滿足,則的最小值是.【答案】/【分析】由已知可得出且,化簡代數(shù)式,利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為正實數(shù)、滿足,則,由可得,所以,.當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.因此,的最小值是.故答案為:.題型13齊次化構(gòu)造型【解題攻略】齊次化構(gòu)造型:一般情況下,分式分子分母含有等,滿足齊次型,則可以通過分子分母同除法,構(gòu)造單變量型來轉(zhuǎn)化計算求解【典例1-1】(2023春·天津河西·高二統(tǒng)考期末)已知,則的最小值是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】設(shè),化二元變量問題為一元變量,結(jié)合基本不等式處理.【詳解】,設(shè),則.于是,令,則,當(dāng),即,也即時,取到最小值.故選:C【典例1-2】(2022秋·湖北黃石·高一期中)已知x,y為正實數(shù),則的最小值為(
)A.4 B.5 C.6 D.8【答案】C【分析】將原式變形,換元設(shè),然后利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由題得,設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.所以的最小值為6.故選:C.【變式1-1】若a,b均為正實數(shù),則的最大值為A. B. C. D.2【答案】B【詳解】因為a,b均為正實數(shù),則,當(dāng)且僅當(dāng),且a=1取等,即a=1,b=取等即則的最大值為,故選:B.【變式1-2】函數(shù)的最大值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得,當(dāng)且僅當(dāng)時,取最大值,故選B.【變式1-3】已知,,則的最大值是.【答案】詳解:由題得原式=,設(shè),所以原式=,令所以原式=.(函數(shù)在上單調(diào)遞減).故答案為:.【變式1-4】若實數(shù)滿足,且,則的最大值為____【詳解】實數(shù)x、y滿足x>y>0,且log2x+log2y=1,則xy=2,則,當(dāng)且僅當(dāng)x﹣y,即x﹣y=2時取等號故的最大值為,故答案為:..題型14三角換元構(gòu)造型【解題攻略】一般情況下,復(fù)合或者能轉(zhuǎn)化為型,則可以通過三角換元(圓的參數(shù)方程型)來轉(zhuǎn)化構(gòu)造,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)輔助角為主的恒等變形來計算求解最值【典例1-1】(2023春·四川宜賓·高二??茧A段練習(xí))已知,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】法一:因式分解后根據(jù)式子特征,設(shè),,從而表達(dá)出,結(jié)合基本不等式去除最小值;法二:采用三角換元,結(jié)合三角函數(shù)恒等變換,利用三角函數(shù)有界性求出最小值.【詳解】法一:∵,∴可設(shè),,∴,代入所求式子得,,當(dāng)且僅當(dāng),時等號成立.所以的最小值為.法二:設(shè),,代入已知等式得,,∴,其中,.∴,所以的最小值為.故選:D【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,則的最大值是(
)A. B. C.0 D.【答案】A【解析】利用均值不等式及三角換元法,即可得到結(jié)果.【詳解】令,等號在時取到.故選:A【變式1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.【答案】【分析】設(shè),結(jié)合三角函數(shù)定義表示,代入條件等式通過三角恒等變換和正弦函數(shù)性質(zhì)可求的最小值.【詳解】設(shè),則,則點在單位圓上,根據(jù)三角函數(shù)的定義,可設(shè),,則,則由可得,則,因為由可得,所以,即,所以,由可得,所以當(dāng)時,取得最小值,即的最小值為,故答案為:【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,,則的最小值為.【答案】【分析】把整理為完全平方式,利用三角換元法可求.【詳解】因為,所以令,解得,所以.因為,所以的最小值為.【變式1-3】(四川成都·成都七中校考模擬預(yù)測)已知實數(shù)a,b,c滿足a2+b2=c2,c≠0,則的取值范圍為.【答案】【詳解】由a2+b2=c2可設(shè)a=csinx,b=ccosx,==,可以理解為點(2,0)與單位圓上的點連線的斜率的范圍,而兩條切線的斜率為±,則的取值范圍為.題型15因式分解雙換元型【解題攻略】如果條件(或者結(jié)論)可以因式分解,則可以通過對分解后因式雙換元來轉(zhuǎn)化求解1.特征:條件式子復(fù)雜,一般有一次和二次(因式分解展開就是一次和二次),可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解:a+b+ab+1=(a+1)(b+1)【典例1-1】(2022秋·浙江溫州·高三??茧A段練習(xí))已知,,且,則的最大值為(
)A.2 B. C. D.【答案】C【分析】由已知條件可得,令,,可得,,,進(jìn)一步可得,最后利用基本不等式求出最大值即可.【詳解】,,配湊得:,兩邊同時除以4得:,即,令,,則,,,所以(當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立).故選:C.【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知,且,則的最小值為(
)A. B.1 C. D.【答案】B【分析】利用換元法表示出代入所求式子,化簡利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】因為,所以,令,則且,代入中得:當(dāng)即時取“=”,所以最小值為1.故選:B【變式1-1】(2021江蘇高三月考)若a,b∈R,且a2+2ab?3【詳解】5+14由a2+2ab﹣3b2=1得(a+3b)(a﹣b)=1,令x=a+3b,y=a﹣b,則xy=1且a=x所以a2+b2=(x+3y4)2+(x?y4)2=x2+5【變式1-2】(2023春·四川宜賓·高二??茧A段練習(xí))已知,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】法一:因式分解后根據(jù)式子特征,設(shè),,從而表達(dá)出,結(jié)合基本不等式去除最小值;【詳解】:∵,∴可設(shè),,∴,代入所求式子得,,當(dāng)且僅當(dāng),時等號成立.所以的最小值為.【變式1-3】(全國·高三專題練習(xí))已知且滿足,則的最小值是.【答案】【分析】將因式分解,令,,即可求得,代入利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】解:,令,,則,,且,所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時的最小值故答案為:.題型16配方型【典例1-1】(全國·高三專題練習(xí))已知a,,且,則的最大值為(
)A.2 B.3 C. D.【答案】C【分析】由題知,進(jìn)而得,再結(jié)合已知得,即可得答案.【詳解】解:,則,當(dāng)且僅當(dāng)時,“=”成立,又a,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,“=”成立,所以的最大值為.故選:C【典例1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知正實數(shù)a,b滿足,則的最大值為(
)A. B. C. D.2【答案】B【分析】將條件中的式子進(jìn)行配方,利用基本不等式得到關(guān)于的不等式,解不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,因為,所以,即,所以,即,因為為正實數(shù),所以,因此,故的最大值為,此時,故選:B.【變式1-1】(全國·高一專題練習(xí))已知實數(shù)x、y滿足,且不等式恒成立,則c的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由,得出,進(jìn)一步得到的最小值,再根據(jù)不等式恒成立,得出求出c的取值范圍.【詳解】解:,,當(dāng)且僅當(dāng)時“”成立,又不等式恒成立,,的取值范圍是.故選:B.【變式1-2】(全國·高三專題練習(xí))已知a,b為非負(fù)數(shù),且滿足,則的最大值為(
)A.40 B. C.42 D.【答案】D【分析】將表示成的函數(shù),利用均值不等式求出的范圍即可求解作答.【詳解】,
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