計量經濟學第11章聯立方程模型講義資料

聯立方程模型程建華Wednesday,January15,2025安徽大學經濟學院計量經濟學講義11.1聯立方程模型的引入單方程回歸模型：單個因變量（Y）可以表示為若干個解釋變量（X）的函數。只考慮X對Y的影響，不考慮Y對X的影響。聯立方程模型(SimultaneousEquationRegressionModel)：包含不止一個回歸方程，而且變量之間存在反饋關系的回歸模型。11.2聯立方程模型的性質例11.1凱恩斯收入決定模型消費函數：Ct＝B1＋B2*Yt＋ut(11.1)收入恒等式：Yt＝Ct＋It(11.2)t是時間；u是隨機擾動項；It＝St。這是最簡單的廠商－居民兩部門的國民收入理論。注意該模型的特點：（1）B2的經濟含義仍然是邊際消費傾向；（2）消費C對國民收入Y的反作用；（3）假定投資I是外生決定的，比如由私人部門決定。11.2聯立方程模型的性質例11.1凱恩斯收入決定模型消費函數：Ct＝B1＋B2*Yt＋ut(11.1)收入恒等式：Yt＝Ct＋It(11.2)(11.1)和(11.2)表示了一個包含兩個內生變量C和Y的雙方程模型。每個內生變量對應一個方程。決定內生變量變化，描述經濟中某個部門結構或行為的方程稱之為結構(structural)方程或行為(behavioral)方程。例如方程(11.1)。反映經濟變量恒等關系的方程稱為恒等式(identity)，也稱為約束(constrained)方程。結構方程中的系數，例如B1和B2，稱為結構系數。11.3聯立方程的偏誤——OLS估計量的不一致性例11.1凱恩斯收入決定模型消費函數：Ct＝B1＋B2*Yt＋ut(11.1)收入恒等式：Yt＝Ct＋It(11.2)利用以前的最小二乘法系數類似的可得B2的估計量b2：(11.3)現在的問題是：當方程(11.1)滿足古典線性回歸模型的7大假定＋約束方程后(11.3)式所得到的估計量是否還是最優(yōu)線性無偏的？答案是否定的。11.3聯立方程的偏誤——OLS估計量的不一致性隨機誤差項ut與解釋變量Yt是否相關？(11.4)從方程(11.4)可以得到國民收入Y不但取決于投資I，還取決于隨機誤差項ut，因此方程(11.1)不能用OLS估計方程中的參數。如果用OLS估計，那么得到的也是有偏估計量，甚至是非一致的。結論：聯立方程使用OLS不合適！11.3聯立方程的偏誤——OLS估計量的不一致性方程(11.4)和(11.5)所示的方程是內生變量表示為外生變量和隨機項的方程，此類方程稱為簡化方程(reducedformequation)。(11.4)(11.5)11.4聯立方程的求解——間接最小二乘法間接最小二乘法就是通過簡化方程求解原始的回歸方程。(11.5)將簡化方程改寫成方程(11.6)形式，并估計方程(11.6)的系數：(11.6)反過來求B1和B2：(11.7)(11.8)11.4聯立方程模型的識別利用間接最小二乘法可以估計聯立方程模型中的參數，能否總是通過簡化方程求解原始的回歸方程呢？例11.2需求和供給模型：(11.9)(11.10)(11.11)方程(11.9)—(11.11)的內生變量是Qt和Pt。02468101214765421QP11.4聯立方程模型的識別........P對Q的散點圖02468101214765421QP11.4聯立方程模型的識別DSDSDSDS每一點都表示了需求曲線和供給曲線的交點。024681012147654321EQPs2PD2QD1S111.4聯立方程模型的識別既不能決定供給曲線，也不能決定需求曲線。024681012147654321EQPsPD2QD1D311.4聯立方程模型的識別供給曲線確定。為什么？024681012147654321EQPs3PDQs1s211.4聯立方程模型的識別需求曲線確定。為什么？11.4聯立方程模型的識別識別問題(identification)：能否唯一估計方程參數的問題。恰度識別(exactlyidentified)：能夠唯一的估計方程參數。不可識別(unidentified)：無法估計方程參數。過度識別(overidentified)：方程中的一個或幾個參數有若干個估計值。11.4聯立方程模型的識別X+Y=03X+2Y=1X=1，Y＝－1X+Y=0X+Y=1方程無解X+Y＋Z=02X+3Y＋3Z=3X=0，Y＝－Z，無數解11.4聯立方程模型的識別X+Y=03X+2Y=1X=1，Y＝－1X+Y=0X+Y=1方程無解X+Y＋Z=02X+3Y＋3Z=3X=0，Y＝－Z，無數解不可識別恰度識別11.4聯立方程模型的識別如何知道聯立方程有什么樣的解呢？以例11.2為討論對象。例11.2需求和供給模型：(11.9)(11.10)(11.11)方程(11.9)—(11.11)的內生變量是Qt和Pt。11.4聯立方程模型的識別（1）不可識別情形從供給等于需求均衡條件出發(fā)得到：(11.12)(11.13)(11.16)(11.14)(11.15)(11.17)(11.18)兩個方程(11.13)和(11.16)，需要決定四個未知參數A1、B1、A2、B2，需求和供給方程都是不可識別的。11.4聯立方程模型的識別（2）恰度識別情形其中，Xt是消費者收入。從供給等于需求均衡條件出發(fā)得到：(11.21)(11.19)(11.20)11.4聯立方程模型的識別（2）恰度識別情形從方程(11.21)可以求得均衡的價格Pt及其系數：(11.24)(11.22)(11.23)(11.25)11.4聯立方程模型的識別（2）恰度識別情形應用均衡價格Pt代入需求函數和供給函數獲得均衡需求量：(11.28)(11.26)(11.27)(11.29)11.4聯立方程模型的識別（2）恰度識別情形可以用OLS估計簡化形式的回歸方程(11.22)和(11.26)：(11.26)(11.22)簡化形式的回歸方程(11.22)和(11.26)有4個回歸系數π1~π4。