第9章 靜電場的基本規(guī)律

第九章

靜電場的基本規(guī)律返回主目錄9-1

電荷電場一.電荷電荷量1.帶電體：處于帶電狀態(tài)的物體稱為帶電體。自然界的電荷電力：帶電體之間的相互作用力；同種電荷相排斥，異種電荷相吸引。電荷(電荷量)：表示物體所帶電荷的多寡程度的物理量。第九章靜電場的基本規(guī)律二.電荷的量子化原子結(jié)構(gòu)：

原子核外的電子數(shù)目等于原子核內(nèi)的質(zhì)子數(shù)目，原子呈電中性；若原子或分子由于外來原因失去(或得到)電子，就成為帶正電(或帶負電)的離子。第九章靜電場的基本規(guī)律自然界中電子或質(zhì)子所帶電荷是最小的：電子：

質(zhì)子：電荷的量子化：所有帶電體或其它粒子所帶電量都是電子或質(zhì)子所帶電量的整數(shù)倍，是以不連續(xù)的量值出現(xiàn)的。說明：由于電子的電荷量很小，所以在對宏觀帶電體的電現(xiàn)象進行研究時，可以不考慮電荷的量子性。第九章靜電場的基本規(guī)律三.電荷守恒定律如圖為感應(yīng)起電現(xiàn)象：

當帶正電的玻璃棒A移近B端時，B,C因感應(yīng)而帶電，B端帶負電，C端帶正電。這時將B,C兩部分分開，再撤走A，則B,C兩部分帶等量的異號電荷，這既是所謂的“感應(yīng)起電”現(xiàn)象。實驗表明：在感應(yīng)起電過程中所得到的兩部分電荷是相同的。第九章靜電場的基本規(guī)律

電荷只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者說，在一個與外界沒有電荷交換的孤立系統(tǒng)內(nèi)，無論發(fā)生怎樣的物理過程，該系統(tǒng)電荷的代數(shù)和保持不變。電荷守恒定律第九章靜電場的基本規(guī)律四.電場“超距作用”觀點：一個帶電體所受到的電力是由另一個帶電體直接給予的。這種作用既不需要中間物質(zhì)進行傳遞，也不需要時間，而是從一個帶電體立即到達另一個帶電體。電荷電場“場”作用觀點：兩個電荷之間相互作用是由電場傳遞的，需要時間。

電荷電場電荷

第九章靜電場的基本規(guī)律場是一種物質(zhì)，具有能量、動量和質(zhì)量。電場力：當物體帶電時，就在它的周圍激發(fā)電場，處在電場中的電荷將受到力的作用，這種力叫做電場力。第九章靜電場的基本規(guī)律

靜電場：相對于觀察者靜止的電荷所激發(fā)的電場。靜電場的主要對外表現(xiàn)：(1)引入電場中的任何帶電體都將受到電場所作用的力(2)電場能使引入電場中的導(dǎo)體或電介質(zhì)分別產(chǎn)生靜電感應(yīng)現(xiàn)象或極化現(xiàn)象(3)當帶電體在電場中移動時，電場所作用的力將對帶電體做功，這表示電場具有能量第九章靜電場的基本規(guī)律9-2庫侖定律一.點電荷之間的作用力點電荷（理想模型）：當帶電體的線度（形狀、大?。?lt;<ｒ（帶電體之間的距離）時，就可以把帶電體視為點電荷。真空中的庫侖定律：真空中的兩個點電荷和之間的相互作用力大小與兩電荷的電荷量的乘積成正比與兩電荷之間的距離的平方成反比；方向沿其連線方向，同號相排斥，異號相吸引，這種相互作用力稱為庫侖力或靜電力。第九章靜電場的基本規(guī)律矢量式：在國際單位制中的介電常數(shù)，是表征真空特性的物理量。

為對的作用力，為由指向方向的矢徑。

的方向：當與同號時，表現(xiàn)為斥力，方向沿方向；當與異號時，表現(xiàn)為引力，方向沿的反方向。第九章靜電場的基本規(guī)律二.疊加原理實驗表明：庫侖力滿足疊加原理。疊加原理的內(nèi)容：對多個點電荷的系統(tǒng)，其中任一點電荷所受的靜電力等于其它點電荷單獨存在時作用于該電荷上的靜電力的矢量和。

