2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練（全國）專題36 最值模型之逆等線模型解讀與提分精練（解析版）

專題36最值模型之逆等線模型最值問題在各類考試中常以壓軸題的形式考查，逆等線模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的逆等線問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線） 1模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線） 6模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線） 9模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線） 11模型5.最值模型-加權(quán)逆等線模型 14 19模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）逆等線：△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線。逆等線模型特點(diǎn)：動(dòng)線段長度相等，并且位置錯(cuò)開。條件：如圖，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，求CD+BE的最小值。證明思路：①AD在△ADC中，以CE為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等；②即過點(diǎn)C作CF//AB，且CF=AC。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△ADC≌△CEF(SAS)；證出EF=CD；④CD+BE=EF+BE，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求，此時(shí)，B、E、F三點(diǎn)共線；⑤求BF。構(gòu)造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。例1．（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）在等邊三角形中，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)，，y與x的函數(shù)圖象如圖，圖象過點(diǎn)，則圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)圖像，當(dāng)時(shí)，，求得等邊三角形的邊長，證明，得出，當(dāng)時(shí)，最小，勾股定理即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，，∵三角形是等邊三角形，∴,∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，∴的最小值為，即圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，求得等邊三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24九年級(jí)上·江蘇無錫·期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，連接CD、BE，CD+BE最小值為．

【答案】【分析】過點(diǎn)A作AH∥BC，且AH=BC，連接DH，由題意易得∠HAD=∠BCE，進(jìn)而可證△HAD≌△BCE，則有CD+BE=CD+HD，當(dāng)CD+BE為最小時(shí)，即CD+HD為最小，當(dāng)點(diǎn)C、D、H三點(diǎn)共線時(shí)即為最小，連接CH，交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，點(diǎn)A分別作AF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示，即CH的長度為CD+BE的最小值，然后可得，則有，，然后問題可求解．【詳解】解：由題意可得如圖所示：

