2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題19全等與相似模型之一線三等角（K字）模型解讀與提分精練（全國(guó)版）

專題19全等與相似模型之一線三等角（K字）模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.一線三等角模型（全等模型） 2模型2.一線三等角模型（相似模型） 11 19大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.一線三等角模型（全等模型）一線三等角模型是指三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上，這個(gè)模型在七八年級(jí)階段往往用來(lái)證明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側(cè)型和異側(cè)型兩類。1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB+CD=BC。2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB-CD=BC。1）（同側(cè)型）證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。2）（異側(cè)型）證明：∵，∴∠ECD=∠ABE，∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。例1．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得線段，連接．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；【類比探究】（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．例2．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長(zhǎng)度為何值時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．例3．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線和邊上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例4．（23-24八年級(jí)上·重慶綦江·期末）（1）如圖①，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，且，于點(diǎn)F，于點(diǎn)D．求證：；（2）如圖②，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，點(diǎn)E、F都在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；（3）如圖③，在中，，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，．若的面積為17，求與的面積之和．例5．（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在y軸正半軸，點(diǎn)C在x軸正半軸，交y軸于點(diǎn)E．(1)如圖1，若點(diǎn)B坐標(biāo)為，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)B坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)B作交x軸于點(diǎn)D，設(shè)的長(zhǎng)為d，請(qǐng)用含m的式子表示d；(3)如圖3，若點(diǎn)B為第三象限內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作交x軸于點(diǎn)D，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．模型2.一線三等角模型（相似模型）“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等（或利用外角定理也可），從而得到兩個(gè)三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED。證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.證明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的補(bǔ)角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED?！摺?=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，且∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。∴，∵C為AB的中點(diǎn)，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.證明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，∴△ABC∽△BFC，同理可證：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.證明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，∵∠AMB=∠NMC（對(duì)頂角相等）∴△ABM∽△NCM.同理可證：△NDE∽△NCM故：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕，如圖②．根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長(zhǎng)是（

）

A．3 B． C．2 D．1例3．（2024·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（不用證明）．

(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論．(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．②若圖1的中，，，并將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過(guò)點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫(xiě)出證明過(guò)程）．例4．（2023·浙江寧波·二模）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，P是內(nèi)部一點(diǎn)，在射線上取點(diǎn)D、E，使得．求證：；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，，，D是上一點(diǎn)，連接BD，在BD上取點(diǎn)E、F，連接，使得．若，求CE的長(zhǎng)；【拓展提高】如圖3，在中，，，D是上一點(diǎn)，連接BD，在BD上取點(diǎn)E，連接CE．若，，求的正切值．

例5．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，D．若，則1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于，以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；③當(dāng)為等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A． B． C． D．3．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)，A與關(guān)于y軸對(duì)稱，連結(jié)，現(xiàn)將線段以點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：如圖，等腰直角，，，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，，連接CD，，，BC的長(zhǎng)為．5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，，，，和都是等腰直角三角形，圖中陰影部分的面積為．6．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，為了測(cè)盤(pán)凹檔的寬度，把一塊等腰直角三角板（，）放置在凹槽內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別落在凹槽內(nèi)壁上，若，測(cè)得，，則該凹槽的寬度的長(zhǎng)為．7．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，將平行四邊形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形，使點(diǎn)E落在邊上，且點(diǎn)D巧合是的中點(diǎn)，若則的值為．8．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一張正方形紙片折疊，折痕為，折疊后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)F處，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．若，，則的長(zhǎng)為．9．（2024·四川成都·一模）已知等邊的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)M在邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在直線上運(yùn)動(dòng)，將沿著翻折，使點(diǎn)A落在直線上的點(diǎn)處，若，則．10．（23-24八年級(jí)下·山東濱州·期末）小明酷愛(ài)數(shù)學(xué)，勤于思考，善于反思，在學(xué)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)之后，他發(fā)現(xiàn)“全等三角形”和“軸對(duì)稱”兩章中許多問(wèn)題有關(guān)聯(lián)，問(wèn)題解決的方法相通．于是他撰寫(xiě)了一篇數(shù)學(xué)作文．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀思考，幫助小明完成相關(guān)內(nèi)容．“一線三垂直”模型的探索與拓展【模型呈現(xiàn)】“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個(gè)等角的度數(shù)均為，且它們的頂點(diǎn)在同一條直線上，所以稱為“一線三垂直模型”．若有—組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角形．例如：如圖1，，過(guò)點(diǎn)C作任意一條直線m，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，則三個(gè)直角的頂點(diǎn)都在同一條直線m上，這就是典型的“一線三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因?yàn)?，所以可得．【模型?yīng)用】問(wèn)題1：如圖2，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，求的長(zhǎng)．