如圖所示：有n個點電荷組成的系統(tǒng)，另有點電荷q受到這n個點電荷的作用，根據(jù)疊加原理，則點電荷q所受庫侖力為第九章靜電場的基本規(guī)律三.電介質(zhì)中的庫侖定律無限大均勻電介質(zhì)中的庫侖定律：其中為電介質(zhì)的相對介電常數(shù)，描述了電介質(zhì)的性質(zhì)，無量綱。稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)，為真空中的介電常數(shù)。

第九章靜電場的基本規(guī)律9-3電場強度場的疊加原理1.電場強度把試探電荷放入電場的某點，實驗發(fā)現(xiàn)：（1）在給定電場中的同一點，分別放入電荷不同的試探電荷結(jié)果發(fā)現(xiàn)所受電場力的大小隨電荷的增減而增減，但比值不變。

（2）對于電場中不同的點，比值一般情況下并不相同。第九章靜電場的基本規(guī)律電場強度：

在數(shù)值和方向上等于處在該點的單位正電荷所受到的庫侖力的大小和方向。在SI中，場強單位：勻強電場：電場中各點場強的大小和方向都相同。電場力：★試探電荷應(yīng)滿足下列條件：（1）必須是幾何線度足夠小的點電荷，以便能用它來確定電場中每一點的性質(zhì)。（2）電量必須充分小，其引入電場后對原電荷及電場的分布的影響可以忽略。

第九章靜電場的基本規(guī)律二.點電荷的電場如圖所示：設(shè)真空中有一點電荷。其周圍空間內(nèi)的電場分布計算如下：

在距為r處的點（場點）放一試探電荷，則所受的電場力為，第九章靜電場的基本規(guī)律

根據(jù)電場強度的定義可得點的場強為

其中為從指向場點方向上的單位矢量。的方向如果點電荷q放置在無限大的均勻電介質(zhì)中，電介質(zhì)的介電常數(shù)為，則空間各點的場強為，第九章靜電場的基本規(guī)律三.場強疊加原理在點電荷系的電場中，試探電荷所受的電場力等于各個點電荷單獨存在時對的作用力的矢量和，由場強的定義，可得，即第九章靜電場的基本規(guī)律上式表明：電場中任一點處的總場強等于各點電荷單獨存在時在該點所產(chǎn)生的場強的矢量和，即場強疊加原理。利用疊加原理，原則上可以計算任何帶電體系所產(chǎn)生的電場的場強分布。點電荷系的場強公式：設(shè)點電荷系…處于真空中，各點電荷到場點P的矢徑分別為…由場強疊加原理，P點的總場強為，第九章靜電場的基本規(guī)律若點電荷系處在無限大的均勻電介質(zhì)中第九章靜電場的基本規(guī)律四.連續(xù)分布電荷的場強

雖然電荷是量子化的，但從宏觀來說，一般帶電體可以忽略電荷的量子性，視其電荷分布為連續(xù)分布。

任意帶電體可連續(xù)分割為無數(shù)電荷為dq的微小帶電體的集合，則dq（視為點電荷）在場點P處的場強為

由場強疊加原理，帶電體在P處的總場場強為第九章靜電場的基本規(guī)律在實際問題中，帶電體按其形狀特點，其電荷分布可簡化為體分布、面分布和線分布。（1）電荷分布為體分布的帶電體在空間激發(fā)的場強對于電荷的體分布，可取，其中為電荷的體密度，為物理小體元，帶電體在點激發(fā)的場強為

