【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)湘教版】第二章 四邊形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

第二章四邊形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（本題3分）（2022下·遼寧遼陽(yáng)·八年級(jí)遼陽(yáng)市第一中學(xué)?？计谥校┰谙铝袌D形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．（本題3分）（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四個(gè)命題，其中真命題為（

）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；B．兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形；C．矩形是軸對(duì)稱圖形，且有兩條對(duì)稱軸；D．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形．3．（本題3分）（2023上·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)長(zhǎng)治市第六中學(xué)校校考期中）如圖，A，B兩地被池塘隔開(kāi)，小明在外選一點(diǎn)C，連接，分別取的中點(diǎn)D，E，為了測(cè)量A，B兩地間的距離，則可以選擇測(cè)量線段（

）

A． B． C． D．4．（本題3分）（2024上·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）菱形的面積為，一條對(duì)角線長(zhǎng)是，那么菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（本題3分）（2019下·八年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC中點(diǎn)，連接DF，F(xiàn)E，則四邊形DBEF的周長(zhǎng)是（）A．5 B．7 C．9 D．116．（本題3分）（2024上·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形對(duì)角線上取點(diǎn)，使得，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．（本題3分）（2023上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊，，的中點(diǎn)，且，則（

）

A． B． C． D．8．（本題3分）（2023上·山東威海·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．（本題3分）（2024上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將長(zhǎng)方形沿著折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，已知，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．10 D．1210．（本題3分）（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，已知四邊形為正方形，，為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以，為鄰邊作矩形，連接．下列結(jié)論：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）11．（本題3分）（2023上·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)______．12．（本題3分）（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，添加合適的條件使四邊形是平行四邊形____________．

13．（本題3分）（2023上·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是菱形，是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分，若菱形的兩條對(duì)角線分別為3和6，則陰影部分的面積為_(kāi)________．14．（本題3分）（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，．在邊上取一點(diǎn)E，使．過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________．15．（本題3分）（2019下·八年級(jí)單元測(cè)試）邊長(zhǎng)為1的一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形如圖擺放，則△ABC的面積為_(kāi)________．16．（本題3分）（2023下·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，且，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．______秒時(shí)四邊形是平行四邊形？17．（本題3分）（2023下·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為_(kāi)_____．18．（本題3分）（2023下·廣西南寧·八年級(jí)南寧三中?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)F是邊的三等分點(diǎn)，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，得到；…按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形的面積等于6，則的面積是______．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（本題6分）（2023上·福建泉州·八年級(jí)泉州五中校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)是直線BD上兩點(diǎn)，且BE＝DF，連接AF，CE求證：AF＝CE．20．（本題6分）（2024上·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）利用圖中的網(wǎng)格線（最小的正方形的邊長(zhǎng)為1）畫(huà)圖．(1)畫(huà)出，使它與是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱：(2)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．21．（本題8分）（2024上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)E是的中線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．(1)判斷四邊形的形狀并證明；(2)若，其他條件不變，四邊形又是什么特殊的四邊形，請(qǐng)證明你的判斷．22．（本題8分）（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖：在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長(zhǎng)．23．（本題9分）（2023上·山東淄博·八年級(jí)周村二中校考階段練習(xí)）如圖，在中，過(guò)A點(diǎn)作，交的平分線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，連接，交于點(diǎn)F，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)，，時(shí)，求．24．（本題9分）（2024上·廣東深圳·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，，垂足為．(1)求證：；(2)若正方形的邊長(zhǎng)是8，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．25．（本題10分）（2024上·北京西城·八年級(jí)校考階段練習(xí)）四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．(1)如圖，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將圖中的繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖所示位置，（）中所得的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（本題10分）（2023上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題初探】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師引導(dǎo)學(xué)生探究中點(diǎn)四邊形的形狀及性質(zhì)．首先，張老師給出中點(diǎn)四邊形的定義：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形；接下來(lái)張老師提出問(wèn)題：如圖1，在四邊形中，點(diǎn)，，，分別是邊，，，的中點(diǎn)，則中點(diǎn)四邊形是什么形狀？中點(diǎn)四邊形的面積與原四邊形的面積有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)各組討論，并給出證明過(guò)程．班級(jí)的“希望小組”經(jīng)討論發(fā)現(xiàn)：中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，且中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半．證明如下：證明：如圖2，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)是的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可得：與的位置關(guān)系為_(kāi)_______，數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．同理可得：，，，，四邊形是平行四邊形，根據(jù)線段，的關(guān)系，進(jìn)而可得，（1）請(qǐng)你將“希望小組”的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．且________．同理：；【類比探究】（2）在（1）問(wèn)的討論過(guò)程中，“善思小組”有了新的發(fā)現(xiàn)：中點(diǎn)四邊形的形狀還可能是菱形、矩形或正方形，中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)與對(duì)角線，長(zhǎng)度有一定的數(shù)量關(guān)系．張老師把這個(gè)問(wèn)題同時(shí)給了其它小組進(jìn)行研究．請(qǐng)你結(jié)合（1）的分析過(guò)程，解決下面的問(wèn)題：（其中①，②問(wèn)直接填空）①當(dāng)對(duì)角線，滿足________關(guān)系時(shí)，中點(diǎn)四邊形為菱形？②當(dāng)對(duì)角線，滿足________關(guān)系時(shí)，中點(diǎn)四邊形為矩形？③中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)與對(duì)角線，長(zhǎng)度有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【學(xué)以致用】（3）如圖3，在四邊形內(nèi)部有一點(diǎn)，連接，，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接，若，，，，求的長(zhǎng)．

