《數(shù)字通信原理》課件第3章

第3章信源編碼理論3.1信源編碼的基本原理3.2脈沖編碼調(diào)制3.3自適應(yīng)差分脈沖編碼調(diào)制

3.4增量調(diào)制3.5語音壓縮編碼簡介3.1信源編碼的基本原理

3.1.1抽樣

1.抽樣定理

1)低通抽樣定理

低通抽樣定理：一個頻帶限制在Fm赫內(nèi)的時間連續(xù)信號f(t)，如果以Ts≤1/2Fm秒的間隔對它進行等間隔抽樣，那么f(t)將被所得到的抽樣值完全確定。證明假設(shè)抽樣脈沖序列是周期為Ts的單位沖激函數(shù)，其數(shù)學(xué)表示式為(3-1)抽樣過程實際上是用信號f(t)與抽樣脈沖序列相乘，因此已抽樣信號fs(t)表示式為

fs(t)=f(t)·δTs(t)

(3-2)令f(t)的頻譜函數(shù)為F(ω);fs(t)的頻譜函數(shù)為Fs(ω);

δTs(t)是周期性的單位沖激函數(shù)，其頻譜函數(shù)為δωs(ω)，即(3-3)其中ωs=2π/Ts。根據(jù)式(3-2)，利用頻域卷積定理求Fs(ω)，即(3-4)

式(3-4)表明，已抽樣信號頻譜Fs(ω)是低通信號頻譜F(ω)以抽樣速率為周期進行延拓形成的周期性頻譜，它包含了F(ω)的全部信息。圖3-1所示為抽樣過程的波形及其頻譜。圖3-1抽樣過程的波形及其頻譜圖3-2所示為信號的抽樣與恢復(fù)過程方框圖。圖3-2抽樣與恢復(fù)過程方框圖由圖3-2抽樣及信號恢復(fù)過程可以看到，F(xiàn)(ω)可以由Fs(ω)通過理想低通濾波特性(即門函數(shù))G2ωm(ω)得到，即

F(ω)=TsFs(ω)G2ωm(ω)

(3-5)

利用時域卷積定理可以得到

f(t)=Ts［fs(t)*g(t)］(3-6)

其中(3-8)(3-7)

所以(3-9)式(3-9)稱為抽樣定理的時域表示式，該式表明一個連續(xù)信號f(t)可以由一系列時間上離散的抽樣值f(nTs)完全的確定。而且當這些抽樣值分別經(jīng)過Sa［2πFm(t－nTs)］加權(quán)后，將重現(xiàn)連續(xù)信號f(t)。也可以說，f(t)可分解為無窮多個抽樣函

數(shù)(即Sa函數(shù))，每個抽樣函數(shù)的系數(shù)分別為不同時刻的抽樣

值f(nTs)，每個抽樣函數(shù)的最大值分別出現(xiàn)在nTs時刻，圖3-3

畫出了抽樣定理時域表示式的部分波形。圖3-3抽樣函數(shù)之和第一，抽樣前用一個帶限的低通濾波器濾除Fm以上的頻率成分，使被抽樣信號f(t)頻帶受限。因為實際被抽樣的信號f(t)總是時間有限的，所以它不是帶限信號，但它們的能量主要集中在有限頻帶內(nèi)。第二，抽樣速率fs要比2Fm大一些，一般取fs=(2.5～3)Fm。因為實際應(yīng)用中使信號恢復(fù)的低通濾波器不可能是理想的，如圖3-4所示,所以為了防止減弱因幅度和相位不理想造成的失真，通常選擇抽樣速率略大于奈奎斯特速率。例如語音信號通常為300Hz～3400Hz，抽樣速率一般取8000Hz。圖3-4低通濾波器的頻率特性(a)幅頻特性;(b)相頻特性

2)帶通抽樣定理

帶通信號的頻帶限制在［fL,fH］，其中fL為最低頻率分量，fH為最高頻率分量，其帶寬為B=fH－fL。任何帶通信號

都可以通過混頻將其頻譜轉(zhuǎn)換成低通型的基帶信號。

2.脈沖振幅調(diào)制

脈沖調(diào)制是以時間上離散的脈沖串作為載波的調(diào)制技術(shù)，根據(jù)模擬基帶信號改變脈沖參數(shù)(幅度、寬度和時間位置)的不同，將其分為脈沖幅度調(diào)制(PAM)、脈沖寬度調(diào)制(PDM)和脈沖位置調(diào)制(PPM)，其波形如圖3-5所示。圖3-5脈沖調(diào)制波形

(1)自然抽樣(曲頂抽樣)。自然抽樣是指抽樣后的脈沖幅度(頂部)隨被抽樣信號f(t)變化，即在同一個抽樣間隔內(nèi)幅度不是平的，而是變化的，因此又稱曲頂抽樣。自然抽樣是用模擬信號f(t)與周期性窄脈沖序列s(t)相乘得到的，其抽樣與恢復(fù)方框圖如圖3-6所示。圖3-6自然抽樣與恢復(fù)方框圖因為矩形窄脈沖序列s(t)的頻譜為(3-10)其中ωs=2π/Ts。自然抽樣PAM信號fs(t)=f(t)·s(t)的頻譜為(3-11)圖3-7描述了自然抽樣過程的信號波形及頻譜分布情況。從圖中可以看出，自然抽樣與理想抽樣的頻譜非常相似，也是由無限多個間隔為ωs的F(ω)頻譜之和組成。由于n=0時的輸出頻譜函數(shù)為(Aτ/Ts)F(ω)，與原信號頻譜F(ω)只差一個系數(shù)Aτ/Ts，因而也可用低通濾波器從Fs(ω)中取出F(ω)，從而恢復(fù)原始信號f(t)。圖3-7自然抽樣信號波形及頻譜(ωs=2ωH)