過點(diǎn)A作AH∥BC，且AH=BC，連接DH，如圖所示，∴∠HAD=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE，∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD，∴當(dāng)CD+BE為最小時(shí)，即CD+HD為最小，∴當(dāng)點(diǎn)C、D、H三點(diǎn)共線時(shí)即為最小，連接CH，交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BC于點(diǎn)N，點(diǎn)A分別作AF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示，即CH的長度為CD+BE的最小值，∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴，∵，∴，∵，∴（AAS），∴，，∵AF∥MN，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴，∴，∴在Rt△MNC中，，∴，∴CD+BE的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造三角形全等把問題轉(zhuǎn)為兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解即可．例3．（23-24九年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了正方形和矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，過作，使，連接，，作交延長線于點(diǎn)，證明四邊形是正方形，由勾股定理得，然后證明，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】過作，使，連接，，作交延長線于點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，即，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，故答案為：．例4．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)E與點(diǎn)D分別在射線與射線上，且，則的最小值為，的最小值為．【答案】【分析】先根據(jù)已知條件求得各邊數(shù)據(jù)，然后根據(jù)已知一邊一角，構(gòu)造全等三角形，當(dāng)在上時(shí)，取得最小值，如圖所示，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，進(jìn)而勾股定理即可求解；對于，構(gòu)造等邊三角形，進(jìn)而即可求解．【詳解】如圖所示，過作交的于，∵，，∴∴，，∵，∴，∴如圖所示，作且，連接，，∵∴∴∴，當(dāng)在上時(shí)，取得最小值，如圖所示，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，∵，∴，∵∴∵在中，，∴∴，即的最小值為；如圖所示，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接,則∵則∴，∵對稱，∴∴都是等邊三角形，連接，∵，∴，則，又∵∴∴，∴∴是等邊三角形，∴∴當(dāng)在上時(shí)，，如圖所示此時(shí)取得最小值，最小值故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段最值問題，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）條件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD為高，CE=BF，求AF+BE的最小值。證明思路：①CE在△BEC中，以BF為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等；②即過點(diǎn)B作BG//CE，且BG=BC=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△BEC≌△GFB(SAS)；證出EB=FG；④AF+BE=AF+FG，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AG，則AG即為所求，此時(shí)，A、F、G三點(diǎn)共線；⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。例1．（2024·安徽合肥·一模）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°【答案】B【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個(gè)三角形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)F的位置，即F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF+CE的值最小，求出此時(shí)∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，BF+CE的值最小，此時(shí)∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，當(dāng)BF+CE取得最小值時(shí)確定點(diǎn)F的位置，有難度．例2．（2023·四川成都·一模）如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，．【答案】【分析】在下方作，使，連接，則最小值為，此時(shí)A、N、三點(diǎn)在同一直線上，推出，所以，即可得到．【詳解】解：在下方作，使，連接．則，．∴，即最小值為，此時(shí)A、N、三點(diǎn)在同一直線上．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路線問題以及等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．例3．（2024·四川樂山·二模）如圖，等腰中，，平分，點(diǎn)N為上一點(diǎn)，點(diǎn)M為上一點(diǎn)，且，若當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，的長度是．【答案】4【分析】由等腰中，，可得，由平分，可得，如圖，作，使，連接，則，證明，則，，，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即，證明是等邊三角形，則，進(jìn)而可求．【詳解】解：∵等腰中，，∴，∵平分，∴，如圖，作，使，連接，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）條件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，點(diǎn)E、D是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AD=BE，求CD+CE的最小值。證明思路：①BE在△BEC中，以AD為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等；②即過點(diǎn)A作AF//BC，且AF=BC=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△BEC≌△ADF(SAS)；證出CE=FD；④CD+CE=CD+FD，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接CF，則CF即為所求，此時(shí)，F(xiàn)、D、C三點(diǎn)共線；⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等證明FC=AB也可。例1．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽·期末）如圖，中，，，D，E為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，若，則的最小值為．【答案】【分析】過點(diǎn)，分別作的垂線和的垂線交于點(diǎn)，連接，，先證，得，再證，得，進(jìn)而得出，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，；當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，然后根據(jù)直角三角形中，的角所對的直角邊等于斜邊的一半求出的值，從而得出結(jié)果．【詳解】過點(diǎn)，分別作的垂線和的垂線交于點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，；當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，．的最小值是的長，，，，，，，的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線找出恰當(dāng)?shù)娜热切问墙獗绢}的關(guān)鍵．例2．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在矩形中，對角線上有兩動(dòng)點(diǎn)E和F，連接和，若，，，則的最小值是．

