2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型解讀與提分精練（全國版）

專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.高分線模型 2模型2.雙垂直模型 4模型3.子母型雙垂直模型（射影模型） 5 7模型1.高分線模型三角形的高：-從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它所對的邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.高分線模型：過三角形一個頂點的高與角平分線的夾角等于另外兩個角差的絕對值的一半。1）條件：如圖1，在中，，分別是的高和角平分線，結(jié)論：．2）條件：如圖2，F(xiàn)為的角平分線AE的延長線上的一點，于D，結(jié)論：．

圖1圖21）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；2）證明：如圖，過作于，由（2）可知：，，，，，，，，．例1．（23-24八年級上·山東臨沂·階段練習）如圖，AD，分別是的角平分線和高線，且，，則．例2．（23-24八年級上·重慶·期中）已知：如圖①所示，在中，為的高，為平分線交于點E，．(1)求的度數(shù)；(2)與之間有何數(shù)量關(guān)系？(3)若將題中的條件“”改為“”（如圖②），其他條件不變，則與之間又有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．例3．（23-24八年級上·廣東·?？计谥校┮阎涸谥校?，平分交于點．(1)如圖①，于點，若，求的度數(shù)；(2)如圖①，于點，若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；(3)如圖②，在中，于點，是上的任意一點（不與點，重合），過點作于點，且，請你運用（2）中的結(jié)論求出的度數(shù)；(4)在（3）的條件下，若點在的延長線上（如圖③），其他條件不變，則的度數(shù)會發(fā)生改變嗎？說明理由．

模型2.雙垂直模型雙垂直模型的定義是一個三角形中有兩條高，則圖中會產(chǎn)生多個直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之間的關(guān)系。條件：如圖所示，在△ABC中，BD，CE是兩條高，結(jié)論：①∠ABD=∠ACE；②∠A=∠BOE=∠COD；③。證明：∵BD，CE是兩條高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。∵BD，CE是△ABC的兩條高，∴，∴。例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．例2．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）在中，，是它的兩條高，直線交于點F，．例3．（2022秋·安徽宿州·八年級校考期中）如圖，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）子母型雙垂直模型的定義是一個直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關(guān)系。條件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高線，結(jié)論：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

證明：∵∠ACB=90°，CD是高線，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，∵∠ACB=90°，CD是高線，∴，∴。例1．（2023·廣東廣州·七年級校考階段練習）如圖，在中，，于D，求證：．例2．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，在中，，為邊上的高．(1)求斜邊的長；(2)求的長．例3．（23-24八年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖①，在中，，是邊上的高．（1）求證：；（2）如圖②，的角平分線交于點．求證：；（3）在（2）的條件下，的平分線分別與，相交于點、點，如圖③，若，，，求的長．1．（2023·北京通州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（

）A．2 B． C． D．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．3．（23-24八年級上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，在中，，，，垂足分別為點D、E，AD、CE交于點H，．下列結(jié)論：①；②；③；④．你認為正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．（23-24八年級下·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，在中，和的平分線，相交于點O，交于E，交于F，過點O作于D，下列三個結(jié)論：①；②當時，；③若，，則．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③5．（2023下·重慶涪陵·八年級統(tǒng)考期末）如圖，鈍角中，為鈍角，為邊上的高，為的平分線，則與、之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)的是（

）A．B．C．D．6．（2023下·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，是高，是角平分線，是中線與相交于，以下結(jié)論正確的有（

）

①；②；③；④；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023下·重慶江北·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，分別是高和角平分線，點在的延長線上，交于，交于，下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．B．C．D．8．（2023·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，在腰上取一點D，，垂足為E，另一腰上的高交于點G，垂足為F，若，則的長為．9．（2024·重慶·三模）如圖，中，于點，于點，與相交于點，已知，，則的面積為．10．（23-24八年級上·安徽六安·期中）如圖，在中，，兩條高交于點O，連接，則．11．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當為直角三角形時，則．