(2)平頂抽樣。平頂抽樣是指抽樣后的脈沖幅度(頂部)保持不變，即在同一個抽樣間隔內(nèi)幅度是平的，其波形如圖

3-8(a)所示。平頂抽樣將模擬基帶信號f(t)先用理想沖激脈沖序列進行抽樣，然后將抽樣值通過一個線性網(wǎng)絡(luò)(脈沖形成電路)，形成一系列幅度為抽樣值、并具有一定寬度的矩形脈沖序列，其抽樣與恢復(fù)如圖3-8(b)所示。在圖3-8(b)中，產(chǎn)生平頂脈沖的線性網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為H(ω)，接收端為了恢復(fù)信號f(t)，有相應(yīng)的倒數(shù)網(wǎng)絡(luò)1/H(ω)。由于線性網(wǎng)絡(luò)的作用是把單位沖激脈沖變?yōu)榉葹锳、脈沖寬度為τ的矩形脈沖，因此它的傳輸特性為(3-12)

由式(3-4)和(3-12)可以得到平頂抽樣信號的頻譜為(3-13)由式(3-13)可見，平頂抽樣的PAM信號頻譜是由H(ω)加權(quán)后的周期性重復(fù)的F(ω)所組成的。圖3-8平頂抽樣波形及抽樣過程(a)波形;(b)抽樣與恢復(fù)為了從已抽樣信號中恢復(fù)原模擬基帶信號f(t)，在接收端低通濾波器之前先用傳輸特性為1/H(ω)的網(wǎng)絡(luò)加以修正，此時低通濾波器輸入信號頻譜為

(3-14)因此通過低通濾波器便能無失真恢復(fù)原模擬基帶信號f(t)。3.1.2量化

1.均勻量化

1)基本概念

若將量化范圍均勻等分為N個量化區(qū)間，則N稱為量化級數(shù)或量化電平數(shù)。在均勻量化中，每個量化區(qū)間的量化電平均取在各區(qū)間的中點，如圖3-9所示，即量化區(qū)間［xi－1,xi)的量化電平為中間值qi。當抽樣值x(nTs)落入任一量化區(qū)間時，就用相應(yīng)區(qū)間的量化電平qi來代替。量化間隔Δ取決于輸入信號的變化范圍和

量化級數(shù)。假設(shè)輸入信號的最小值和最大值分別用a和b表示，量化級數(shù)為N，則均勻量化時的量化間隔為(3-15)量化器輸出為

xq=qi

xi－1≤x≤xi

(3-16)

式中，xi=a+iΔ為第i個量化區(qū)間的終點；qi=(xi+xi－1)/2為第I

個量化區(qū)間的量化區(qū)間的量化電平，其中i=1,2,…,N。圖3-9量化過程示意圖

2)量化噪聲

在圖3-9中，模擬信號x(t)以Ts為抽樣間隔進行等間隔抽樣，并以N=7為量化級數(shù)進行等間隔量化后得到量化信號xq(t)。其中量化值xq(nTs)是對抽樣值x(nTs)的近似。當抽樣間隔一定時，量化級數(shù)的增加和量化電平選擇適當，可以使xq(nTs)和x(nTs)的近似程度提高。但是，量化值與抽樣值之間總會存在一定的誤差，稱為量化誤差，表示為

e(nTs)=x(nTs)－xq(nTs)(3-17)

由于這種誤差的影響相當于干擾或噪聲，因此又稱為量化噪聲。值得注意的是，量化噪聲僅存在于有輸入信號時。為了方便，一般都用簡化符號x表示x(nTs)，xq表示xq(nTs)，e表示e(nTs)。正常區(qū)量化誤差指抽樣值在量化范圍內(nèi)由于量化而產(chǎn)生的誤差，又稱未過載區(qū)量化誤差，此時|e|≤Δ/2。過載區(qū)量化誤差指抽樣值超出量化范圍時量化產(chǎn)生的誤差，此時量化值

保持不變，|e|>Δ/2。當量化特性(即量化器輸入與輸出的關(guān)系)曲線如圖3-10(a)所示時，量化誤差與輸入信號之間的關(guān)系曲線如圖3-10(b)所示。圖3-10量化特性及量化誤差曲線(a)量化特性曲線;(b)量化誤差曲線

3)量化信噪比

量化噪聲功率Nq的計算公式為(3-18)式中，E是求統(tǒng)計平均；f(x)是信號x的概率密度函數(shù)；N是量化級數(shù)；fi=a+iΔ，qi=a+iΔ－Δ/2。信號功率的計算公式為如果已知隨機變量x的概率密度函數(shù)，便可計算出量化信噪比。(3-19)

【例3-1】設(shè)一個均勻量化器的量化間隔為Δ，量化級數(shù)為N，輸入信號x(t)在(－a,a)內(nèi)的概率分布是均勻的，計算該量化器的量化噪聲功率和對應(yīng)的量化信噪比。

解由題意可知，x(t)的概率密度函數(shù)為

量化噪聲功率為因為量化級數(shù)N=2a／Δ，所以(3-20)式(3-20)表明，量化噪聲功率僅與量化間隔Δ有關(guān)。當量化間隔確定時，或者說當量化范圍和量化級數(shù)一旦確定，量化噪聲功率為一常量Δ2/12。由式(3-19)可得信號功率為(3-21)因此量化信噪比為(3-22)如果以分貝(dB)為單位，則量化信噪比表示為(3-23)式中，l為編碼位數(shù)。

2.非均勻量化

1)基本概念

非均勻量化時的量化信噪比可以表示為

SNR非均勻(dB)=SNR均勻(dB)+QdB

(3-24)