第二章四邊形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）答案全解全析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．（本題3分）（2022下·遼寧遼陽(yáng)·八年級(jí)遼陽(yáng)市第一中學(xué)?？计谥校┰谙铝袌D形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義判斷即可．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意．故選D．2．（本題3分）（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四個(gè)命題，其中真命題為（

）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；B．兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形；C．矩形是軸對(duì)稱圖形，且有兩條對(duì)稱軸；D．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形．【答案】C【分析】本題考查矩形、菱形和正方形的判定，熟練掌握矩形、菱形和正方形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故A錯(cuò)誤；B．對(duì)角線相等互相平分的四邊形是矩形，故B錯(cuò)誤；C．矩形是軸對(duì)稱圖形，且有兩條對(duì)稱軸，故C正確；D．對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，故D錯(cuò)誤．故選：C．3．（本題3分）（2023上·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)長(zhǎng)治市第六中學(xué)校校考期中）如圖，A，B兩地被池塘隔開(kāi)，小明在外選一點(diǎn)C，連接，分別取的中點(diǎn)D，E，為了測(cè)量A，B兩地間的距離，則可以選擇測(cè)量線段（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中位線定理可得，即可得到解答．【詳解】解：是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中位線，，，即為了測(cè)量A，B兩地間的距離，則可以選擇測(cè)量線段，故選：D．4．（本題3分）（2024上·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）菱形的面積為，一條對(duì)角線長(zhǎng)是，那么菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的面積公式；設(shè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為，根據(jù)菱形的面積公式列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為，由題意得：，解得：，即菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為，故選：D．5．（本題3分）（2019下·八年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC中點(diǎn)，連接DF，F(xiàn)E，則四邊形DBEF的周長(zhǎng)是（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【詳解】試題解析：∵D、E、F分別為AB、BC、AC中點(diǎn)，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四邊形DBEF為平行四邊形，∴四邊形DBEF的周長(zhǎng)=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故選B．6．（本題3分）（2024上·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形對(duì)角線上取點(diǎn)，使得，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查的正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，故選：A．7．（本題3分）（2023上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊，，的中點(diǎn)，且，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)可得，則，，求出，最后在根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，即可求解．【詳解】∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，∴，，∴，∵點(diǎn)F為中點(diǎn)，∴，故選：B．8．（本題3分）（2023上·山東威?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角求角度，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)；根據(jù)等邊對(duì)等角求出，得到，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：D．9．（本題3分）（2024上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將長(zhǎng)方形沿著折疊，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，已知，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)及勾股定理．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵將長(zhǎng)方形沿著折疊，點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處，∴，∴，∵，∴，解得，故選：C．10．（本題3分）（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）如圖，已知四邊形為正方形，，為對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以，為鄰邊作矩形，連接．下列結(jié)論：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中結(jié)論正確的序號(hào)有（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】過(guò)作，過(guò)作于，如圖所示，根據(jù)正方形性質(zhì)得，，推出四邊形是正方形，由矩形性質(zhì)得，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，推出矩形是正方形，故①正確；根據(jù)正方形性質(zhì)得，推出，得到，，由此推出平分，故③正確；進(jìn)而求得，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到不一定等于，故④錯(cuò)誤；故選A．【詳解】過(guò)作，過(guò)作于，如圖所示，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，在和中，，∴，∴，