第九章靜電場的基本規(guī)律（2）電荷分布為面分布的帶電體在空間激發(fā)的場強對于電荷的面分布，可取，其中為電荷的面密度，為小面元，帶電體在點激發(fā)的場強為第九章靜電場的基本規(guī)律（3）電荷分布為線分布的帶電體在空間激發(fā)的場強對于電荷的線分布，可取，其中為電荷的線密度，為小線元，帶電體在點P激發(fā)的場強為★注意：在具體計算中，應(yīng)建立適當坐標系，寫出在各坐標軸方向上的分量式，分別積分計算的各分量，在合成矢量。第九章靜電場的基本規(guī)律五.電場求解問題舉例例題1一對等量異號點電荷-q和+q，相距為,求其連線的延長線和中垂線上一點的場強。

解：建立如圖所示的坐標系（1）其連線的延長線上任一點的場強：在延長線上任取一P，+q和-q產(chǎn)生的場強方向相反，大小分別為第九章靜電場的基本規(guī)律則P點的合場強的大小為，在處，（2）其連線的中垂線上任一點的場強：

在中垂線上任取一點P,E+和E-大小相等，方向關(guān)于x軸對稱，因此兩矢量在y軸方向上的投影互相抵消，在x軸方向上的投影大小相等，方向相同，并且沿x軸的負方向。第九章靜電場的基本規(guī)律則P點處的合場強的大小為，

其中，在處，第九章靜電場的基本規(guī)律電偶極子：若兩電荷間的距離遠小于它們到場點的距離，這樣的電荷系統(tǒng)稱為電偶極子。電偶極矩矢量（）

其中的大小為兩電荷之間的距離，方向由負電荷指向正電荷。電偶極矩矢量描述了電偶極子本身的特性。

基于此，上面的結(jié)果可記為，在延長線上，在中垂線上，第九章靜電場的基本規(guī)律例題2真空中一均勻帶電直線，常為L，帶電荷為Q，求直線外一點P處的場強。P點到直線的距離為a,到直線兩端點的連線與直線的夾角分別為θ1和θ2

。解：建立如圖所示的坐標系，此為電荷連續(xù)分布問題。在直線上距原點O為y處，取電荷元其在P點處產(chǎn)生的場強第九章靜電場的基本規(guī)律的分量，分別為:如圖所示，由幾何關(guān)系可知，代入得，第九章靜電場的基本規(guī)律兩式積分得，P點處的總場強大小為，若均勻帶電直線是無限長的，即θ1=0，θ2=π，則第九章靜電場的基本規(guī)律六.電場的圖示法—電場線

電場線：在電場中做一些有方向的曲線，讓曲線上每點的切線方向和該點的場強方向一致，這樣的曲線叫做電場線。電場線密度：通過與該點電場方向垂直的單位面積上的電場線條數(shù)。在作電場線時，使電場中任一點的電場線密度與該點的場強大小成正比，即這樣，場強的大小就可以用電場線的疏密程度反映出來。第九章靜電場的基本規(guī)律幾種簡單電場的電場線圖：正點電荷負點電荷第九章靜電場的基本規(guī)律兩個等值異號點電荷兩個等值同號點電荷第九章靜電場的基本規(guī)律靜電場的電場線的兩條最重要的性質(zhì)：（1）電場線起始于正電荷（或來自于無窮遠），終止于負電荷（或伸向無窮遠）。在沒有電荷的空間里，電場線既不會相交也不會中斷。（2）電場線不構(gòu)成閉合曲線（或者說電場線上各點的電位沿電場線方向不斷減?。?。第九章靜電場的基本規(guī)律9-3高斯定理一.電通量電通量：穿過電場中某曲面的電場線條數(shù)。用表示。（1）電場對開曲面的電通量

如下圖（a）所示，設(shè)電場為勻強電場，根據(jù)電場線密度的定義，穿過垂直于電場方向的平面S的電通量為（a）(b)第九章靜電場的基本規(guī)律若平面S與不垂直，平面S的法向矢量與的方向成θ角如圖(b)所示，則穿過S面的電通量為如果是非勻強電場，并且S面也不是平面，而是一個任意曲面，如圖（c）所示。（c）