式中，，表示信噪比的改善程度。

2)實現(xiàn)方法

壓縮是將經(jīng)量化的樣值信號先進行非線性變換，使原來的輸入信號的動態(tài)范圍變小，壓縮器對小信號增益大，而對大信號則增益小，如圖3-11所示，再將壓縮器輸出的信號進行均勻量化，從而使小信號的量化信噪比得到改善，收端則用擴張器以恢復(fù)原抽樣信號。圖3-11壓擴特性示意圖(a)壓縮特性;(b)擴張?zhí)匦栽O(shè)壓縮前的信號為x，壓縮后的信號為y，則壓縮特性可寫為y=g(x);擴張是壓縮的反變換，故為x=g－1(y)。

實際系統(tǒng)中常采用對數(shù)式壓擴特性，即壓縮器的特性為y=lnx。廣泛采用的兩種對數(shù)壓擴特性是μ律壓擴和A律壓擴。其中北美和日本采用μ律壓擴，我國和歐洲采用A律壓擴。歸一化μ律特性為0≤x≤1(3-25)式中，y為歸一化壓縮器輸出電壓；x為歸一化壓縮器輸入電壓；μ為壓縮參數(shù)，表示壓縮程度。

μ律壓縮特性曲線如圖3-12(a)所示。由圖可見，當μ=0時，壓縮特性是通過原點的一條直線，故沒有壓縮效果；當μ值增大時，壓縮作用明顯，對改善小信號的性能有利。一般當μ=100時，壓縮效果就比較理想了。目前國際上對語音信號采用μ=255的壓擴標準。需要說明的是，μ律壓縮特性曲線是關(guān)于原點奇對稱的，圖3-12(a)中只給出了第一象限的壓縮特性。圖3-12對數(shù)壓縮特性(a)μ律壓縮特性;(b)A律壓縮特性歸一化A律特性為(3-26)式中，x、y分別為歸一化輸入輸出電壓;A為壓縮參量。

3)A律13折線

A律13折線的產(chǎn)生是從非均勻量化的基點出發(fā)，用13折

線近似A=87.6的A律壓縮特性。其形狀如圖3-13所示，圖中x表示歸一化輸入信號，y表示歸一化輸出信號，具體產(chǎn)生方法如下。圖3-13A律13折線壓縮特性(僅畫第1象限)

(1)x軸采取不均勻的劃分，在0～1范圍內(nèi)采取對分法劃分為8段，第一分點取在1/2處，第二分點取在1/4處，以后每個分點都取在剩余段的1/2處，直到1/128處為止。

(2)y軸采取等分法，在0～1范圍內(nèi)均勻地劃分為8段，每段間隔均為1/8。

(3)把x軸和y軸各對應(yīng)段的交點連接起來構(gòu)成8段直線，如圖3-13所示。8段直線的斜率分別是16、16、8、4、2、1、1/2、1/4，其中第1、2段的斜率相同，可視為一條直線段，因此實際上只有7根斜率不同的折線。以上分析的是正方向，因為信號有正、負兩個極性，所以負方向也有一組與正方向?qū)ΨQ的折線。第1、2段斜率與正方向的第1、2段斜率相同(均為16)，又可以合并為一根，因此正負方向共有13根折線，故稱其為13折線。

上面得到了13折線，還要進一步加以量化，量化后再進行編碼。在y軸表示的輸出信號被均勻地劃分為8段的基礎(chǔ)上，再將每段均勻地分成16等份，此時輸出信號共有128個

量化級，每一級的量化間隔均為(1/8)÷16=1/128。由13折線可以看出，輸出信號y的均勻量化對應(yīng)到輸入

信號x是非均勻量化。因此將y軸的每段進行16等份時，輸入信號x在不被均勻地劃分為8段的基礎(chǔ)上，也將每段再均勻地分成16等份，這樣輸入信號共有128個量化級。這128個量化級是不均勻的，小信號時，量化間隔?。淮笮盘枙r，量化間隔大。最小的是第1段，輸入信號在0～1/128之間，因此其量

化間隔Δ1=(1/128)÷16=1/2048；在第2段，輸入信號在1/128～1/64之間，其量化間隔Δ2=(1/128)÷16=1/2048；

在第3段，輸入信號在1/64～1/32之間，其量化間隔為Δ3=(1/64)÷16=1/1024；依此類推，在第8段的量化間隔Δ8=(1/2)÷16=1/32。由此可見，最小量化間隔與最大量化

間隔之間相差64倍。為了計算方便，通常將Δ1=1/2048定義為一個基本量化

單位，用Δ0表示，此時每一段的起始電平分別為0、16、32、64、128、256、512、1024個基本量化單位，每一段的量化間隔分別為1、1、2、4、8、16、32、64，總的量化電平為2048個基本量化單位。因此，如果以基本量化單位Δ0為量化間隔進行均勻量化時，其量化級數(shù)為2048，編碼位數(shù)為l=lb2048=11；而采用非均勻量化時，其量化級數(shù)僅為128，編碼位數(shù)為l=lb128=7。下面分析用A律(A=87.6)對信號進行非線性量化時的量化信噪比。對式(3-26)求導(dǎo)，可得A=87.6時的值為(3-27)由式(3-27)可見，當x=1時，放大量縮小為0.1827，顯然大信號比小信號下降很多，這樣就起到了壓縮的作用。3.1.3編碼

常用的二進制編碼有三種：自然二進碼、反射二進碼

和折疊二進碼。表3-1列出了用4位碼表示16個量化級時的這三種二進制編碼。

1)自然二進碼

自然二進碼就是人們熟悉的二進碼，用(an，an－１，…，a1)表示，每個碼元只有兩種狀態(tài)，取“1”或“0”，一組自然二進碼代表的量化電平為

Q=an2n－1+an－12n－2+…+a120

(3-28)

式中，n為二進碼位數(shù)。

例如自然二進碼1011，碼位數(shù)n=4，則

Q=1×24－1+0×24－2+1×24－3+1×24－4=23+21+20=11

2)反射二進碼(格雷碼)

設(shè)反射二進碼為(cn，cn－1，…，c1)，且各碼元取“1”或“0”，則對應(yīng)的量化電平為

Q=cn(2n－1)±cn－1(2n－1－1)±…±c1(21－1)