∴矩形是正方形，故①正確；∴，∵四邊形是正方形∴，∴在和中∴∴，∵∴平分，故③正確；

∴，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴不一定等于，故④錯(cuò)誤．故選：A二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）11．（本題3分）（2023上·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)______．【答案】10【分析】本題考查了正多邊形的外角問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和等于．根據(jù)任意多邊形的外角和等于，多邊形的每一個(gè)外角都等于，根據(jù)“多邊形邊數(shù)外角度數(shù)”，代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：∵多邊形的每一個(gè)外角都等于，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)．故答案為：10．12．（本題3分）（2023下·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，添加合適的條件使四邊形是平行四邊形_______________．

【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可求解．【詳解】解：如圖所示四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∵∴四邊形是平行四邊形，故答案為：（答案不唯一）．13．（本題3分）（2023上·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是菱形，是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的三條直線將菱形分成陰影和空白部分，若菱形的兩條對(duì)角線分別為3和6，則陰影部分的面積為_(kāi)________．【答案】4.5//【分析】本題考查了中心對(duì)稱，菱形的性質(zhì)，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半，即可得出結(jié)果．【詳解】解：標(biāo)注字母如圖所示：∵O是菱形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，菱形是中心對(duì)稱圖形，∴，四邊形四邊形，四邊形四邊形，∴陰影部分的面積．故答案為：．14．（本題3分）（2023上·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，．在邊上取一點(diǎn)E，使．過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，證是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．15．（本題3分）（2019下·八年級(jí)單元測(cè)試）邊長(zhǎng)為1的一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形如圖擺放，則△ABC的面積為_(kāi)________．【答案】【詳解】試題分析：過(guò)點(diǎn)C作CD和CE垂直正方形的兩個(gè)邊長(zhǎng)，如圖，∵一個(gè)正方形和一個(gè)等邊三角形的擺放，∴四邊形DBEC是矩形，∴CE=DB=，∴△ABC的面積=AB?CE=×1×=.16．（本題3分）（2023下·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，且，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．______秒時(shí)四邊形是平行四邊形？

【答案】3【分析】由運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，而四邊形是平行四邊形，所以，則得方程求解．【詳解】解：設(shè)秒后，四邊形是平行四邊形，，，，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，，，秒時(shí)四邊形是平行四邊形．故答案為：3．17．（本題3分）（2023下·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為_(kāi)_____．

【答案】【分析】根據(jù)正方形沿對(duì)角線的對(duì)稱性，可得無(wú)論P(yáng)在什么位置，都有；故均有成立；所以原題可以轉(zhuǎn)化為求的最小值問(wèn)題，分析易得連接與，求得交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)的位置；進(jìn)而可得，可得答案．【詳解】解：連接，正方形的對(duì)角線互相垂直平分，無(wú)論P(yáng)在什么位置，都有；故均有成立；連接與，所得的交點(diǎn)，即為的最小值時(shí)的位置，如圖所示：