先求出S面上任一面元的電通量

式中θ為面元的法向與該處場強

之間的夾角。第九章靜電場的基本規(guī)律則通過整個曲面S的電通量式中，常叫做面元矢量。第九章靜電場的基本規(guī)律（2）電場對封閉曲面的電通量對于電場中的封閉曲面，規(guī)定曲面上面元的法向為由內(nèi)指向曲面外。則其電通量為★注意：在電場線穿入曲面處，，電通量為負；在電場線穿出曲面處，，電通量為正。

第九章靜電場的基本規(guī)律二.高斯定理高斯定理是靜電場理論中描述電場性質(zhì)的基本定理。高斯定理的內(nèi)容：在電場中，通過一任意閉合曲面S的電通量，等于該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和除以，與閉合曲面外的電荷無關(guān)。高斯定理的數(shù)學(xué)表達式為，是閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和。第九章靜電場的基本規(guī)律（1）點電荷的電場對高斯定理的簡單討論：在點電荷q的電場中，以q為中心，以任意長度r為半徑，作一球面，如圖1所示。點電荷q的電場具有球?qū)ΨQ性，在球面上各點電場強度大小均為方向沿矢徑方向，處處與球面正交。圖1第九章靜電場的基本規(guī)律通過球面的電通量為，若曲面為任意形狀，如圖1示的s1，我們總可以選擇適當?shù)陌霃阶饕磺蛎?，將曲面包圍，由于電場線連續(xù)通過，因而通過兩曲面s1和s2的電通量必定相等，都等于。當點電荷位于曲面之外時，如圖2所示，可以看出，進入和穿出曲面的電場線條數(shù)相等。由于進入電通量為負穿出為正，所以總電通量為零。圖2第九章靜電場的基本規(guī)律(二)任意帶電體系的靜電場當閉合曲面內(nèi)包圍多個點電荷時，由于場強滿足疊加原理，所以，在電場中任取一閉合曲面，通過面的電通量為：僅指被包圍在S面內(nèi)的那部分電荷的代數(shù)和。此式表明：若干點電荷存在時的電通量等于每一點電荷產(chǎn)生的場強通過該閉合曲面電通量的代數(shù)和。第九章靜電場的基本規(guī)律高斯定理的意義：（1）指明了靜電場中電場對任意閉合曲面的電通量與曲面內(nèi)的電荷之間的量值關(guān)系。（2）揭示了電場與場源之間的聯(lián)系，說明靜電場是有源場。第九章靜電場的基本規(guī)律三.高斯定理的應(yīng)用例1求均勻帶正電球面內(nèi)外的場強分布。設(shè)球面半徑為R，帶電荷為q，如圖所示。

解：作與球殼同心且半徑為r的球形高斯面，則通過其上的電通量為

由高斯定理得，第九章靜電場的基本規(guī)律

當時，，則

當時，，則

結(jié)果表明：均勻帶電球面內(nèi)部無場強，球面外部的場強與球面上電荷全部集中在球心時產(chǎn)生的電場相同。第九章靜電場的基本規(guī)律（2）rR><（1）rREρ例2.均勻帶電球體的電場。體電荷密度為EdS=Eπ2r4.sòòEπ2r4=ρπ3R43ε0ρ=Er3ε0ρE=R33r2ε03=ρπ3r4ε01Rε0Rε0Er高斯面r高斯面=R33r2ε0π3R43q.第九章靜電場的基本規(guī)律均勻帶電球體電場強度分布曲線REρEOρR3rRε0第九章靜電場的基本規(guī)律<rR例3

均勻帶電圓柱面的電場。沿軸線方向單位長度帶電量為Er高斯面l=0=00=Eπr2l=0E=得：..上底EdS下底EdS++sòòsòòE.dS=側(cè)E.dSsòòsòò=側(cè)EdSsòò第九章靜電場的基本規(guī)律λ（2）rR>=0=0E高斯面lrπrλE=2得：ε0EdS=側(cè)EdS..sòòsòò下底上底EdSEdS++..sòòsòò=λEπr2l=lε0第九章靜電場的基本規(guī)律Eσ=ES+ES=0