(3-29)

式中，“±”號的取法是除去所有c=0的各項后，從最高位開始，依次?。?，－，＋，－…。例如反射碼1011，因n=4，cn=c4=1，c3=0，c2=1，c1=1，除去c3=0項，可得

Q=1×(24－1)－1×(24－2－1)+1×(24－3－1)=13

3)折疊二進碼

折疊二進碼用(bn，bn－1，…，b1)表示，它可由自

然二進碼變換而得。其編碼規(guī)則為bn=an，bi=an⊕ai。由表

3-1所列折疊二進碼可見，除最高位外，折疊碼的上半部分與下半部分呈倒影即折疊關(guān)系，故稱為折疊碼。折疊碼的電平值可利用an=bn，ai=bn⊕bi的關(guān)系將其還原為自然二進碼再求量化電平值。例如，折疊二進碼0000可變?yōu)樽匀欢M碼0111所以Q=22+21+20=7。

3.2脈沖編碼調(diào)制

3.2.1PCM通信系統(tǒng)原理

語音通信中的PCM調(diào)制系統(tǒng)原理方框圖如圖3-14所示。抽樣器完成對模擬信號f(t)的抽樣得到∑f(nTs);壓縮器與量化器構(gòu)成非均勻量化器，壓縮器是對∑f(nTs)進行非線性變換，經(jīng)非均勻量化后可以壓縮數(shù)字信號的等效比特率和提高小信號的量化信噪比;編碼器完成將∑f′(nTs)變成數(shù)字代碼的功能。圖3-14PCM調(diào)制系統(tǒng)原理方框圖對于電話信號，由于其頻帶寬度為300Hz～3400Hz，抽樣頻率為8000Hz，為了保證一定的語音質(zhì)量，對每一抽樣脈沖采用8位編碼，即用8位二進制數(shù)字進行編碼，因此每一路標準話路的等效比特速率為Rb=8000×8=64kb/s。3.2.2PCM編碼

1.碼位的選擇與安排

段落碼與段落之間的關(guān)系、段內(nèi)碼與16個量化級之間的關(guān)系分別見表3-2和表3-3。

2.編碼器

逐次比較型編碼方法類似于天平稱重。天平稱重時，一邊放被測物體，另一邊放砝碼。假設(shè)天平的測量范圍為0g～128g(相當于抽樣值的取值范圍)，7個砝碼分別為64g、32g、16g、8g、4g、2g、1g(相當于7位二進制碼的權(quán)值)。當被測物的重量為90g(相當于某一時刻的量化抽樣值)，其測量過程如下：在天平的一邊先放64g的砝碼，判定被測物的重量是比砝碼重還是輕，如果重，那么砝碼保留；如果輕，那么去掉該砝碼。然后用同樣的方法將32g、16g、8g、4g、2g、1g的砝碼依次測定。于是，重量為90g的被測物體有如下測量結(jié)果：

64g(留)+32g(去)+16g(留)+8g(留)+4g(去)+2g(留)+1g(去)

=90g如果以二進制碼0和1分別代表砝碼的去和留，那么可得到自然二進碼1011010。逐次比較型編碼器就是參照上述原理構(gòu)成的，其原理方框圖如圖3-15所示。它由整流器、保持電

路、比較器及本地譯碼電路組成。圖3-15逐次比較型編碼器原理方框圖比較器是編碼器的核心，它通過對輸入樣值電流的絕對值|IS|和標準電流IW進行比較，從而對輸入信號的抽樣值實現(xiàn)非線性量化編碼。即每進行一次比較便輸出一位二進制代碼，且當|IS|>IW時，輸出“1”碼；反之輸出“0”碼。由于在13折線A律中用7位二進制代碼來代表段落碼和段內(nèi)碼，因此對一個輸入信號的抽樣值需要進行7次比較,且每次所需的標準電流IW均由本地譯碼電路提供。

【例3-2】設(shè)輸入信號抽樣值為+1270個基本量化單位，試采用逐次比較型編碼將它按13折線A律特性編制成8位碼。解編碼過程如下：

(1)確定極性碼(D1)。

因輸入信號抽樣值為正，故極性碼D1=1。

(2)確定段落碼(D2D3D4)。

①選IW1=128，確定D2。因|IS|=1270>IW1，故D2=1，|IS|處于5～8段；

②選IW2=512，確定D3。因|IS|=1270>IW2，故D3=1，

|IS|處于7、8段；

③選IW3=1024，確定D4。因|IS|=1270>IW3，故D4=1，確定|IS|處于第8段；

上述3次比較得到了段落碼為111，|IS|=1270處在第8段。

(3)確定段內(nèi)碼(D5D6D7D8)。

段內(nèi)碼是在已經(jīng)確定輸入信號所處段落的基礎(chǔ)上，用

來表示輸入信號處于該段的哪一量化級的。第8段的起始電

平IB8＝1024個量化單位，該段的量化間隔為Δ8＝64個量化

單位。①確定D5選標準電流IW4=段落起始電平+8Δ8=1024+8×64=1536個量化單位，|IS|<IW4，D5=0，|IS|處于第

8段中0～7量化級。

②確定D6選標準電流IW5=段落起始電平+4Δ8=1024+4×64=1280個量化單位，|IS|<IW5，D6=0，|IS|處于第

8段中0～3量化級。③確定D7選標準電流IW6=1024+2Δ8=1024+2×64=

1152個量化單位，|IS|>IW6，D7=1,|IS|處于第8段中2～3量化級。④確定D8選標準電流IW7=1024+3Δ8=1024+3×64=

1216個量化單位，|IS|>IW7，D8=1，說明輸入信號處在第8段中3量化級。3.2.3PCM譯碼

電阻網(wǎng)絡(luò)型譯碼器的原理方框圖如圖3-16所示，它與逐次比較型編碼器中的局部譯碼器類似。圖3-16電阻網(wǎng)絡(luò)型譯碼器原理方框圖

