23.4 中位線-構(gòu)造三角形中位線的常用方法 練習 華東師大版九年級數(shù)學上冊

構(gòu)造三角形中位線的常用方法一、連接兩點構(gòu)造三角形的中位線1.如圖,點B為AC上一點,分別以AB,BC為邊在AC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE,點P,M,N分別為AC,AD,CE的中點.(1)求證:PM＝PN;(2)求∠MPN的度數(shù).2.如圖,四邊形ABCD中,∠A＝90°,AB＝8,AD＝6,點M,N分別為線段BC,AB上的動點(含端點,但點M不與點B重合),點E,F分別為DM,MN的中點．求EF長度的最大值．二、已知角平分線+垂直構(gòu)造中位線1.如圖,在△ABC中,已知AB＝6,AC＝10,AD平分∠BAC,BD⊥AD于點D,點E為BC的中點,求DE的長.2.如圖,在△ABC中,AD是中線,AE是∠BAC的平分線,CF⊥AE于點F,AB＝10,AC＝6.求DF的長．3.如圖,在△ABC中,點M為BC的中點,AD為△ABC的外角平分線,且AD⊥BD,若AB＝12,AC＝18,求DM的長.三、倍長法構(gòu)造三角形的中位線1.如圖,在△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC,△BEF為等腰直角三角形,∠BEF＝90°,M為AF的中點.求證ME＝eq\f(1,2)CF.2.如圖,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝BC,BD⊥AC于點D,CE平分∠ACB,交AB于點E,交BD于點F.求證:(1)△BEF是等腰三角形；(2)BD＝eq\f(1,2)(BC＋BF)．四、已知一邊中點,取另一邊中點構(gòu)造三角形的中位線1.(1)如圖①,在四邊形ABCD中,AB＝CD,E,F分別是AD,BC的中點,連結(jié)FE并延長,與BA的延長線、CD的延長線分別交于點M,N.求證:∠BME＝∠CNE.(2)如圖②,在△ABC中,F是BC邊的中點,D是AC邊上一點,E是AD的中點,直線FE交BA的延長線于點G.若AB＝DC＝2,∠FEC＝45°,求EF的長．2.如圖,在△ABC中,∠C＝90°,CA＝CB,E,F分別為CA,CB上一點,CE＝CF,M,N分別為AF,BE的中點,求證:AE＝2MN.五、已知兩邊中點,取第三邊中點構(gòu)造三角形的中位線1.如圖,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于點D,點P是AD的中點,延長BP交AC于點N,求證:AN＝eq\f(1,3)AC.2.如圖,在四邊形ABCD中,AB與CD不平行,M,N分別是AD,BC的中點.若AB＝10,CD＝8,求MN長度的取值范圍.

參考答案一、連接兩點構(gòu)造三角形的中位線1.解:(1)如圖,連接CD,AE.由三角形中位線定理可得PM∥12CD,PN∥12∵△ABD和△BCE是等邊三角形,∴AB＝DB,BE＝BC,∠ABD＝∠CBE＝60°,∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC,∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)如圖,設PM交AE于F,PN交CD于G,AE交CD于H,AE交BD于Q.由(1)知△ABE≌△DBC,∴∠BAE＝∠BDC.又∵∠DQH＝∠BQA,∴∠AHD＝∠ABD＝60°,∴∠FHG＝120°.易證四邊形PFHG為平行四邊形,∴∠MPN＝120°.2.解:連結(jié)DN.∵點E,F分別為DM,MN的中點,∴EF是△MND的中位線．∴EF＝eq\f(1,2)DN.∵點M,N分別為線段BC,AB上的動點,∴當點N與點B重合時,DN最長．∵∠A＝90°,∴此時DN＝AB2∴EF長度的最大值為eq\f(1,2)×10＝5.二、已知角平分線+垂直構(gòu)造中位線1.解:如圖,延長BD交AC于點F,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD,∴∠ADB＝∠ADF,又∵AD＝AD,∴△ADB≌△ADF(ASA).∴AF＝AB＝6,BD＝FD.∵AC＝10,∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.