2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析8.1數(shù)列含函數(shù)特性文含解析北師大版

PAGE10-數(shù)列核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念及通項(xiàng)公式

1.數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí),an=n2(n-1)2A.259 B.2516 C.31152.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-8n+15,則3 ()A.不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)B.只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)C.只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng)D.是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)3.數(shù)列32,-54,78,-916A.an=(-1)n·2n+12n B.anC.an=(-1)n+1·2n+12n D.an4.若數(shù)列{an}滿意a1=1,且對(duì)于隨意的n∈N*都有an+1=an+n+1,則1a1+1a2+…+1A.20212022 B.25.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1n,則an= 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(A.2+lnn B.2+(n-1)lnnC.2+nlnn D.1+n+lnn【解析】1.選D.因?yàn)閍n=n2(n-1)2(n≥2),所以a3=94,a5=2516,所以a3+a5=92.選D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng).3.選D.該數(shù)列是分?jǐn)?shù)形式,分子為奇數(shù)2n+1,分母是指數(shù)2n,各項(xiàng)的符號(hào)由(-1)n+1來(lái)確定,所以D選項(xiàng)正確.4.選D.由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,則a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,…,an-an-1=(n-1)+1,以上等式相加,得an-a1=2+3+…+(n-1)+n,把a(bǔ)1=1代入上式得an=1+2+3+…+(n-1)+n=n(所以1an=2n則1a1+1a2+…+121-125.選A.因?yàn)閍n+1=an+ln1+1所以an-an-1=ln1+1n-1=ln所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=lnnn-1+lnn-1=2+lnnn-1又a1=2適合上式,故an=2+lnn(n∈N*).將T3改為已知數(shù)列的前4項(xiàng)為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項(xiàng)不行能是()A.an=(-1)n-1+1 B.an=2C.an=2sinnπ2 D.an【解析】選C.對(duì)n=1,2,3,4進(jìn)行驗(yàn)證,an=2sinnπ2不合題意1.由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及詳細(xì)策略(1)常用方法:視察(視察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等方法.(2)詳細(xì)策略:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項(xiàng)的改變特征;③各項(xiàng)的符號(hào)特征和肯定值特征;④對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破,或找尋分子、分母之間的關(guān)系;⑤對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的狀況,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*處理.2.遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式的方法(1)累加法:an+1-an=f(n).(2)累乘法:an(3)待定系數(shù)法:an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0).把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an+1-t=p(an-t),其中t=q1-p【秒殺絕技】1.代入法解T2依據(jù)選項(xiàng)可干脆把n=2或n=6代入檢驗(yàn).2.特值檢驗(yàn)法解T3先利用解除法解除A、B,然后可干脆把n=3代入檢驗(yàn)解除C.考點(diǎn)二an與Sn的關(guān)系及其應(yīng)用

【典例】1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2(an-1)(n∈N*),則an= ()A.2n B.2n-1 C.2n D.2n-12.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1(1)看到an與Sn的關(guān)系,想到利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為an與an-1的關(guān)系(2)也可以先檢驗(yàn)n=1,n=2,n=3進(jìn)行解除2(1)利用an+1=Sn+1-Sn轉(zhuǎn)化為Sn+1與Sn的關(guān)系(2)求得Sn,代入an=Sn-Sn-1(n≥2)得an,并檢驗(yàn)n=1是否成立【解析】1.選C.當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2(a1-1),可得a1=2,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,所以數(shù)列{an}為首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n.【一題多解】選C.利用遞推關(guān)系求出a1=2,a2=4,a3=8,易確定C.2.由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,兩邊同時(shí)除以Sn+1Sn,得1Sn+1故數(shù)列1Sn是以-1為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列,則1Sn=-1-(n-1)=-n,所以S當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-1n+1n-故an=-【答題模板微課】本例題2的模板化過(guò)程:建模板:當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-1, …………求首項(xiàng)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-1n+1n-1=1經(jīng)檢驗(yàn)a1=-1不適合an=1n(n故an=-1(套模板:已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+2n+1,則an=________.

【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1+2+1=4, …………求首項(xiàng)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1, …………作差求通項(xiàng)經(jīng)檢驗(yàn)a1=4不適合an=2n+1, …………檢驗(yàn)故an=4(n答案:41.已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式.(3)留意檢驗(yàn)n=1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并.2.Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路依據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-1的關(guān)系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an,an-1的關(guān)系式,再求解.1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________.