【例3-3】假設(shè)收到的8位PCM碼組為11110011，求譯碼器的輸出。

解譯碼過程如下：

(1)判斷極性：因為D1=1，所以樣值脈沖極性為正。

(2)計算譯碼值：由段落碼D2D3D4＝111可知，樣值脈沖處于第8段，起始電平為IB8＝1024，量化間隔為Δ8＝64。由段內(nèi)碼D5D6D7D8＝0011可知，樣值脈沖處于該段的3量化級；同時為了減少量化誤差，必須加上所在段的半個量化間隔，因此譯碼值為個量化單位所以譯碼器輸出為+1248個量化單位。3.2.4PCM系統(tǒng)的抗噪性能

現(xiàn)用D(t)表示在接收端輸出中由系統(tǒng)本身的信號變換所引入的失真分量，n(t)表示干擾所引起的輸出失真分量，g(t)表示輸出的有用信號分量，則接收端的輸出電壓x(t)可表示為

x(t)=g(t)+D(t)+n(t)(3-30)在輸出端各種失真分量都可視為噪聲。在以下的分析中，假設(shè)D(t)僅為量化引起的噪聲，即量化噪聲;n(t)為加性干擾引起的加性噪聲。由于量化噪聲與加性噪聲的來源不同，而且它們互不依賴，彼此間是獨立的，因此可以分別進行討論。一般來說，系統(tǒng)的抗噪聲性能與信噪比有關(guān)。系統(tǒng)總的信噪比的定義為(3-31)在加性噪聲為高斯白噪聲的情況下，每一碼組中出現(xiàn)的誤碼可認為是彼此獨立的?，F(xiàn)設(shè)每個碼元的誤碼率為Pe，分析圖3-17所示的一個自然碼組由于誤碼而造成的誤差功率。圖3-17一個自然編碼碼組示意圖在一個長為n的自然編碼碼組中，假定自最低位到最高位的加權(quán)數(shù)值分別為20、21、22、…、2i－1、…，2n－1，量化間隔為Δ，則第i位對應(yīng)的抽樣值為2i－1Δ。如果第i位碼發(fā)生誤碼，那么其產(chǎn)生的誤差為±(2i－1Δ)。顯然，最高位誤碼所造成的誤差最大為±(2n－1Δ)，最低位誤碼造成的誤差最小，只有±Δ。因為假定每個碼元出現(xiàn)錯誤的可能性相同，所以在一個碼組中只有一個碼元發(fā)生錯誤時，產(chǎn)生的均方誤差(誤差平均功率)為(3-32)由于22n>>1，因此式(3-32)可簡化為(3-33)當一個碼組發(fā)生錯誤時(假設(shè)是僅由一位誤碼造成的)，接收端譯碼器輸出一個相應(yīng)的誤差抽樣值，其誤差均方值為σ2n；當一個碼組不發(fā)生差錯時，譯碼器輸出的抽樣值無誤。因此，誤碼引起的接收端輸出噪聲功率就由這些抽樣值誤差的均方值σ2n確定。考慮到每個碼元發(fā)生誤差的概率為Pe，則一個碼組出現(xiàn)誤碼的概率為nPe。當誤碼率Pe比較小時,由于誤碼而造成的平均輸出噪聲功率Nn可近似為(3-34)因此，在這種情況下，由加性噪聲產(chǎn)生的誤碼信噪比為(3-35)當同時考慮量化噪聲和信道加性噪聲時，PCM系統(tǒng)輸出端的總信噪比為(3-36)

由式(3-36)可知，PCM系統(tǒng)的輸出信噪比與誤碼率和編碼位數(shù)有關(guān)。在接收端輸入大信噪比的條件下，即當4Pe22l<<1時，

且Pe很小，可以忽略誤碼帶來的影響，這時PCM系統(tǒng)的信

噪比主要取決于量化信噪比；在小信噪比的條件下，即當4Pe22l>>1時，且Pe較大，這時PCM系統(tǒng)的信噪比主要取決

于誤碼信噪比。在PCM基帶傳輸系統(tǒng)中，通常使誤碼率降到10－6是很容易實現(xiàn)的，因此可按式(3-36)來估計PCM系統(tǒng)的抗噪性能。3.3自適應(yīng)差分脈沖編碼調(diào)制

3.3.1差分脈沖編碼調(diào)制

實現(xiàn)DPCM的一種方法是根據(jù)前面的k個樣值預(yù)測當前

的樣值，然后對當前樣值與預(yù)測值之間的差值進行量化編

碼。DPCM系統(tǒng)的原理方框圖如圖3-18所示，其中fn為發(fā)送

端輸入模擬信號樣值，為接收端輸出重建信號樣值，

en是輸入信號fn與預(yù)測信號的差值，eqn是量化后的差值，cn是eqn信號經(jīng)編碼后輸出的數(shù)字碼。圖3-18DPCM系統(tǒng)原理方框圖預(yù)測器輸出樣值與其輸入樣值的關(guān)系滿足

式中，ai是預(yù)測系數(shù);k是預(yù)測階數(shù)。它們都是常數(shù)。式

(3-37)表明是前k個樣值的加權(quán)和。(3-37)由于編碼器中的預(yù)測器與譯碼器中的預(yù)測器完全相同，因此，在信道傳輸無誤碼的情況下，譯碼器輸出的重建信號樣值與編碼器的完全相同。DPCM系統(tǒng)的總量化誤差e定義為編碼器輸入信號樣值fn與譯碼器輸出信號樣值之差，即有(3-38)由式(3-38)可知，在這種DPCM系統(tǒng)中，總量化誤差e只與差值信號的量化誤差有關(guān)。因此，系統(tǒng)的總量化信噪比為(3-39)式中，Gp是預(yù)測增益，可以理解為DPCM系統(tǒng)相對于PCM系統(tǒng)而言的信噪比增益；(S/Nq)q是將差值序列作為輸入信號時量化器的量化信噪比，與PCM系統(tǒng)的量化信噪比相當。3.3.2自適應(yīng)差分脈沖編碼調(diào)制