∵E為BC的中點,∴DE是△BCF的中位線.∴DE＝12CF＝12.解:延長CF交AB于點G,交AD于點H.∵AE平分∠BAC,∴∠GAF＝∠CAF.∵AF⊥CG,∴∠AFG＝∠AFC.∴△AFG≌△AFC.∴AG＝AC,GF＝CF.又∵點D是BC的中點,∴DF是△CBG的中位線．∴DF＝eq\f(1,2)BG＝eq\f(1,2)(AB－AG)＝eq\f(1,2)(AB－AC)＝eq\f(1,2)×(10－6)＝2.3.解:如圖,延長BD,CA交于N.由題易知∠NAD＝∠BAD,∠ADN＝∠ADB＝90°.又AD＝AD,∴△AND≌△ABD.∴DN＝DB,AN＝AB.又∵M為BC的中點,∴DM為△BNC的中位線,∴DM＝12NC＝12(AN＋AC)＝12(AB三、倍長法構(gòu)造三角形的中位線1.證明:如圖,延長FE至N,使EN＝EF,連接BN,AN,則ME＝eq\f(1,2)AN.∵EF＝EN,∠BEF＝90°,∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF為等腰直角三角形,∠BEF＝90°,∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°.∴∠FBN＝90°,即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∠FBA＋∠CBF＝90°,∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中,∵BF＝BN,∠CBF＝∠ABN,BC＝BA,∴△BCF≌△BAN(SAS).∴CF＝AN.∴ME＝eq\f(1,2)AN＝eq\f(1,2)CF.2.(1)證明:在△ABC中,∵AB＝BC,∠ABC＝90°,∴∠ACB＝45°.∵CE平分∠ACB,∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°.∴∠BEF＝∠CFD＝∠BFE＝67.5°.∴BE＝BF,即△BEF是等腰三角形．(2)解:如圖,延長AB至點M,使得BM＝AB,連結(jié)CM.易知D是AC的中點,∴BD∥MC,BD＝eq\f(1,2)MC.∴∠BFE＝∠MCE.由(1)得∠BEF＝∠BFE,BE＝BF,∴∠BEF＝∠MCE.∴ME＝MC.∵BM＝AB＝BC,∴BD＝eq\f(1,2)MC＝eq\f(1,2)ME＝eq\f(1,2)(MB＋BE)＝eq\f(1,2)(BC＋BF)．四、已知一邊中點,取另一邊中點構(gòu)造三角形的中位線1.(1)證明:如圖①,連結(jié)BD,取BD的中點H,連結(jié)EH,FH.∵E,H分別是AD,BD的中點,∴EH∥AB,EH＝eq\f(1,2)AB.∴∠BME＝∠HEF.∵F,H分別是BC,BD的中點,∴FH∥CD,FH＝eq\f(1,2)CD.∴∠CNE＝∠HFE.∵AB＝CD,∴EH＝FH.∴∠HEF＝∠HFE.∴∠BME＝∠CNE.(2)解:如圖②,連結(jié)BD,取BD的中點H,連結(jié)EH,FH.∵E,H,F分別是AD,BD,BC的中點,∴EH＝eq\f(1,2)AB,FH＝eq\f(1,2)CD,FH∥AC,∴∠HFE＝∠FEC＝45°.∵AB＝CD＝2,∴FH＝EH＝1.∴∠HEF＝∠HFE＝45°,∴∠EHF＝180°－∠HFE－∠HEF＝90°.∴EF＝EH2+FH2.證明:如圖,取AB的中點H,連接MH,NH,則MH＝12BF,NH＝12∵CE＝CF,CA＝CB,∴AE＝BF.∴MH＝NH.∵點M,H,N分別為AF,AB,BE的中點,∴MH∥BF,NH∥AE.∴∠AHM＝∠ABC,∠BHN＝∠BAC.∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.∴NH＝22MN∴AE＝2NH＝2×22MN＝2MN五、已知兩邊中點,取第三邊中點構(gòu)造三角形的中位線1.證明:如圖,取NC的中點H,連接DH,過點H作HE∥AD,交BN的延長線于E.∵AB＝AC,AD⊥BC,∴D為BC的中點.∵H為NC的中點,∴DH∥BN.又∵PD∥EH,∴四邊形PDHE是平行四邊形.∴HE＝PD.∵P為AD的中點,∴AP＝PD.∴AP＝EH.又∵HE∥AD,∴∠PAN＝∠EHN,∠APN＝∠HEN.∴△APN≌△