湖南省邵陽市2024屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含解析

2024年邵陽市高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)滿足：，其中是虛數(shù)單位，則的值為（）A． B．1 C．2 D．42．已知全集，集合，，如圖（一）所示，則圖中陰影部分表示的集合是（）圖（一）A． B． C． D．或3．“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．下列函數(shù)對于任意，都有成立的是（）A． B． C． D．5．已知曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線也相切，則實數(shù)的值為（）A．0 B． C．1 D．0或16．甲、乙兩個工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為，乙加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的焦點(diǎn)在圓上，且圓與直線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．若對任意，有，則下列說法正確的是（）A．不為周期函數(shù) B．的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱C． D．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的有（）A．若角的終邊過點(diǎn)，則角的集合是B．若，則C．若，則D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是10．如圖（二）所示，點(diǎn)為正方體形木料上底面的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）圖（二）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)，使平面C．不存在點(diǎn)，使平面D．經(jīng)過點(diǎn)在上底面上畫一條直線與垂直，若與直線重合，則點(diǎn)為上底面中心11．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，某數(shù)學(xué)興趣小組在研究該公式時，提出了如下猜想，其中正確的有（）A． B．（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）C． D．當(dāng)時，三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中常數(shù)項是______．（用數(shù)字作答）13．宋朝詩人王镃在《蜻蜓》中寫到：“輕綃剪翅約秋霜，點(diǎn)水低飛戀野塘”，描繪了蜻蜓點(diǎn)水的情形，蜻蜓點(diǎn)水會使平靜的水面形成水波紋，截取其中一段水波紋，其形狀可近似地用函數(shù)的圖象來描述，如圖（三）所示，則______．圖（三）14．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，則______；若，，，，則的取值范圍是______．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，求的取值范圍．16．（15分）如圖（四）所示，四棱錐中，平面，，，，為棱上的動點(diǎn)．圖（四）（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．17．（15分）如圖（五）所示，已知點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，記動點(diǎn)的軌跡為．圖（五）（1）求的方程；（2）點(diǎn)是上不同的兩點(diǎn)，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，記直線與軸的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為．當(dāng)為等邊三角形，且時，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．18．（17分）某市開展“安全隨我行”活動，交警部門在某個交通路口增設(shè)電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續(xù)10日騎電動摩托車未佩戴頭盔的人數(shù)與天數(shù)的情況，對統(tǒng)計得到的樣本數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值．5.58.71.930138579.75表中，．（1）依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，與哪一個更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)與天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）依據(jù)（1）的結(jié)果和上表中的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程．（3）為了解佩戴頭盔情況與性別的關(guān)聯(lián)性，交警對該路口騎電動摩托車市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別佩戴頭盔合計不佩戴佩戴女性81220男性14620合計221840依據(jù)的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為市民騎電動摩托車佩戴頭盔與性別有關(guān)聯(lián)？參考公式：，，，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（17分）已知數(shù)列，，函數(shù)，其中，均為實數(shù)．（1）若，，，，，（?。┣髷?shù)列的通項公式；（ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．（2）若為奇函數(shù)，，，且，問：當(dāng)時，是否存在整數(shù)，使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由．（附：，）

2024年邵陽市高三第三次聯(lián)考參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．題號12345678答案BDCACDBC1．B【解析】，，．選B．2．D【解析】，或．選D．3．C【解析】若，則的圖象為：若，則的圖象為：選C．4．A【解析】（教材必修一）滿足，則函數(shù)為上凸函數(shù)，由函數(shù)的圖象可得選A．5．C【解析】，，所以曲線在點(diǎn)處的切線為：，即．聯(lián)立與，得，依題意可知，所以或1．當(dāng)時，不是拋物線，舍去．選C．6．D【解析】（教材選擇性必修三例5）設(shè)事件“任取一個零件，取到的零件是次品”，“任取一個零件，來自甲工廠”，“任取一個零件，來自乙工廠”，由題意得，，，．因為，所以．選D．7．B【解析】由題可得：，，點(diǎn)到直線的距離，所以，，則，離心率．選B．8．C【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，即，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B選項錯誤．由，得．令，則，由，得的圖象關(guān)于直線對稱．又的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則，所以，即，則可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故為周期函數(shù)，且周期為8，，所以，，D選項錯誤．又，則，所以，即，故為周期函數(shù)，A選項錯誤．由，得，，則，C選項正確．選C．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．題號91011答案ABCADBD9．ABC【解析】由三角函數(shù)的定義知A選項正確；因為，所以B選項正確；因為，所以C選項正確；設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，因為扇形所對的弧長為，所以扇形周長為，故，所以D選項不正確．10．AD【解析】（教材必修二）三棱錐中，底面的面積為定值，由平面平面可知，平面上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，則可得三棱錐的體積為定值．故A選項正確；若存在點(diǎn)使得平面，因為在正方體中，平面，所以與重合或平行，顯然這樣的點(diǎn)不存在，故B選項錯誤；因為在正方體中，平面，當(dāng)點(diǎn)與重合時，為，則存在點(diǎn)使得平面，故C選項錯誤；因為正方體中，平面，由題可得平面，所以，又因為，易得平面，則．當(dāng)與重合時，．在正方形中，則可得為與的交點(diǎn)即為上底面的中心，故D選項正確．11．BD【解析】（教材必修一）由，，則有，故A選項錯誤．由，則，又（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位），故B選項正確．，，則有，故C選項錯誤．當(dāng)時，令，則，，所以在上為增函數(shù)，則，所以在上為增函數(shù)，則，故當(dāng)時，恒成立，即．故D選項正確．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12． 13． 14．（或），12．【解析】的展開式的通項為：，令，得，故．13．【解析】由題知：，，，，時，，故，．14．（或），【解析】由及正弦定理，得，由余弦定理可知，又，．，，由余弦定理得，，與的夾角的余弦值為．又，，且，，，，四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）解：（1）由，得，令，得，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（注：單調(diào)遞增區(qū)間是否帶端點(diǎn)均給分）（2）令，解得或．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表所示：0200單調(diào)遞減1單調(diào)遞增單調(diào)遞減由函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，得方程有且僅有三個不等的實數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個交點(diǎn)．顯然，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，故．16．（15分）證明：（1）連接，取的中點(diǎn)，連接，則．又，．四邊形為平行四邊形，．，則．又平面，平面，．又，平面，平面，平面．又平面，．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)．則，依題意得，，，．則，，，．設(shè)平面的法向量為，則取，得，．．設(shè)直線與平面所成角為，則有．直線與平面所成角的正弦值為．17．（15分）解：（教材必修一例6）（1）設(shè)，則．直線的方程為，，．，．，，化簡得，其中．即的方程為：．（注：的范圍沒寫或?qū)戝e扣1分）（2）拋物線的圖象關(guān)于軸對稱，點(diǎn)在上，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)也在拋物線的圖象上．設(shè)直線的方程為，，，則．聯(lián)立方程得：整理得．，，．設(shè)，則，．三點(diǎn)共線，，．即，又，．．點(diǎn)關(guān)于軸對稱，，為等邊三角形，，直線的斜率，．由，得．，，又，，則點(diǎn)到直線的距離．設(shè)，則，且，故．在上單調(diào)遞減，．即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是18．（17分）解：（1）更適合．（2）由，得．依題意得，，所以，即．（3）零假設(shè)：市民佩戴頭盔與性別無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到：，根據(jù)小概