【答案】17【分析】如圖，連接，，由全等三角形判定（）可以證得，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)題意及勾股定理求出的值，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，又，為矩形的對角線，，是直角三角形，，，，移項(xiàng)得，配方得，，解得，或，，，故答案為：17．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理的應(yīng)用及解一元二次方程，熟知相關(guān)的判定與性質(zhì)及解一元二次方程方法是解題關(guān)鍵．模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線）特殊的平行四邊形的逆等線模型我們就以矩形為例來研究即可。條件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，點(diǎn)E、F是邊BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE=DF，求AF+AE的最小值。證明思路：①BE在△ABE中，以DF為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等；②即過點(diǎn)A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△ABE≌△GDF(SAS)；證出AE=FG；④AF+AE=AF+FG，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AG，則AG即為所求，此時(shí)，A、F、G三點(diǎn)共線；⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四邊形為正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出兩條線段的長度），再利用勾股定理求出AG即可。例1．（2023·山東德州·?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，，，分別是邊和對角線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______．【答案】【分析】在的下方作，截取，使得，連接，．證明，推出，，根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，的下方作，截取，使得，連接，．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．例2．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊和對角線上的例2．動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)為G，在上截取，連接，可證，從而，那么，A、H都是固定點(diǎn)，過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，結(jié)合相似三角形和勾股定理即可求得，【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)為G，在上截取，連接，過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∵，∴∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．這里根據(jù)把的最小值轉(zhuǎn)化為是關(guān)鍵．例3．（2024·福建南平·一模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，連接，，則的最小值為．【答案】4【分析】如圖，連接，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，，，可得，，，證明四邊形為平行四邊形，可得，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)取等于號(hào)，最小，證明當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，重合，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，，，∴，，，∵菱形，∴，，，∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)取等于號(hào)，最小，∵菱形，，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴三點(diǎn)共線，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，重合，∵，∴，即最小值為4．故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．模型5.最值模型-加權(quán)逆等線模型條件：已知在中，∠ACB=，AB=a，AC=b，點(diǎn)E、D是線段AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE=kAD，求AE+kCD的最小值。證明思路：①AD在△ADC中，以BE為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之相似，這個(gè)也叫做一邊一角造相似；②即過點(diǎn)B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=kAC=kb。（構(gòu)造一邊一角，得相似）；③構(gòu)造出△EBF≌△DAC(SAS)；證出EF=kDC；④AE+kCD=AE+EF，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AF，則AF即為所求，此時(shí)，A、F、E三點(diǎn)共線；⑤求AF。先確定∠GBF=∠ACB=，再利用三角函數(shù)求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。例1．（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在等邊中，，E，F(xiàn)分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為；【答案】【分析】取、的中點(diǎn)、，連接、，則可得，，因此轉(zhuǎn)而求的最小值；過作，且，連接、，可證明，則有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最小值，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，從而求得的最小值．【詳解】解：如圖，取、的中點(diǎn)、，連接、，∵是等邊三角形，，，根據(jù)三角形中位線可得，∴，的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，在等邊三角形中，，∴，，，，，，；過作，且，連接、，則，，，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，且最小值為線段的長，，在中，由勾股定理得：，的最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求線段和的最小值問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求的最小值，是本題的難點(diǎn)與關(guān)鍵所在．例2．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，、分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)，延長到H，使得，連接，證明，得到，則，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值即為的長，據(jù)此利用勾股定理求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，延長到H，使得，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，最小值即為的長，在中，，∴，∴的最小值為，故答案為：．例3．（2024·四川成都·?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形ABCD，，，，點(diǎn)E、F為對角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，，連接AE、CF，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，在直線DB的上方作，且使得．過點(diǎn)T作交AD的延長線于H．首先利用相似三角形的性質(zhì)證明，解直角三角形求出AT，根據(jù)，推出，即可解決問題．【詳解】解：如圖，在直線DB的上方作，且使得．過點(diǎn)T作交AD的延長線于H，連接ET、AT．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，∴∽，∴，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬四邊形綜合題目，考查平行四邊形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（2024·吉林·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，若，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理，會(huì)構(gòu)造相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意構(gòu)造相似三角形，作，取，連接，，得到，進(jìn)而得出，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的值最小，最后利用勾股定理即可解出．【詳解】作，取，連接，，如圖所示，在菱形中，，，，，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即的值最小，在菱形中，，，是等腰三角形，，，，在中，，，故答案為：．1．（23-24九年級(jí)上·河南安陽·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，對角線上有兩動(dòng)點(diǎn)和，連接和，若，，則的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．20【答案】B【分析】如圖，連接，，由全等三角形判定可以證得，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)題意及勾股定理求出的值，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，，

四邊形是矩形，，，，，，，，，，又，為矩形的對角線，，是直角三角形，，，移項(xiàng)得，解得，或，則不符合題意，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，勾股定理的應(yīng)用及解一元二次方程，熟知相關(guān)的判定與性質(zhì)及解一元二次方程的方法是解題關(guān)鍵．2．（2024·河南商丘·八年級(jí)期中）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點(diǎn)M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當(dāng)BM+BN最小時(shí)，∠MBN的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°【答案】C【分析】如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH．證明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共線時(shí)，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此時(shí)∠MBN即可解決問題．【詳解】解：如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH．∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共線時(shí)，BM+BN＝NH+BN的值最小，如圖2中，當(dāng)B，N，H共線時(shí)，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴當(dāng)BM+BN的值最小時(shí)，∠MBN＝30°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期末）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）若，則；（2）的最小值為．