問(wèn)題2：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，．若是以為腰的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【模型遷移】問(wèn)題3：如圖4，已知為等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在三邊上，且，．求證：是等邊三角形．

11．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請(qǐng)根據(jù)以下問(wèn)題，把你的感知填寫(xiě)出來(lái)：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點(diǎn)B在直線l上，分別過(guò)點(diǎn)A、C作于E，于F．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長(zhǎng)．12．（2024·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．13．（2024·浙江·?？家荒＃?）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，垂足分別為D、E．求證：．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線繞P點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點(diǎn)R．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．14．（2024·北京?？肌ひ荒＃┮阎菪沃?，∥，且，，．⑴如圖，P為上的一點(diǎn)，滿足∠BPC=∠A，求AP的長(zhǎng)；⑵如果點(diǎn)P在邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)不重合），且滿足∠BPE=∠A，交直線于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)，CQ=y，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；②寫(xiě)CE=1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)解答過(guò)程）15．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對(duì)稱點(diǎn)落在上，的對(duì)稱點(diǎn)為交于．(1)求證：．(2)若為中點(diǎn)，且，求長(zhǎng)．(3)連接，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，探究與大小關(guān)系并說(shuō)明理由．16．（2023年安徽省九年級(jí)數(shù)學(xué)一模試卷）如圖，在中，，，是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)，連接(1)求證：(2)若是的中點(diǎn)，求的值．(3)若，求的值．17．（2023秋·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，D是邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，．求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，若，，求線段的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）在中．，，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上．若，求的長(zhǎng)．18．（2024·河南·三模）問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和疊放在一起，其中，，，頂點(diǎn)D與邊的中點(diǎn)重合，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交于點(diǎn)G．求重疊部分（）的面積．

(1)小明經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，寫(xiě)出如下步驟，請(qǐng)你幫助小明補(bǔ)全依據(jù)及步驟：解：∵，D是的中點(diǎn)，∴．∴．

（依據(jù)：______________________）又∵，∴．∴．∴_____________________．∴．∴．又∵，∴G是的中點(diǎn)，∴為中位線．∴，．∴．(2)“希望”學(xué)習(xí)小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)G，如圖2，請(qǐng)解決下列兩個(gè)問(wèn)題：①求證：；②求出重疊部分（）的面積．(3)“智慧”小組也不甘落后，提出的問(wèn)題是：如圖3，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，，分別交于點(diǎn)M，N，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出此時(shí)重疊部分（）的面積是________．19．（22-23九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是中線，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．(1)如圖1，若CE＝CF，求證：DE＝DF．(2)在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：①如圖2，求證：；②若CE＝6，CF=3，求DN的長(zhǎng)．20．（2024·河南周口·三模）在四邊形中，是邊上一點(diǎn)，在的右側(cè)作，且，連接．(1)如圖，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，．(2)如圖，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求（用含的式子表示）．(3)在（2）的條件下，且如圖，連接交于點(diǎn)；若為邊的三等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