這種量化器與預(yù)測器的參數(shù)能根據(jù)輸入信號的統(tǒng)計特性自適應(yīng)于最佳或接近于最佳參數(shù)狀態(tài)的DPCM系統(tǒng)稱為自適應(yīng)差分脈沖編碼調(diào)制系統(tǒng)。一種兼有自適應(yīng)量化和自適應(yīng)預(yù)測的ADPCM系統(tǒng)原理方框圖如圖3-19所示。圖3-19ADPCM系統(tǒng)原理圖(a)編碼器;(b)譯碼器其中自適應(yīng)量化是使量化級隨輸入信號的統(tǒng)計特性自適應(yīng)的改變，即用預(yù)測值去控制量化級差，使量化間隔隨信號的大小不同而自適應(yīng)變化，從而提高量化信噪比。自適應(yīng)預(yù)測是使預(yù)測器系數(shù)隨輸入信號的統(tǒng)計特性自適應(yīng)調(diào)整，保證預(yù)測值與原樣值最接近，即預(yù)測誤差最小，從而提高預(yù)測增益。理論表明，自適應(yīng)量化可使信噪比改善4dB～7dB，自適應(yīng)預(yù)測可使預(yù)測增益達到6dB～11dB。自適應(yīng)量化與自適應(yīng)預(yù)測的結(jié)合使用，可大大提高ADPCM系統(tǒng)的信噪比，或者說可以用較少的編碼位數(shù)使ADPCM系統(tǒng)獲得滿意的通信質(zhì)量。數(shù)碼率為24kb/s～32kb/s的ADPCM編碼信號質(zhì)量相當于數(shù)碼率為64kb/s的PCM編碼信號質(zhì)量，使傳輸效率提高一倍。

3.4增量調(diào)制

3.4.1增量調(diào)制的基本原理

1.編碼原理

假設(shè)模擬信號f(t)可以用一個時間間隔為Δt、幅度差為±σ的階梯波形f′(t)去逼近，如圖3-20所示。只要Δt足夠小，即抽樣頻率fs=1/Δt足夠高，且σ足夠小，則f′(t)可以相當?shù)亟朴趂(t)。把σ稱做量階，Δt=Ts稱為抽樣間隔。圖3-20用階梯波或鋸齒波逼近模擬信號由圖3-20可見，增量調(diào)制實際上是用一個階梯波f′(t)或一個鋸齒波f0(t)來逼近模擬信號f(t)。顯然,抽樣頻率越高，即Ts=1／fs越小，且σ越小，則階梯波就越逼近f(t)，其誤差就越小。

一個簡單的ΔM編碼器的原理方框圖如圖3-21所示。它由減法器、抽樣器、判決器和本地譯碼器組成，其中本地譯碼器可以是一個RC積分電路。圖3-21ΔM編碼器原理方框圖編碼器的工作過程：輸入模擬信號f(t)與本地譯碼器的輸出電壓f′(t)同時送到減法器，得到相減電壓Δf(t)，即

Δf(t)=f(t)－f′(t)

(3-40)

將其送至抽樣器，得到周期為Ts的抽樣電壓Δfs(t)。然后送到判決器，判決器對Δfs(t)的極性進行判決，若Δfs(t)＞0，則輸出“1”碼；若Δfs(t)＜0，則輸出“0”碼。

2.譯碼原理

與編碼原理相對應(yīng)，譯碼也有兩種情況，一種是收到

“1”碼上升一個量階σ(跳變)，收到“0”碼下降一個量階σ(跳變)，這樣就把二進制代碼經(jīng)過譯碼后變成f′(t)這樣的階梯波。另一種是收到“1”碼后產(chǎn)生一個正斜變電壓，在Δt時間內(nèi)上升一個量階σ；收到一個“0”碼產(chǎn)生一個負斜變電壓，在Δt時間內(nèi)下降一個量階σ,這樣就把二進制碼經(jīng)過譯碼后變成f0(t)這樣的鋸齒波?？紤]到在電路上實現(xiàn)的簡易程度，一般都采用后一種方法。這種方法可用一個簡單RC積分電路把二進制碼變?yōu)閒o(t)

波形，再將鋸齒波通過低通濾波器就可以得到復(fù)制的模擬信號f(t)。所以ΔM信號的譯碼器可由積分器和低通濾波器組成，如圖3-22所示。圖3-22ΔM譯碼原理方框圖3.4.2簡單增量調(diào)制

在以上討論的增量調(diào)制編譯碼過程中，量階σ是固定不變的，稱為簡單增量調(diào)制。其系統(tǒng)組成方框圖如圖3-23所示。發(fā)送端編碼器主要由減法器(比較器)、判決器及本地譯碼器(積分器)組成;接收端主要由積分器和低通濾波器組成，其中積分器的結(jié)構(gòu)與本地譯碼器結(jié)構(gòu)相同。圖3-23簡單增量調(diào)制系統(tǒng)組成方框圖

1.一般量化誤差和過載量化誤差

簡單增量調(diào)制和PCM調(diào)制相似，由于原始模擬信號和量化信號不一致而存在量化誤差。根據(jù)量化誤差取值大小的不同，分為一般量化誤差和過載量化誤差。