12．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度數(shù)；(2)試說明：．

13．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，在中，平分，為線段上的一個點，交直線于點．(1)若，，求的度數(shù)．(2)猜想與、的數(shù)量關(guān)系．14．（23-24八年級上·遼寧鞍山·期中）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，求證：∠ACD=∠B；（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判斷△ADE的形狀？并說明理由？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，點C，B，E在同一直線上，若AB⊥BD，AB=BD，則CE與AC，DE有什么等量關(guān)系，并證明．15．（23-24七年級下·河南周口·階段練習）已知在中，于點D．(1)如圖1，若的平分線交于點E，，，則的度數(shù)為______．(2)如圖2，點M、N分別在線段、上，將折疊，點B落在點F處，點C落在點G處，折痕分別為和，點G、F均在直線上，若，試說明．16．（22-23八年級上·廣西桂林·期中）如圖，中，，，平分，于D，，交于F，求：(1)的度數(shù)；(2)當平分時，，若，，，請用含m，n，a的代數(shù)式表示的長．17．（2024·河北邢臺·八年級?？计谥校┰谥校?，D，E分別是邊和延長線上的點，連接，，．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，已知．①判斷是否平分，并說明理由；②F為射線上一點（不與點D重合），過點F作，垂足為G．若，，直接用含，的式子表示出的度數(shù)．

18．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點．

(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個事項作為條件，余下的事項作為結(jié)論，構(gòu)造一個真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）19．（2023·福建莆田·八年級?？计谥校┮?guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．(1)如圖1，在中，，，請寫出圖中兩對“等角三角形”；(2)如圖2，在中，為的平分線，，．求證：為的“等角分割線”；(3)在中，若，是的“等角分割線”，請求出所有可能的的度數(shù)．20．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級期中）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)【操作判斷】在中，，，作的平分線交于點．①操作一：在下圖中，用三角尺作邊上的高，垂足為點，求的度數(shù)；②操作二：如圖1，在上任取點，作，垂足為點，直接寫出的度數(shù)；

(2)【遷移探究】操作三：如圖2，將（1）中“在上任取點”改為“在的延長線上任取點”其他條件不變，判斷的度數(shù)是否會發(fā)生變化，并說明理由；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3、圖4在中，，，是的平分線，在直線上任取點，過點作與直線交于點，請直接寫出與，之間的數(shù)量關(guān)系．

專題04三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎(chǔ)要求，因為題目的多變性，若想在幾何學(xué)習中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.高分線模型 2模型2.雙垂直模型 6模型3.子母型雙垂直模型（射影模型） 8 11模型1.高分線模型三角形的高：-從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的角平分線與它所對的邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.高分線模型：過三角形一個頂點的高與角平分線的夾角等于另外兩個角差的絕對值的一半。1）條件：如圖1，在中，，分別是的高和角平分線，結(jié)論：．2）條件：如圖2，F(xiàn)為的角平分線AE的延長線上的一點，于D，結(jié)論：．

圖1圖21）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴；2）證明：如圖，過作于，由（2）可知：，，，，，，，，．例1．（23-24八年級上·山東臨沂·階段練習）如圖，AD，分別是的角平分線和高線，且，，則．【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線、高線的定義，是基礎(chǔ)題，準確識圖找出各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【詳解】解：，，，是的角平分線，，是的高線，，．故答案為：．例2．（23-24八年級上·重慶·期中）已知：如圖①所示，在中，為的高，為平分線交于點E，．(1)求的度數(shù)；(2)與之間有何數(shù)量關(guān)系？(3)若將題中的條件“”改為“”（如圖②），其他條件不變，則與之間又有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】本題主要考查三角形中角與角之間的關(guān)系，掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)的應(yīng)用．（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和求得，最后根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可求解，（2）根據(jù)（1）即可得出與、之間的關(guān)系，（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)依次推理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴又∵為的平分線，∴∵為的高，∴，，∴；（2）解：由圖知；（3）解：理由如下：由三角形內(nèi)角和知，∵為的平分線，∴∵為的高，∴又∵，∴∴．例3．（23-24八年級上·廣東·校考期中）已知：在中，，平分交于點．

(1)如圖①，于點，若，求的度數(shù)；(2)如圖①，于點，若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；(3)如圖②，在中，于點，是上的任意一點（不與點，重合），過點作于點，且，請你運用（2）中的結(jié)論求出的度數(shù)；(4)在（3）的條件下，若點在的延長線上（如圖③），其他條件不變，則的度數(shù)會發(fā)生改變嗎？說明理由．【答案】(1)(2)(3)(4)的度數(shù)不會發(fā)生改變，理由見解析【分析】（1）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再結(jié)合角平分線的定義可知，然后由“直角三角形兩銳角互余”可得，進而可得，即可獲得答案；（2）結(jié)合（1）可得結(jié)論；（3）結(jié)合，易得，再證明，由“兩直線平行，同位角相等”可得，即可獲得答案；（4）證明，由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可得，即可獲得答案．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，當時，；（2）由（1）可知，，∴當時，∴；（3）∵，而，∴，∵，，∴，∴；（4）的度數(shù)大小不發(fā)生改變．理由如下：∵，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形兩銳角互余、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、垂直的定義等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題關(guān)鍵．模型2.雙垂直模型雙垂直模型的定義是一個三角形中有兩條高，則圖中會產(chǎn)生多個直角三角形。雙垂直模型的核心是倒角之間的關(guān)系。條件：如圖所示，在△ABC中，BD，CE是兩條高，結(jié)論：①∠ABD=∠ACE；②∠A=∠BOE=∠COD；③。證明：∵BD，CE是兩條高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A，∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD?！連D，CE是△ABC的兩條高，∴，∴。例1．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意和直角三角形的兩個銳角互余可求得的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角即可得．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了余角，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．例2．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）在中，，是它的兩條高，直線交于點F，．【答案】或【分析】分兩種情況：當為銳角三角形時，當為鈍角三角形時，用三角形內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：當為銳角三角形時，如圖，