【答案】/【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，從而得到，由勾股定理計(jì)算出的長，即可得到答案；（2）連接，通過證明可得，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則，從而得到，當(dāng)在同一直線時(shí)，最小，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，且邊長為4，，，，，，，故答案為：；（2）連接，

，四邊形是正方形，且邊長為4，，，，，在和中，，，，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則，，當(dāng)在同一直線時(shí)，最小，，在中，，的最小值為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、最短距離問題、勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．4．（2024·四川綿陽·三模）在中，，，點(diǎn)D，E分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長為．【答案】【分析】過點(diǎn)B作，且，連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)H，證明，得出，則，即的最小值即為的長，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)重合，由勾股定理及相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】過點(diǎn)B作，且，連接，交BC于點(diǎn)，過點(diǎn)A作，交的延長線于點(diǎn)H，如圖所示：則，在等腰直角中，，，在和中，，∴，∴，∴，即的最小值即為的長，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)重合，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理得，∴，∴或（舍去），∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴取得最小值時(shí)，的長度為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，三角形三條邊的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）如圖，邊長為2的菱形中，，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，，連，，則的最小值為．【答案】【分析】過點(diǎn)作，使，連接，，得到，．根據(jù)菱形的邊長為2，得到．證明．得到．得到．推出．得到．得到．即得的最小值為．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，使，連接，，則，．∵菱形的邊長為2，∴．，∴．∴．∴．在和中，，∴．∴．∴．即．∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形，全等三角形．熟練掌握菱形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，是解決問題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）在中，，，，，分別為射線與射線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，則最小值為；的最大值為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；過點(diǎn)作，使得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，證明得出，則當(dāng)在線段上時(shí)，取的最小值，最小值為的長，延長至使得，連接，則進(jìn)而勾股定理，即可求解；【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，使得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，在中，，∴，∴，∴，則當(dāng)在線段上時(shí)，取的最小值，最小值為的長，∵，，，∴∵，∴，在中，，∴，∴，如圖所示，延長至使得，連接，則，，∴，故答案為：，．7．（2024·陜西西安·二模）如圖，正方形的邊長為2，E、F分別是對角線和邊上的動(dòng)點(diǎn)，滿足．當(dāng)時(shí)，線段的長度為．【答案】【分析】本題考點(diǎn)是正方形的性質(zhì)，難點(diǎn)是構(gòu)建三角形全等轉(zhuǎn)化線段和最小值的計(jì)算，特別需要注意的知識(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)之間直線最短，同時(shí)需要熟練運(yùn)用相似比求線段的長度．連接，作，且，連接，，與交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，首先證明得到，再計(jì)算出的長度，推導(dǎo)出當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)滿足，然后證明，利用相似比計(jì)算出的長度最后計(jì)算出和的長度．【詳解】解：連接，作，且，連接，，與交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，如圖：正方形的邊長為2，，，，，，，；在與中，，，，，，又，即，且，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最短，即，重合時(shí)滿足，設(shè)，，，，，，，，，，即，，故答案為：．8．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則．

【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．延長，截取，連接，，證明，得出，說明當(dāng)最小時(shí)，最小，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長，截取，連接，，如圖所示：

∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)A、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，且最小值為的長，

∵，∴，∴，即，解得．故答案為：．9．（2024·湖北武漢·二模）如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點(diǎn)，E、F分別為BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，則ME+2AF的最小值為．【答案】【分析】如圖，過點(diǎn)作于．設(shè)，則．由勾股定理得到，欲求的最小值，相當(dāng)于在軸上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到，和的距離之和最小（如下圖），作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于，連接，此時(shí)的值最小，最小值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于．設(shè)，則．