此時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為，，E是的中點(diǎn)，，在中，．故答案為：．18．（本題3分）（2023下·廣西南寧·八年級(jí)南寧三中校考階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)F是邊的三等分點(diǎn)，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，得到；…按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形的面積等于6，則的面積是______．【答案】【分析】根據(jù)題意，并結(jié)合矩形的性質(zhì)可得：，，而，整理可得：，再表示出的面積，觀察規(guī)律可得：，從而可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，整理得：，同理可得：，∴，∴．故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（本題6分）（2023上·福建泉州·八年級(jí)泉州五中校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)是直線BD上兩點(diǎn)，且BE＝DF，連接AF，CE求證：AF＝CE．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】只要證明△ADF≌△CBE，即可解決問(wèn)題；【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠ADF+∠ADB＝180°，∠CBE+∠DBC＝180°，∴∠ADF＝∠CBE，∵DF＝BE，∴△ADF≌△CBE，∴AF＝CE．20．（本題6分）（2024上·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）利用圖中的網(wǎng)格線（最小的正方形的邊長(zhǎng)為1）畫(huà)圖．(1)畫(huà)出，使它與是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱：(2)將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，中心對(duì)稱變換，（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；21．（本題8分）（2024上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)E是的中線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．(1)判斷四邊形的形狀并證明；(2)若，其他條件不變，四邊形又是什么特殊的四邊形，請(qǐng)證明你的判斷．【答案】(1)四邊形是菱形，證明見(jiàn)解析(2)四邊形是正方形，證明見(jiàn)解析【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定：（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，再證，推出，結(jié)合可證四邊形是平行四邊形，結(jié)合可證平行四邊形是菱形；（2）時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，結(jié)合（1）中結(jié)論，可得四邊形是正方形．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，證明如下：在中，，是的中線，，又點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)E是的中線的中點(diǎn)，，，，，，，又，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是菱形．（2）解：四邊形是正方形，證明如下：，是的中線，，，由（1）知四邊形是菱形∴菱形是正方形．22．（本題8分）（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖：在菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)10【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理：（1）先證，結(jié)合菱形的性質(zhì)證明四邊形是平行四邊形，再結(jié)合可證四邊形是矩形；（2）由菱形的性質(zhì)得，推出，再用勾股定理解即可．【詳解】（1）解：在菱形中，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形；（2）解：在菱形中，，∵，∴，∵在矩形中，，∵，∴在中，，解得：．23．（本題9分）（2023上·山東淄博·八年級(jí)周村二中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，過(guò)A點(diǎn)作，交的平分線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，連接，交于點(diǎn)F，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)當(dāng)，，時(shí)，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)與判定，勾股定理等等：（1）先由平行線性質(zhì)和角平分線的定義推出，得到，再證明，即可證明四邊形是菱形；（2）如圖所示，連接交于O，由菱形的性質(zhì)得到，則由勾股定理得到，進(jìn)而得到，則，求出，則，推出，則．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：如圖所示，連接交于O，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．24．（本題9分）（2024上·廣東深圳·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別在，上，，垂足為．(1)求證：；(2)若正方形的邊長(zhǎng)是8，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解答；(2)【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，勾股定理．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，結(jié)合可得即可得證；（2）由題意知即可求出，則，根據(jù)勾股定理即可求出，由是中點(diǎn)可得即可解答．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，是中點(diǎn)，，．25．（本題10分）（2024上·北京西城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．(1)如圖，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將圖中的繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖所示位置，（）中所得的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，證明見(jiàn)解析；(2)結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析．【分析】（）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，證明，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到，又由，得到，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到；（）延長(zhǎng)到，使，連接，設(shè)交于，證明，得到，，設(shè)，利用四邊形內(nèi)角和可推導(dǎo)出，進(jìn)而證明，得到，，同理（）即可求證．【詳解】（1）解：，．證明：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，如圖，∵為的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴；（2）解：()中的結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，設(shè)交于，∵為的中點(diǎn)，∴，在和中，∵，∴，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∵，，∴，，設(shè)，則，，∴，∵，∴，在四邊形中，，∴，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，即，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴．26．（本題10分）（2023上·遼寧丹東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【問(wèn)題初探】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師引導(dǎo)學(xué)生探究中點(diǎn)四邊形的形狀及性質(zhì)．首先，張老師給出中點(diǎn)四邊形的定義：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形；接下來(lái)張老師提出問(wèn)題：如圖1，在四邊形中，點(diǎn)，，，分別是邊，，，的中點(diǎn)，則中點(diǎn)四邊形是什么形狀？中點(diǎn)四邊形的面積與原四邊形的面積有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)各組討論，并給出證明過(guò)程．班級(jí)的“希望小組”經(jīng)討論發(fā)現(xiàn)：中點(diǎn)四邊形是平行四邊形，且中點(diǎn)四邊形的面積是原四邊形面積的一半．證明如下：證明：如圖2，連接，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)是的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可得：與的位置關(guān)系為_(kāi)_______，數(shù)量關(guān)