∵，是它的兩條高，∴；當為鈍角三角形時，如圖，∵，是它的高，∴，∵是的高，∴，綜上所述：或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查了垂直的定義、四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和為360度及分類討論是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·安徽宿州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高的性質(zhì)，利用等積法求解即可．【詳解】∵，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計算問題．根據(jù)三角形的面積公式得出是解題關(guān)鍵．模型3.子母型雙垂直模型（射影模型）子母型雙垂直模型的定義是一個直角三角形和斜邊上的高。子母型雙垂直模型的核心還是倒角之間的關(guān)系。條件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高線，結(jié)論：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。

證明：∵∠ACB=90°，CD是高線，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°，∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD，∵∠ACB=90°，CD是高線，∴，∴。例1．（2023·廣東廣州·七年級校考階段練習）如圖，在中，，于D，求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)，即可求證．【詳解】證：∵，∴又∵，∴又∵，∴∴【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì)．例2．（2024八年級上·江蘇·專題練習）如圖，在中，，為邊上的高．(1)求斜邊的長；(2)求的長．【答案】(1)10(2)4.8【分析】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理可求解；（2）由面積法可求解．【詳解】（1）在中，，∴；（2）∵，∴，∴．例3．（23-24八年級·江蘇·假期作業(yè)）如圖①，在中，，是邊上的高．（1）求證：；（2）如圖②，的角平分線交于點．求證：；（3）在（2）的條件下，的平分線分別與，相交于點、點，如圖③，若，，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AD=9.6．【分析】（1）據(jù)三角形高的定義及直角三角形兩銳角互余的關(guān)系即可得結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義及直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可得∠AFE=∠CED，根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)即可得結(jié)論；（3）根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AH⊥EF，根據(jù)勾股定理可求出HG的長，進而可得AG的長，利用面積法即可得答案．【詳解】（1）∵，∴，是邊上的高，∴，∴．∴，∴．（2）∵CF是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（3）由（2）可知：∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∵AG平分∠BAD，AG分別與，相交于點、點，∴AH⊥EF，∵CH=8，CG=10，∴GH==6，∵AH=6，∴AG=AH+GH=12，∴S△AGC=AG·CH=CG·AD，即12×8=10AD，解得：AD=9.6．【點睛】本題考查角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，直角三角形兩銳角互余；等腰三角形底邊的中線、底邊上的高及頂角的角平分線“三線合一”；直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．1．（2023·北京通州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，再利用三角形面積求出BD即可．【詳解】解：∵，，，∴根據(jù)勾股定理，∵，∴S△ABC=，即，解得：．故選擇D．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，中，，平分，若，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，那么，然后利用分別表示，，，最后利用三角形內(nèi)角和定理建立方程解決問題．【詳解】解：∵中，，∴設(shè)，那么，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，同時也利用了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練使用三角形內(nèi)角和定理．3．（23-24八年級上·陜西西安·開學(xué)考試）如圖，在中，，，，垂足分別為點D、E，AD、CE交于點H，．下列結(jié)論：①；②；③；④．你認為正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余、同角的余角相等、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角．①根據(jù)，若，則，而，很明顯不成立；②③可以通過證明得到；④延長交于點L，則，所以．【詳解】解：假設(shè)成立，∵，∴，∵，矛盾，∴不成立，故①錯誤．∵，，∴，在和中，∴∴故②正確．∵，∴故③正確．延長交于點L，