四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，，，欲求的最小值，相當(dāng)于在軸上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到，和的距離之和最小（如下圖），作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，連接交軸于，連接，此時(shí)的值最小，最小值，，，，的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．10．（23-24九年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動(dòng)，且滿足，連接，，則的最小值是．【答案】【分析】連接，可得且∠，證明△，得出結(jié)論，從而可得求的最小值，即求的最小值，求出的最小值即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，且∠∴∠，連接，如圖，∵∴∴且∠∴△∴∴∴∴求的最小值，即求的最小值，∴作B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，連接，交AD于M，此時(shí)與的交點(diǎn)為點(diǎn)E，這時(shí)最小∴的最小值∵∠∴∠，∠∴∴∴∴∴的最小值即的最小值故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對稱把問題轉(zhuǎn)化為垂線段最短．11．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測）如圖：等邊三角形ABC中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了求線段和最小值問題，勾股定理解三角形，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線，角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造中位線和全等三角形，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化．取中點(diǎn)G，中點(diǎn)H，，在的外側(cè)作，的長度即為所求．【詳解】取中點(diǎn)G，中點(diǎn)H，作，使，作，交延長線于點(diǎn)J，連接，是的中位線，是等邊三角形又當(dāng)I，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即取得最小值在中，取得最小值為故答案為：12．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，在正方形中，、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最小值是．【答案】【分析】延長到點(diǎn)，使得，繼續(xù)延長到點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接、、，判定是的中位線，根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理，推出，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)，推出，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”、勾股定理，得出的最小值計(jì)算出答案即可．【詳解】解：如圖，延長到點(diǎn)，使得，繼續(xù)延長到點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接、、，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，，∴，，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，∴是的中位線，，∴，∴，∴的最小值的最小值，∵當(dāng)、、在同一直線上時(shí)，取得最小值，∴的最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)、作輔助線推理證明、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．13．（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，在中，，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)、為直角邊向下作直角，且，連接，則的最大值是．

【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系．作，使，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，得出，由三角形的三邊關(guān)系可得的最大值．【詳解】解：如圖，作，使，連接，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)A，點(diǎn)E共線時(shí)，有最大值，∴的最大值為．故答案為：．14．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖所示，在矩形中，，，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，則；在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理可得的長，從而得到，再由，可得，然后根據(jù)勾股定理可求出，即可；在右側(cè)構(gòu)造，并截取，使，連接，可證明，可得∴，從而得到，當(dāng)且僅當(dāng)B、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，過點(diǎn)G作交延長線于點(diǎn)H，可證明，可得，從而得到，再由勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：在矩形中，，，∴，∴，∵E為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴；在右側(cè)構(gòu)造，并截取，使，連接，如圖，在矩形中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)B、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，如圖，過點(diǎn)G作交延長線于點(diǎn)H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊和邊上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．6【答案】A【分析】連接，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)H，連接，交于N，連接，根據(jù)題意證明出，得出，得到當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)D，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為的長，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接，作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)H，連接，交于N，連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，∴，∵，∴∴，∴是等邊三角形，∵點(diǎn)A，點(diǎn)H關(guān)于對稱，∴，，∴，又∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，，∴，又∵∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)F，點(diǎn)D，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為的長，∵，∴，∵，∴，∴，即的最小值為4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．16．（23-24九年級(jí)上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，P，O分別為對角線邊上的兩點(diǎn)，且，的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形中角所對的直角邊是斜邊的一半，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．在上截取，延長至，使得，連接，過點(diǎn)作于，先證明，得到，結(jié)合勾股定理即可得到答案．【詳解】解：在上截取，延長至，使得，連接，過點(diǎn)作于，在矩形中，，，在與中，，，，，垂直平分，，，，，，，，，故的最小值為，故答案為：．17．（2024·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時(shí)候就容