【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2-3=-1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n-1-3)=2n-2n-1=2n-1.當(dāng)n=1時(shí)不滿意,故an=-答案:an=-2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn= ()A.2n-1 B.3C.23n-【解析】選B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,Sn+1Sn=32,而S1=a1=1,所以【變式備選】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求{an}的通項(xiàng)公式.(1)Sn=2n2-3n.(2)Sn=3n+b.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2-3=-1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5.由于a1也適合此等式,所以an=4n-5.(2)a1=S1=3+b,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=2·3n-1.當(dāng)b=-1時(shí),a1適合此等式;當(dāng)b≠-1時(shí),a1不適合此等式.所以當(dāng)b=-1時(shí),an=2·3n-1;當(dāng)b≠-1時(shí),an=3+考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:考查數(shù)列的單調(diào)性、周期性、最值問(wèn)題2.怎么考:因?yàn)閿?shù)列可以看作是一類(lèi)特殊的函數(shù)值,所以數(shù)列也具備函數(shù)應(yīng)具備的性質(zhì),因此經(jīng)常以數(shù)列為載體,考查單調(diào)性、周期性以及最值等問(wèn)題.解題過(guò)程中經(jīng)常滲透邏輯推理的核心素養(yǎng).3.新趨勢(shì):由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式考查求通項(xiàng)公式的方法成為考試的新趨勢(shì)學(xué)霸好方法1.解決數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題的三種方法(1)作差比較法(2)作商比較法(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖像直觀推斷.2.解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先依據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng),確定數(shù)列的周期,再依據(jù)周期性求值.3.求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法(1)利用不等式組an-1≤a(2)利用不等式組an-1≥a4.交匯問(wèn)題數(shù)列的函數(shù)特性可利用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)探討進(jìn)行解題數(shù)列的單調(diào)性【典例】已知遞增數(shù)列{an},an≥0,a1=0.對(duì)于隨意的正整數(shù)n,不等式t2-an2-3t-3an≤0恒成立,則正數(shù)tA.1 B.2 C.3 D.6【解析】選C.因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列,又t2-an2-3t-3an=(t-an-3)(t+an)t+an>0,所以t≤an+3恒成立,t≤(an+3)min=a1+3=3,所以tmax=3.在數(shù)列的恒成立問(wèn)題中,若涉及求參數(shù)的最值問(wèn)題時(shí),如何進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化?提示:在涉及求參數(shù)的最值問(wèn)題時(shí),經(jīng)常與已知數(shù)列的單調(diào)性有關(guān),因此解決這類(lèi)問(wèn)題,須要先推斷該數(shù)列的單調(diào)性.數(shù)列的周期性【典例】若數(shù)列{an}滿意a1=2,an+1=1+an1-an,則a2A.2 B.-3 C.-12 D.【解析】選B.因?yàn)閍1=2,an+1=1+an1-an,所以a2=1+a11-a1=-3,同理可得:a3=-12,a4=13,a5=2,a6=-3,a7=-12,a8=13,…,在求數(shù)列中某一項(xiàng)的值,特殊是該項(xiàng)的序號(hào)較大時(shí),應(yīng)當(dāng)考慮如何求解?提示:在求數(shù)列中某一項(xiàng)的值,特殊是該項(xiàng)的序號(hào)較大時(shí),應(yīng)當(dāng)考慮該數(shù)列是否具有周期性,利用周期性即可求出該數(shù)列中的某一項(xiàng).數(shù)列中的最值【典例】數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=2n-1,n≤4,-n2+(a-1)n,n≥【解析】當(dāng)n≤4時(shí),an=2n-1單調(diào)遞增,因此n=4時(shí)取最大值,a4=24-1=15.當(dāng)n≥5時(shí),an=-n2+(a-1)n=-n-a-因?yàn)閍5是{an}中的最大值,所以a解得9≤a≤12.所以a的取值范圍是[9,12].答案:[9,12]當(dāng)數(shù)列涉及最大項(xiàng)或最小項(xiàng)問(wèn)題時(shí),除了用不等式組求解,還可以考慮什么方法?提示:解決數(shù)列的最值問(wèn)題,除了用不等式組求解,還可以將數(shù)列看作某個(gè)函數(shù),利用求函數(shù)的最值的方法求數(shù)列的最值.1.在數(shù)列an中,a1=2,an+1=-1an+1,則a2A.2 B.-13 C.-32【解析】選A.因?yàn)閍2=-1a1+1=-13,a3=-1a2+1=-32,a4=-1a3+1=2,所以a3n+1=2,a3n+2=-13,a2.已知數(shù)列{an}滿意an=n+13n-16(n∈N*),則數(shù)列{an【解析】因?yàn)閍n=n+13n-16,所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)必為an<0,即n+13n-16<0,3n-16<0,從而n<163.又n答案:53.已知數(shù)列{an}中,an=n2+λn,且{an}為遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【解析】因?yàn)閍n+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+λ+1,所以由{an}為遞增數(shù)列可得2n+λ+1>0,即λ>-2n-1對(duì)一切n∈N*恒成立.因?yàn)閚=1時(shí),-2n-1取得最大值-3,所以λ>-3,即λ∈(-3,+∞).【一題多解】函數(shù)f(n)=n2+λn的圖像的對(duì)稱(chēng)軸是n=-λ2,如圖,只須要-λ2<32,則λ>-3,即1.(2024·石家莊模擬)已知在正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a2020=4a2018,a2+a4=20,則a2020的個(gè)位數(shù)字是A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選C.設(shè)公比為q(q>0),依題意得q解得a1=q=2,故a2020=2×220