∵，，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選：B．4．（23-24八年級下·廣西柳州·開學(xué)考試）如圖，在中，和的平分線，相交于點O，交于E，交于F，過點O作于D，下列三個結(jié)論：①；②當時，；③若，，則．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得，得到，是解決問題的關(guān)鍵．由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解與的關(guān)系，進而判斷①；在上取一點N，使，證得，得到，再證得，得到，進而判斷②正確；作于H，于M，根據(jù)三角形的面積可證得③錯誤．【詳解】解：∵和的平分線相交于點O，∴，，∴，故①正確．∵，∴，∵，分別是和的平分線，∴，∴，∴，∴，如圖，在上取一點N，使，∵是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴，，∴∵∴∴∴，故②正確．作于H，于M，∵和的平分線，相交于點O，∴點O在的平分線上，∴，∵，∴．故③錯誤．故選：A．5．（2023下·重慶涪陵·八年級統(tǒng)考期末）如圖，鈍角中，為鈍角，為邊上的高，為的平分線，則與、之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)依次推理即可得出結(jié)論．【詳解】解：由三角形內(nèi)角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，∵AE為∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）．∵AD為BC邊上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．又∵∠ABD=180°-∠2，∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．故選：B【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義、三角形外角性質(zhì)及三角形的高的定義，解答的關(guān)鍵是找到已知角和所求角之間的聯(lián)系．6．（2023下·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，是高，是角平分線，是中線與相交于，以下結(jié)論正確的有（

）

①；②；③；④；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】解：由高的定義，得，①正確；由中線得，兩三角形等底同高，于是,②正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余及外角知識，得，結(jié)合角平分線定義可判斷③正確；如圖，過點E作，垂足為H，I，根據(jù)角平分線性質(zhì)，得，可證得．④正確．【詳解】解：∵是高，∴．∴，①正確；∵是中線，∴．令中邊上的高為h，∴,②正確；∵∴.∵是角平分線，∴．∴，③正確；如圖，過點E作，垂足為H，I，∵是角平分線，∴．

．④正確．故選：D．【點睛】本題考查三角形角平分線，中線，高的定義，直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．7．（2023下·重慶江北·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，分別是高和角平分線，點在的延長線上，交于，交于，下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，然后根據(jù)同角的余角相等即可判定A；根據(jù)角平分線的定義可得，由三角形外角的性質(zhì)可得，然后運用角的和差即可判定B；先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得,再結(jié)合可判定C；先說明，然后根據(jù)等量代換即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故A正確；

∵、分別是高和角平分線，∴，∵，∴，∴，∴；故B正確；∵，∴，∵，∴，由A得：，∴，故C錯誤；∵，∴，∴，∵，∴，故D正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、垂直的定義、三角形外角的性質(zhì)等知識點，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，在腰上取一點D，，垂足為E，另一腰上的高交于點G，垂足為F，若，則的長為．【答案】6【分析】過點G作交于點M，過點M作，根據(jù)等腰三角形各角之間的關(guān)系得出，再由垂直及等量代換得出，利用等角對等邊確定，，再由全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過點G作交于點M，過點M作，如圖所示：∵，，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，，在與中，，∴∴，∴，故答案為：6．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，熟練運用等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2024·重慶·三模）如圖，中，于點，于點，與相交于點，已知，，則的面積為．【答案】【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)證明，得到，再根據(jù)的面積解答即可求解，證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∴，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴的面積，故答案為：．10．（23-24八年級上·安徽六安·期中）如圖，在中，，兩條高交于點O，連接，則．【答案】/42度【分析】本題考查了三角形的三條高交于一點，三角形內(nèi)角和定理．熟練掌握三角形的三條高交于一點是解題的關(guān)鍵．如圖，延長交于，則為邊上的高，即，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，延長交于，∵兩條高交于點O，∴為邊上的高，即，∴，故答案為：．11．（2023春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點E為邊上一點，當為直角三角形時，則．

【答案】50或25/25或50【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由角平分線的定義得，當為直角三角形時，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴∵平分∴當為直角三角形時，有以下兩種情況：①當時，如圖1，∵，∴；

②當時，如圖2，∴，∵，∴，綜上，的度數(shù)為或．故答案為：50或25．【點睛】本題考查的是直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，熟知“三角形的外角的性質(zhì)”是解答此題的關(guān)鍵．12．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，，于，平分交于，交于F．