例4.3

均勻帶電無限大平面的電場σE=2ε0=Sσε0E.dS=側(cè)E.dS左底E.dS右底E.dS++sòòsòòsòòsòòS高斯面E返回結(jié)束第九章靜電場的基本規(guī)律9-5電場力的功電勢一.電場力的功（1）在點電荷Q的電場中，電場力對試探電荷q做的功。設(shè)q從電場中的a點沿任意路徑移動到b點，電場力對q所作的元功為式中第九章靜電場的基本規(guī)律當q從電場中的a點沿任意路徑移動到b點時，電場力對q所作的總功為（2）在任意點電荷系的電場中，電場力對試探電荷q所作的功（推廣）第九章靜電場的基本規(guī)律★結(jié)論：試驗電荷在任何靜電場中移動時，靜電場力所做的功只與路徑的起點和終點位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)，說明靜電場力是保守力。第九章靜電場的基本規(guī)律（三）靜電場的環(huán)路定理

在靜電場中，將單位正電荷沿任意閉合路徑繞行一周，靜電場力對它所作的功為零。

靜電場力的功和作功的路徑無關(guān)，靜電力是一保守力，因此可以引入勢能的概念。E=.dll0ò上式為靜電場的環(huán)路定理的數(shù)學(xué)形式?！镬o電場的環(huán)路定理：（1）揭示了靜電場的能量的性質(zhì)（2）表明靜電力是保守力第九章靜電場的基本規(guī)律二.電勢能（電位能）由于電場力是保守力，在描述靜電場的性質(zhì)時，引入電勢能的概念。靜電力的功=靜電勢能增量的負值。

設(shè)Wa和Wb分別為試探電荷q在起點a和終點b的電勢能，則，

對于電勢能，通常規(guī)定電荷q在無窮遠處的靜電勢能為零，即令W∞=0，則電荷q在電場中a點的靜電勢能為：★注意：（1）電勢能有正有負（2）電勢能是屬于一定系統(tǒng)的第九章靜電場的基本規(guī)律三.電勢、電勢差電勢Wa==Uaq0E.dla8ò電勢的意義：a點的電勢在數(shù)值上等于將單位正電荷從a點移到無窮遠處靜電場力對它所作的功?！镒⒁猓弘妱菔菢肆?，可正可負。第九章靜電場的基本規(guī)律電勢差Edla=.bòUbUa=Edla8Edlb8..òòUbUa=Edla.bò

在靜電場中兩點間的電位差，在數(shù)值上等于把單位正電荷從a點移到b點時，電場力所作的功。

注意：在實際應(yīng)用中，用到的往往是兩點間的電勢差，而不是某一點的電勢，因此電勢為零的點是可以任意選取的。第九章靜電場的基本規(guī)律4.電勢求解問題（1）點電荷電場中電勢的分布=UpE.dl8pò=επ2r4q8p0drcos0ò0Ur+UrπU=εr4q0qErdr第九章靜電場的基本規(guī)律（2）點電荷系的電場中各點的電勢U1=UiU2+=Σ+對于點電荷系：q2q1Pr1r2επr4qii=UΣ0επr4q11επr4q22=U++00E.dl8p=2E.dl8p1++òò+=E8p(+E).dl21ò=UpE.dl8pò第九章靜電場的基本規(guī)律3.連續(xù)帶電體的電勢επr4qd=Ud0επr4qd=U0ò真空中

無限大均勻電介質(zhì)中第九章靜電場的基本規(guī)律例題1求距偶極子相當遠處一點的電勢。解：如圖所示，設(shè)偶極子中點O與場點P的距離為r（r>>）OP與的夾角為θ，根據(jù)電勢疊加原理，則P電勢為，因為r>>，所以，則其中第九章靜電場的基本規(guī)律[例2]求一均勻帶電圓環(huán)軸線上一點的電勢。已知：q,R,x。4πdUεroqd=πε4o=R2x2+()12qdqRxPrπεr4o1U=qdPò第九章靜電場的基本規(guī)律[例3]求一均勻帶電球面的電勢。已知：q,R。1.rR≤(球內(nèi)任意一點)π=ε4oqRπR0dr+=8ε2r4oqò.dlE內(nèi).dlE外+=R8rRòò.dlEU=8rò=0qR