但原始的需求函數和供給函數有5個結構系數A1、A2、A3、B1和B2。4個回歸系數如何決定5個結構系數？11.4聯立方程模型的識別（2）恰度識別情形(11.32)(11.30)B1和B2可由π1~π4唯一確定，供給函數是恰度識別的。但A1、A2和A3卻不能由π1~π4唯一確定，因為其中至少有一個結構參數是自由的，因此需求函數是不可識別的。結論：在聯立方程系統(tǒng)中，如果一個方程包含了系統(tǒng)內的所有變量（內生的和外生的），那么它將不能識別。(11.31)(11.33)11.4聯立方程模型的識別（3）過度識別情形其中，Xt是消費者收入，Wt是消費者財富。從供給等于需求均衡條件出發(fā)得到：(11.36)(11.34)(11.35)(11.37)11.4聯立方程模型的識別（3）過度識別情形(11.38)(11.39)7個結構系數可由π1~π8定求得，但不一定是唯一的，有可能有多個解。11.4聯立方程模型的識別（3）過度識別情形(11.40)(11.41)7個結構系數可由π1~π8定求得，但不一定是唯一的，有可能有多個解。(11.42)11.4聯立方程模型的識別（3）過度識別情形7個結構系數可由π1~π8定求得，但不一定是唯一的，有可能有多個解。比如B2就有兩種計算方式，但估計值并不一定相等。(11.43)11.4聯立方程模型的識別聯立方程模型識別總結：聯立方程模型中的方程可識別性分為三類：（1）不可識別：方程結構系數不可解，即使增大樣本容量（2）恰度識別：應用間接最小二乘法可唯一確定方程結構系數（3）過度識別：利用間接最小二乘法得不到方程唯一結構系數，但可利用二階段最小二乘法（two-stageleastsquares,2SLS）求過度識別模型的結構系數。11.5如何判定模型可識別類型識別的階條件：m—模型中內生變量的個數k—不包括在該方程中的所有變量（內生與外生）的個數（1）若k＝m－1，方程恰度識別（2）若k>m－1，方程過度識別（3）若k<m－1，方程不可識別11.6過度識別方程的估計：兩階段最小二乘法例11.3貨幣數量論中的國民收入模型(11.44)(11.45)其中，Y＝收入，M＝貨幣存量，I＝投資支出，G＝政府商品和勞務支出，u1、u2＝隨機誤差項，假定I和G是外生變量首先判定系統(tǒng)m=2，收入方程包含了所有變量，因此k＝0，從而它是不可識別的；貨幣供給方程少了兩個變量，因此k＝2，k>m－1＝1，從而是過度識別的。11.6過度識別方程的估計：兩階段最小二乘法例11.3貨幣數量論中的國民收入模型(11.44)(11.45)兩階段最小二乘法的基本思想：假定在貨幣供給函數式(11.45)中，找到一個替代變量(surrogateorproxyvariable)和工具變量(instrumentalvariable)來代替Y，這個變量雖與Y類似，但與u不相關。如果能得到工具變量，那么方程(11.45)就可直接使用OLS估計其參數了。問題是：如何得到這個工具變量？11.6過度識別方程的估計：兩階段最小二乘法例11.3貨幣數量論中的國民收入模型(11.44)(11.45)第一階段：做Y對所有外生變量的回歸，以剔除Y與隨機誤差項u2之間的可能存在的相關因素。(11.46)(11.47)(11.48)11.6過度識別方程的估計：兩階段最小二乘法例11.3貨幣數量論中的國民收入模型(11.44)(11.45)第二階段：過度識別的貨幣供給函數可寫為：(11.49)由于與wt是不相關的，因此應用OLS得到貨幣供給函數式(11.45)的一致估計值。11.7聯立方程模型的總結聯立方程的由來內生變量與外生變量結構方程或行為方程簡化方程間接最小二乘法模型的可識別問題什么是2SLS？用于估計哪類方程聯立方程模型的案例分析【例子】下表是美國各州和地方政府費用支出數據。其中，GOV為政府開支，AID為聯邦政府撥款額，INC為各州收入，POP為各州人口總數，PS為小學與中學在校生人數。OBSGOVAIDINCPOPPS

OBSGOVAIDINCPOPPS170419137610262512629387362019522111612526953317741682715124119412688624341110817046010728319784218724733109045166110127975796120329477183832697347151456991784379691903020635981201330671462546447166830806653124467131510407289272275044089689183673524322104680122435217848591110363953734915133314275757192256526988401619541111905236234101440067220084621068671201490210722242235269173313333738846113457544230752861221361767500101026336071289351754580411244234937724616364740116042738137799132544909013219738587180292716178143757525193745269953951213628075518515352863216843877910403681281483468616210832612452884647411920433108723645751731567172045474710304282329837810762851847512726263414243152329483919634851952113325668