(1)如果，求的度數(shù)；(2)試說明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得的度數(shù)；（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得，，根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，即可得證．【詳解】（1）解：，，，平分交于，，；（2）證明：，，，，，平分交于，，，，．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習）如圖，在中，平分，為線段上的一個點，交直線于點．(1)若，，求的度數(shù)．(2)猜想與、的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于是解答此題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)，進一步求得的度數(shù)；（2）根據(jù)第（1）小題的思路即可推導(dǎo)這些角之間的關(guān)系．【詳解】（1）解：，，，平分，，，；（2）如圖，設(shè)，，平分，，，，，，，，，，．14．（23-24八年級上·遼寧鞍山·期中）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，求證：∠ACD=∠B；（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判斷△ADE的形狀？并說明理由？（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，點C，B，E在同一直線上，若AB⊥BD，AB=BD，則CE與AC，DE有什么等量關(guān)系，并證明．【答案】（1）證明見解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ACD+∠A=∠B+∠DCB=90°，再解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠ADE+∠A=∠A+∠B=90°，再解答即可；（3）由AB⊥BD可得∠DBE+∠ABC=90°，進而可證明∠A=∠DBE，利用AAS可證明△ABC≌△BDE，即可證明BC=DE，AC=BE，從而可證明CE=AC+DE.【詳解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠ACD=∠B.（2）△ADE是直角三角形，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ADE=∠B，∴∠A+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，即△ADE得直角三角形.（3）CE=AC+DE，證明如下：∵點C、B、E在同一直線上，AB⊥BD，∴∠DBE+∠ABC=90°，∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE∵∠C=∠E=90°，AB=BD，∠A=∠DBE，∴△ABC≌△BDE，∴BC=DE，AC=BE，∴CE=CB+BE=DE+AC.【點睛】此題考查直角三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出兩銳角互余是解題關(guān)鍵.15．（23-24七年級下·河南周口·階段練習）已知在中，于點D．(1)如圖1，若的平分線交于點E，，，則的度數(shù)為______．(2)如圖2，點M、N分別在線段、上，將折疊，點B落在點F處，點C落在點G處，折痕分別為和，點G、F均在直線上，若，試說明．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查三角形綜合題，涉及翻折變換，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定義，三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．（1）利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可解決問題，（2）由折疊可知和，由得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出，從而得出，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，，∵平分，∴，∴．（2）解：由折疊可知，．∵，∴，∵，∴，即，∴，∴．16．（22-23八年級上·廣西桂林·期中）如圖，中，，，平分，于D，，交于F，求：(1)的度數(shù)；(2)當平分時，，若，，，請用含m，n，a的代數(shù)式表示的長．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用．（1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，則可以求解，然后在中，利用內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù)；（2）設(shè)，則，代入計算即可求解．【詳解】（1）解：，，，平分，，，，，，，，；（2）解：設(shè)，則，∵，且，，，∴，∴，∴，即．17．（2024·河北邢臺·八年級校考期中）在中，，D，E分別是邊和延長線上的點，連接，，．(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，已知．①判斷是否平分，并說明理由；②F為射線上一點（不與點D重合），過點F作，垂足為G．若，，直接用含，的式子表示出的度數(shù)．

【答案】(1)(2)①平分，理由見解析；②或【分析】（1）如圖1，由，，得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求解；（2）如圖2，①根據(jù)，，，可得，從而證明結(jié)論成立；②解：如圖2，分兩種情況：當點在AD上時，由角平分線定義及三角形的內(nèi)角和定理可得，從而利用三角形外角性質(zhì)得，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及補角即可求解；當點在AD的延長線上時，先證明，再利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵，，∴．∵是的外角，∴，∴．（2）（2）①平分，理由如下：∵，，，，∴，∴AD平分；②解：如圖2，

分兩種情況：當點在AD上時．∵AD平分，∴．∴，∵，∴，∴．當點在AD的延長線上時．∵，，∴，∴．綜上所述，的大小為或．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余以及平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理及其外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點．

(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請你用其中的兩個事項作為條件，余下的事項作為結(jié)論，構(gòu)造一個真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)①②；③；見解答(2)【分析】（1）條件：①②，結(jié)論：③，由角平分線的性質(zhì)可得，由和，得出，利用三角形內(nèi)角和可得結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論和三角形外角性質(zhì)即可得答案．【詳解】（1）條件：①②，結(jié)論：③，證明：∵是的角平分線，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的高．條件：①③，結(jié)論：②，證明：∵是的高，∴，∴，∵，，，∴，∴是的角平分線；條件：②③，結(jié)論：①，證明：∵是的角平分線，∴，∵是的高，∴，∴，∵，，∴；故答案為：①②；③；證明：見解答；（2）∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴．【點睛】本題考查命題與定理，掌握角分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，外角性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．（202