雙曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式3個(gè)

雙曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式3個(gè)首先給出一個(gè)求解問題。已知拋物線的焦準(zhǔn)距為p（焦準(zhǔn)距即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離），過其焦點(diǎn)F的弦AB與其對(duì)稱軸的夾角為α，求弦長(zhǎng)|AB|。對(duì)這個(gè)問題，一般都是通過解析幾何來解決，不過在解析幾何建立之前，這個(gè)問題也是可以解決的，我們現(xiàn)在就來看看。如上圖所示，直線l為拋物線的準(zhǔn)線，O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為為焦點(diǎn)，AB為過焦點(diǎn)F的弦，α為其與對(duì)稱軸x的夾角，E為準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)。作AD⊥l于D點(diǎn)，作BC⊥l與C點(diǎn)，由拋物線的第二定義可知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，這里我們規(guī)定α為銳角，即|AF|>|BF|，過F點(diǎn)作l的平行線，交AD與G點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，過B點(diǎn)作BI⊥AD于I。根據(jù)圖上的幾何關(guān)系，則有：2|EF|=|AD|+|BC|?(|AG|?|BH|)，由于∠DAF=∠FBH=α，EF=p，（已知條件）于是在直角△AGF與直角三角形△BHF中有：|AG|=|AF|cosα，|BH|=|BF|cosα，結(jié)合|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，于是有：2p=|AF|(1+cosα)+|BC|(1?cosα)

……（記為拋物線焦半徑和式）在直角△BIA中，由勾股定理得：|AI|2=(|AD|?|BC|)2=(|AF|?|BF|)2，|AI|2+|BI|2=|AB|2，而|BI|=|AB|sinα，即：(|AF|?|BF|)2=|AB|2?(|AB|sinα)2=(|AB|cosα)2，于是可得：|AF|=|AB|2(1?cosα)，|BF|=|AB|2(1+cosα)，代入拋物線焦半徑和式中，化簡(jiǎn)，可得：2p=|AB|sin2α，即：|AB|=2psin2α這就是拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式。我們可以看到，使用純幾何的辦法來求解拋物線的弦長(zhǎng)是十分麻煩的，所以解析幾何的創(chuàng)立才有了它的必要性，下面就來看看解析幾何的辦法。如上圖所示，以拋物線頂點(diǎn)為O點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，于是拋物線的方程為y2=2px，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(p2,0)，由于AB與x軸的夾角為α，所以直線AB的斜率為tanα，其方程則由點(diǎn)斜式確定為y=tanα(x?p2)。聯(lián)立拋物線與直線AB的方程：{y2=2pxy=tanα(x?p2)，消去y得：tan2α?x2?p(tan2α+2)?x+p4tan2α=0，由韋達(dá)定理：x1+x2=p+2ptan2α，x1x2=p24，于是|AB|=(1+k2)(x1+x2)2?4x1x2)=(1+tan2α)(p+2ptan2α)2?4?p24)=1cosα?2ptanαsinα=2psin2α在這里，我們利用了三角函數(shù)公式1+tan2α=1cos2α與1+1tan2α=1sin2α。上面是課本里的通常做法，我們可以對(duì)其做一下簡(jiǎn)化。由拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離和到焦點(diǎn)距離相等可以得到準(zhǔn)線為：x=?p2，于是|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p，由上面的解法知道x1+x2=p+2ptan2α，于是立即可得|AB|=2psin2α。事實(shí)上，我們可以利用韋達(dá)定理改造一下弦長(zhǎng)公式，即|AB|=1+k2?|x2?x1|=1+k2?Δ|a|這樣，我們只需要聯(lián)立拋物線和直線方程得到一元二次方程即可，不需要用韋達(dá)定理了。除了直線方程的點(diǎn)斜式，利用直線的參數(shù)方程更為簡(jiǎn)單。直線AB的參數(shù)方程為：{x=p2+tcosαy=tsinα，代入到拋物線方程中，可得：t2sin2α?2ptcosα?p2=0，于是|AB|=|t2?t