江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學年上學期高一期末數(shù)學檢測試卷（附解析）

江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學年上學期高一期末數(shù)學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題只有一個選項符合題意）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知為隨機事件，與互斥，與互為對立，且，則（

）A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.93．（

）A． B． C． D．4．已知，，．則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)在區(qū)間上的值域為（

）A． B．C． D．6．若，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知關于x的方程的兩個實數(shù)根一個小于1，另一個大于1，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．D．8．對于函數(shù)，若存在，使，則稱點是曲線的“優(yōu)美點”．已知函數(shù)，則曲線的“優(yōu)美點”的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分，每小題有多個選項符合題意，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．下列結論正確的是（

）A．B．的單調遞增區(qū)間是C．定義域為，則D．函數(shù)的圖像的對稱軸為直線10．下列說法正確的是（

）A．從50個個體中隨機抽取一個容量為20的樣本，則每個個體被抽到的概率為0.4B．數(shù)據(jù)11，19，15，16，19眾數(shù)是19，中位數(shù)是15C．數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7D．小明在上學的路上要經過4個路口，假設每個路口是否遇到紅燈相互獨立，且每個路口遇到紅燈的概率都是，則小明在第3個路口首次遇到紅燈的概率為11．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立C．乙與丙不相互獨立 D．丙與丁不相互獨立12．已知函數(shù).則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關于點對稱 B．C．函數(shù)在定義域上單調遞增 D．若實數(shù)a，b滿足，則三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．函數(shù)，且的圖象恒過定點，點又在冪函數(shù)的圖象上，則.14．關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是.15．已知實數(shù)，且，則的最小值是．16．已知函數(shù)，，為常數(shù)，若對于任意，，且，都有則實數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知集合，.(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.18．鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗?東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機抽取部分板栗進行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)請估計該板栗園的板栗質量的中位數(shù)；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質量在和內的板栗中抽取5顆，再從這5顆板栗中隨機抽取2顆，求抽取到的2顆板栗中至少有1顆的質量在內的概率.19．已知指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知函數(shù)，求不等式的解集．20．已知函數(shù)，且．(1)若，求方程的解；(2)若對，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21．某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時間（單位：小時）變化的關系如下：當時，；當時，．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續(xù)有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）22．定義：若對定義域內任意，都有，（為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“距”增函數(shù).(1)若，，判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；(2)若，，其中（）為常數(shù).若是“2距”增的數(shù)，求的最小值.答案：一．單選題1．B【詳解】因為集合，所以，故選：B2．B【詳解】因為事件與事件互為對立，所以，因為事件與事件互斥，則，故選：B3.A4．B【詳解】∵，∴，又，∴，∴．故選：B．5．D【詳解】函數(shù)，易得函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞減，當時，；當時，；所以函數(shù)的值域為.故選：D.6．A【詳解】當時，因為，，所以，即可以推出，充分性成立；當時，比如取，此時有，但，所以當時，不能推出，必要性不成立；故是的充分不必要條件.故選：A7．D【詳解】記，由題意可知函數(shù)有兩個零點，所以，若，則為開口向上的二次函數(shù)，要有兩個零點且一個大于1一個小于1，則，得，故；若，則為開口向下的二次函數(shù)，要有兩個零點且一個大于1一個小于1，則，得，故；綜上可知：或，即實數(shù)k的取值范圍是.故8．C【詳解】若時，，其關于原點對稱的函數(shù)是，，在同一坐標系中作出，和的圖像，如圖，圖像共有4個交點，故函數(shù)的“優(yōu)美點”共有4個.故選：C.二多選題9．ACD10．AC11．BCD【詳解】兩次取出的球的數(shù)字之和為8，有共5種情況，所以；兩次取出的球的數(shù)字之和為7，有共6種情況，所以；；對于A，，故甲與丙不相互獨立，錯誤；對于B，，故甲與丁相互獨立，正確；對于C，，故乙與丙不相互獨立，正確；對于D，，故丙與丁不相互獨立，正確.故選：BCD.12．ABD【詳解】，故，即的圖象關于點對稱，故，故A、B對；由上單調遞減，而單調遞增，所以在上遞減，又關于點對稱，故在定義域R上遞減，由，結合C分析結果知，故，所以C錯，D對.故選：ABD三.填空題13．4【詳解】由，得，所以定點，設，又，得，所以，所以，故4.14．【詳解】由不等式以及可得，依題意可知即可，令，又，由可得，利用二次函數(shù)性質可知，即可得；即實數(shù)的取值范圍是.故15．【詳解】因為，所以，，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以，即，所以的最小值是，故16[0，2]【詳解】解：對于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]單調遞增即可，當x＝1時，F(xiàn)（x）＝0，圖象恒過（1，0）點，當x＞1時，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a，當x＜1時，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a，要使F（x）在[0，2]遞增，則當1＜x≤2時，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a的對稱軸x＝，即a≤2，當0≤x＜1時，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a的對稱軸x＝，即a≥0，故a∈[0，2]，故[0，2]四.解答題17．(1)(2)【詳解】（1），解得，故，，故；（2），由于恒成立，故，又，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為.18．(1)57.5(2).【詳解】（1）因為，所以該板栗園的板栗質量的中位數(shù)在內.設該板栗園的板栗質量的中位數(shù)為，則，解得，即該板栗園的板栗質量的中位數(shù)約為57.5.（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質量在內的板栗中抽取2顆，分別記為；從質量在內的板栗中抽取顆，分別記為.從這5顆板栗中隨機抽取2顆的情況有，共10種，其中符合條件的情況有，共7種，故所求概率.19．(1)(2)【詳解】（1）若為指數(shù)函數(shù)，則，且，解得，即，所以指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為.（2）因為，可知的定義域為，且，可知為定義在上的偶函數(shù)，又因為在上單調遞增，且在定義域內單調遞增，所以在上單調遞增，且在內單調遞減，對于不等式，可得，整理得，解得，所以等式的解集為.20．(1)或(2)【詳解】（1）令，則，當時，等價于，即，得，有或，則或，所以或.（2）法一：令，由，得，依題意得恒成立，因為，所以在上恒成立，令，對稱軸，①當時，即，，得.所以.②當，即，，得.所以.綜上所述，的取值范圍為.法二：令，由，得，依題意得恒成立，令，①當時，易知在上單調遞增，且當時，，所以此時沒有最小值，即不存在使得不等式恒成立.②當時，易知在上單調遞增，故恒成立，解得，即當時，不等式恒成立.③當時，由基本不等式得，當且僅當時取等號，要使原不等式成立，須使恒成立，解得綜上所述，的取值范圍為.法三：令，由，得，依題意得恒成立，因為，所以在上恒成立，由，得，①當時，恒成立，R；②當，，所以在上恒成立，令，，則，在上單調遞減，所以，所以，的取值范圍為.③當，，所以在上恒成立，令，，則，當且僅當，即，，時等號成立，即，所以，的取值范圍為綜上所述，的取值范圍為.21．(1)8小時(2)1.6【詳解】（1）因為一次噴灑4個單位的消毒劑，所以其濃度為當時，，解得，此時，當時，，解得，此時，所以若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達8小時．（2）設從第一次噴灑起，經小時后，其濃度，因為，，所以，當且僅當，即時，等號成立；所以其最小值為，由，解得，所以a的最小值為．