一般量化誤差是指量化誤差e(t)=f(t)－f′(t)的絕對值小于σ，即|e(t)|<σ。該量化誤差在－σ到+σ的范圍內(nèi)隨機變化，如圖3-24所示。圖3-24ΔM的一般量化誤差過載量化誤差發(fā)生在原始模擬信號f(t)變化比較陡(斜率比較大)，而本地譯碼器產(chǎn)生的斜變波f′(t)跟不上f(t)變化的時候，如圖3-25所示。此時|e(t)|會大大超過σ，而不能限制在－σ到+σ的范圍內(nèi)變化，這種現(xiàn)象稱為過載現(xiàn)象;它所產(chǎn)生

的失真稱為過載失真。這種現(xiàn)象在正常工作中必須避免，而且是可以避免的。圖3-25過載現(xiàn)象示意圖防止過載的方法就是讓原始信號f(t)最大斜率的絕對值不大于斜變波的斜率，即

由式(3-41)可以看出，為了不發(fā)生過載，應(yīng)使σfs足夠大，這可以通過提高σ或fs的值來達到。當σ增大時，一般量化誤差也會增大，故σ應(yīng)適當選取。在實際系統(tǒng)中，通過選取足夠高的抽樣頻率fs以避免過載現(xiàn)象的發(fā)生。在正常通信中，不希望發(fā)生過載現(xiàn)象，實際上也是對

輸入信號的一個限制。假設(shè)輸入信號為正弦信號，即f(t)=

Asinωt，其斜率為

(3-42)輸入信號斜率的最大值為Aω，所以不發(fā)生過載的條件是(3-43)由式(3-43)可知，輸入信號的最大允許幅度值(臨界過載幅度值)Amax為

由式(3-44)可以看出，當信號斜率一定時，輸入信號的最大允許幅度值A(chǔ)max隨信號頻率的增加而減小，這將導(dǎo)致語音信號高頻段的量化信噪比下降。(3-44)用式(3-44)分析在不同頻率時允許的最大信號幅度的變化規(guī)律。令ω=ω0時信號的允許幅度Am=σfs/ω0，則任意頻率時允許的最大信號幅度與Am相比為若用dB數(shù)表示,則為(3-45)(3-46)由式(3-46)可給出最大允許幅度與頻率之間的關(guān)系曲線，稱為過載特性曲線，如圖3-26所示。圖中的斜線為臨界線，當信號幅度使Amax/Am的值在斜線以上時，就產(chǎn)生過載現(xiàn)象，造成嚴重失真；若在斜線以下，則不會出現(xiàn)過載現(xiàn)象，為

工作區(qū)。例如當信號幅度比Am小18dB時，所允許的最高頻率為2kHz;而當它比Am小24dB時，所允許的最高頻率就可達4kHz。圖3-26過載特性曲線

2.編碼動態(tài)范圍

上面分析表明，正常編碼時信號的幅度將受到限制，稱Amax為最大允許編碼電平。同樣，對能正常開始編碼的最小信號幅度也有要求。不難分析，最小編碼電平為(3-47)因此，簡單增量調(diào)制系統(tǒng)編碼的動態(tài)范圍定義為最大允許編碼電平(Amax)與最小編碼電平(Amin)之比，即(3-48)這是編碼器能夠正常工作的輸入信號范圍，將式(3-44)和式(3-47)代入式(3-48)，得(3-49)當f=800Hz時，抽樣頻率fs與De(dB)的關(guān)系列于表3-4。由表3-4可見，簡單增量調(diào)制的編碼動態(tài)范圍較小，在傳碼率較低時，不符合語音質(zhì)量要求，通常語音信號的動態(tài)范圍要求40dB～50dB。

3.簡單增量調(diào)制系統(tǒng)的抗噪性能

1)量化信噪比

在不過載條件下，量化誤差e(t)的值總在－σ到+σ范圍之內(nèi)。假設(shè)隨時間隨機變化的e(t)在(－σ,+σ)區(qū)間上均勻分布，即概率密度函數(shù)f(e)=1/2σ,－σ≤e(t)≤σ，則量化噪聲功率，即e(t)的均方值為(3-50)因為e(t)的最小周期為Ts=1／fs，而大于Ts的任意周期可

能出現(xiàn),所以可認為噪聲的頻譜是從0～fs均勻分布的，這樣量化噪聲的功率譜密度為(3-51)由于接收端譯碼器之后接有低通濾波器，它的截止頻率為Fm，F(xiàn)m是信號的最高頻率，因此通過低通濾波器后的輸出量化噪聲功率為(3-52)當輸入信號為正弦信號時，f(t)=Asinωt，其功率為A2/2。在過載的臨界條件下，該信號的幅度為Amax，所以最大信號功率為A2max/2。這時最大量化信噪比SNRmax為(3-53)因為Amax=σfs／ω，所以式(3-53)可簡化為(3-54)

2)誤碼信噪比

被傳輸?shù)臄?shù)字信號由于疊加了加性噪聲而出現(xiàn)了誤碼。對于雙極性二進碼，誤碼就是使原來的碼改變了極性，如圖3-27所示。它可看成是原碼與一個極性相反、幅值加倍(2E)

的錯碼疊加的結(jié)果。帶有錯碼的波形(見圖(b))，即是無錯碼波形(見圖(a))與錯碼波形(見圖(c))相加的結(jié)果。因而，分析帶有錯碼波形對系統(tǒng)性能的影響，可歸結(jié)

為考察錯碼波形(c)帶來的影響。假設(shè)每個碼元出錯的概率

為Pe，則錯碼的平均功率或均方電壓值為

σ2n=(2E)2Pe

(3-55)

