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雙曲線焦點弦長公式3個首先給出一個求解問題。已知拋物線的焦準距為p(焦準距即焦點到準線的距離),過其焦點F的弦AB與其對稱軸的夾角為α,求弦長|AB|。對這個問題,一般都是通過解析幾何來解決,不過在解析幾何建立之前,這個問題也是可以解決的,我們現(xiàn)在就來看看。如上圖所示,直線l為拋物線的準線,O為拋物線的頂點,F(xiàn)為為焦點,AB為過焦點F的弦,α為其與對稱軸x的夾角,E為準線與對稱軸的交點。作AD⊥l于D點,作BC⊥l與C點,由拋物線的第二定義可知:|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,這里我們規(guī)定α為銳角,即|AF|>|BF|,過F點作l的平行線,交AD與G點,交BC的延長線于H點,過B點作BI⊥AD于I。根據(jù)圖上的幾何關系,則有:2|EF|=|AD|+|BC|?(|AG|?|BH|),由于∠DAF=∠FBH=α,EF=p,(已知條件)于是在直角△AGF與直角三角形△BHF中有:|AG|=|AF|cosα,|BH|=|BF|cosα,結合|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,于是有:2p=|AF|(1+cosα)+|BC|(1?cosα)
……(記為拋物線焦半徑和式)在直角△BIA中,由勾股定理得:|AI|2=(|AD|?|BC|)2=(|AF|?|BF|)2,|AI|2+|BI|2=|AB|2,而|BI|=|AB|sinα,即:(|AF|?|BF|)2=|AB|2?(|AB|sinα)2=(|AB|cosα)2,于是可得:|AF|=|AB|2(1?cosα),|BF|=|AB|2(1+cosα),代入拋物線焦半徑和式中,化簡,可得:2p=|AB|sin2α,即:|AB|=2psin2α這就是拋物線焦點弦長公式。我們可以看到,使用純幾何的辦法來求解拋物線的弦長是十分麻煩的,所以解析幾何的創(chuàng)立才有了它的必要性,下面就來看看解析幾何的辦法。如上圖所示,以拋物線頂點為O點,對稱軸為x軸,建立直角坐標系xOy,于是拋物線的方程為y2=2px,其焦點坐標為F(p2,0),由于AB與x軸的夾角為α,所以直線AB的斜率為tanα,其方程則由點斜式確定為y=tanα(x?p2)。聯(lián)立拋物線與直線AB的方程:{y2=2pxy=tanα(x?p2),消去y得:tan2α?x2?p(tan2α+2)?x+p4tan2α=0,由韋達定理:x1+x2=p+2ptan2α,x1x2=p24,于是|AB|=(1+k2)(x1+x2)2?4x1x2)=(1+tan2α)(p+2ptan2α)2?4?p24)=1cosα?2ptanαsinα=2psin2α在這里,我們利用了三角函數(shù)公式1+tan2α=1cos2α與1+1tan2α=1sin2α。上面是課本里的通常做法,我們可以對其做一下簡化。由拋物線的定義,拋物線上的點到準線的距離和到焦點距離相等可以得到準線為:x=?p2,于是|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,由上面的解法知道x1+x2=p+2ptan2α,于是立即可得|AB|=2psin2α。事實上,我們可以利用韋達定理改造一下弦長公式,即|AB|=1+k2?|x2?x1|=1+k2?Δ|a|這樣,我們只需要聯(lián)立拋物線和直線方程得到一元二次方程即可,不需要用韋達定理了。除了直線方程的點斜式,利用直線的參數(shù)方程更為簡單。直線AB的參數(shù)方程為:{x=p2+tcosαy=tsinα,代入到拋物線方程中,可得:t2sin2α?2ptcosα?p2=0,于是|AB|=|t2?t
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