式中，E為信號碼元脈沖的電壓幅度。圖3-27ΔM發(fā)生誤碼時的波形(a)無錯碼波形;(b)有錯碼波形;(c)錯碼波形由于錯碼的寬度等于Ts，因此功率譜密度主要集中在0到第一零點1/Ts的頻帶范圍內(nèi)，如圖3-28所示。圖中曲線以下部分的面積表示錯碼波形(見圖(c))的絕大部分功率。由圖可以看出，錯碼波形的功率譜密度在0～fs的頻率范圍內(nèi)并非是均勻分布的，但是曲線以下部分的面積可等效成虛線下的面積。這就是說錯碼波形的功率譜密度在0～fs/2范圍內(nèi)可以認為是平坦的，而在其余范圍內(nèi)可認為功率譜為0。這樣可求得錯碼波形的功率譜密度為(3-56)圖3-28錯碼功率譜密度其傳遞函數(shù)為(3-57)式中，F(xiàn)2(ω)、F1(ω)分別是f2(t)和f1(t)的傅里葉變換。(3-58)(3-59)圖3-29積分器輸入、輸出波形錯碼經(jīng)RC積分器譯碼后再經(jīng)低通濾波器輸出，RC積分器如圖3-29所示。

于是積分器輸出的功率譜密度Pno(f)為(3-61)由式(3-61)發(fā)現(xiàn)：當f→0時，Pno(f)→∞。這說明，在f=0時，Pno(f)是沒有定義的。實際的基帶信號f(t)(例如語音信號)的最低頻率總是大

于零頻率的，比如頻帶也應(yīng)設(shè)計成f1～fm，這時便可得到錯碼波形通過低通濾波器后的輸出功率(3-62)因?qū)嶋H上fm>>f1，故式(3-62)可簡化為(3-63)已知輸入信號為正弦信號時，其最大信號功率為A2max/2,因此系統(tǒng)的最大誤碼信噪比為(3-64)

4.PCM系統(tǒng)與ΔM系統(tǒng)的比較

1)抽樣速率

在PCM系統(tǒng)中，抽樣速率是根據(jù)抽樣定理來確定的，即fs≥2Fm，其中Fm是信號的最高頻率。在ΔM系統(tǒng)中，由于傳送的不是信號本身的樣值，而是信號的增量，因此其抽樣速率不是根據(jù)抽樣定理來確定的。為了防止過載的發(fā)生，當達到與PCM系統(tǒng)具有相同的信噪比時，ΔM系統(tǒng)的抽樣速率fs>>2Fm。

2)帶寬

在PCM系統(tǒng)中，其數(shù)碼率為

fbPCM=lfs(3-65)

式中，l是二進制編碼位數(shù);fs是抽樣速率。因此，在無碼間串擾和采用理想低通的情況下，傳輸PCM信號需要的最小信道帶寬為

(3-66)

實際應(yīng)用時，如果采用升余弦傳輸特性，則傳輸PCM信號需要的帶寬為

BPCM=fb=lfs(3-67)在ΔM系統(tǒng)中，由于每次抽樣只編一位碼，因此其數(shù)碼率fbΔM=fs，所需的最小帶寬為在相同的語音質(zhì)量要求下，PCM系統(tǒng)的抽樣速率fs=8kHz，編碼位數(shù)l=8，因此其數(shù)碼率為64kHz，要求信道的最小帶寬為32kHz；而ΔM系統(tǒng)的抽樣速率至少為100kHz，此時最小帶寬為50kHz。

3)量化信噪比

對PCM系統(tǒng)來說，其量化信噪比為

(3-68)

它與編碼位數(shù)l呈線性關(guān)系。當ΔM系統(tǒng)與PCM系統(tǒng)的碼元速率相同時，ΔM系統(tǒng)的抽樣速率fs=2lFm(此時PCM系統(tǒng)的抽樣速率為奈奎斯特速率，即fs=2Fm)，代入式(3-54)，可得量化信噪比為(3-69)由式(3-69)可見，ΔM系統(tǒng)的量化信噪比與編碼位數(shù)l呈

對數(shù)關(guān)系，且與Fm/f有關(guān)。當取Fm/f=3000/1000時，可畫

出ΔM系統(tǒng)與PCM系統(tǒng)的量化信噪比與編碼位數(shù)的關(guān)系曲線,

其示意圖如圖3-30所示。圖3-30PCM系統(tǒng)與ΔM系統(tǒng)的性能比較示意圖

4)信道誤碼的影響

在ΔM系統(tǒng)中，由于每一個誤碼只造成一個量階的誤差，因此它對誤碼不太敏感，對信道誤碼率的要求較低，

一般在10－3～10－4。在PCM系統(tǒng)中，由于每一個誤碼會造成較大的誤差，尤其是高位碼元，錯一位可造成許多量階的誤差，因此它對信道誤碼率的要求較高，一般在10－5～10－6。

5)設(shè)備復(fù)雜性

PCM系統(tǒng)的特點是多路信號統(tǒng)一編碼，設(shè)備復(fù)雜，但語音質(zhì)量好，一般用于大容量的干線通信系統(tǒng)中。ΔM系統(tǒng)的特點是單路信號獨用一個編碼器，設(shè)備簡單，在單路應(yīng)用時，不需要收/發(fā)同步設(shè)備;但在多路應(yīng)用時，每路獨用一套編/譯碼器，路數(shù)增多,設(shè)備成倍地增長。3.4.3改進型增量調(diào)制

1.增量總和調(diào)制

增量總和調(diào)制的基本原理方框圖如圖3-31(a)所示。它與簡單增量調(diào)制的主要區(qū)別在于它是將輸入信號先進行積分，使信號高頻分量幅度下降，再進行簡單增量調(diào)制。在接收端必然要進行一次微分，以補償發(fā)送端積分后引起的頻率失真。圖3-31增量總和調(diào)制基本原理方框圖(a)基本原理方框圖;(b)基本原理簡化方框圖由圖3-31可見，Δ-Σ調(diào)制與簡單增量調(diào)制明顯不同。在簡單增量調(diào)制中，輸出代碼脈沖c(t)反映了相鄰兩個抽樣值變化量的正和負，這個變化量就是增量，增量又有微分的含義，所以c(t)攜帶輸入信號的微分信息或斜率信息。簡單增量調(diào)制實際上是斜率跟蹤器。而Δ-Σ調(diào)制卻不同，它輸出