專題19全等與相似模型之一線三等角（K字）模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.一線三等角模型（全等模型） 2模型2.一線三等角模型（相似模型） 11 19大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！模型1.一線三等角模型（全等模型）一線三等角模型是指三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上，這個(gè)模型在七八年級(jí)階段往往用來(lái)證明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側(cè)型和異側(cè)型兩類。1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB+CD=BC。2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角條件：，AE=DE；結(jié)論：，AB-CD=BC。1）（同側(cè)型）證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴，∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。2）（異側(cè)型）證明：∵，∴∠ECD=∠ABE，∵，∠AED=∠AEB+∠CED，，∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴，∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。例1．（2024·山東煙臺(tái)·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得線段，連接．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；【類比探究】（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，先在圖2中補(bǔ)全圖形，再探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】（1）；（2），補(bǔ)圖及證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用一線三垂直全等模型證明，再證明即可；（2）同（1）中方法證明，再證明即可；（3）分兩種情況討論：過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求出，即可．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）補(bǔ)全圖形如圖：，理由如下：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由（2）得，，∴，∴，∴．當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，連接，同理可得：，∴，，∴，∴，∴；綜上：或例2．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)∠BDA=115°時(shí)，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）線段DC的長(zhǎng)度為何值時(shí)，△ABD≌△DCE，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由見(jiàn)詳解；（3）可以，110°或80°.【分析】（1）利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．（3）當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形．【詳解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí)，△ADE的形狀是等腰三角形，∵∠BDA=110°時(shí)，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形狀是等腰三角形；∵當(dāng)∠BDA的度數(shù)為80°時(shí)，∴∠ADC=100°，∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形狀是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．例3．（2024·甘肅·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，已知和，，，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對(duì)角線和邊上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【模型遷移】（3）如圖3，在正方形中，點(diǎn)E在對(duì)角線上，點(diǎn)F在邊的延長(zhǎng)線上，，．用等式寫(xiě)出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1），理由見(jiàn)詳解，（2），理由見(jiàn)詳解，（3），理由見(jiàn)詳解【分析】（1）直接證明，即可證明；（2）過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)N，先證明，可得，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，，即有，，進(jìn)而可得，即可證；（3）過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)H，過(guò)F點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，先證明，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可證明．【詳解】（1），理由如下：∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；（2），理由如下：過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)M，過(guò)E點(diǎn)作于點(diǎn)N，如圖，∵四邊形是正方形，是正方形的對(duì)角線，∴，平分，，∴，即，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，，，∴四邊形是正方形，∴是正方形對(duì)角線，，∴，，∴，，∴，即，∵，∴，即有；（3），理由如下，過(guò)A點(diǎn)作于點(diǎn)H，過(guò)F點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖，∵，，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵在正方形中，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準(zhǔn)確表示出各個(gè)邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．例4．（23-24八年級(jí)上·重慶綦江·期末）（1）如圖①，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，且，于點(diǎn)F，于點(diǎn)D．求證：；（2）如圖②，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，點(diǎn)E、F都在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；（3）如圖③，在中，，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，．若的面積為17，求與的面積之和．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形外角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，，，，，．（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)的面積為17，，得出的面積是：，由，得出，根據(jù)，即可求出結(jié)果．【詳解】證明：（1）∵，，，∴，∴，，∴，在和中，，∴；（2）∵，，，，∴，，在和中，，∴；∴，，∴；（3）∵的面積為17，，∴的面積是：，根據(jù)解析（2）同理可證，∴，∴．例5．（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在y軸正半軸，點(diǎn)C在x軸正半軸，交y軸于點(diǎn)E．(1)如圖1，若點(diǎn)B坐標(biāo)為，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)B坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)B作交x軸于點(diǎn)D，設(shè)的長(zhǎng)為d，請(qǐng)用含m的式子表示d；(3)如圖3，若點(diǎn)B為第三象限內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作交x軸于點(diǎn)D，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】(1)，(2)(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，證明，可得，即可；（2）過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，軸于點(diǎn)G，連接，則，證明，可得，由（1）得：，，，然后根據(jù)，可得，即可求解；（3）在上取，連接，證明，可得，從而得到，過(guò)點(diǎn)B作交y軸于點(diǎn)G，可證明，可得．再根據(jù)，可得，即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，在中，，∵，∴，∵點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴，又∵，，∴，∴，，∴，；（2）解：過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，軸于點(diǎn)G，連接，則，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴，∴，∴，由（1）得：，∴，，，，，，即；（3）解：，證明如下：如圖，在上取，連接，∵，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，過(guò)點(diǎn)B作交y軸于點(diǎn)G，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵，

∴，∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，得到全等三角形是解題的的關(guān)鍵．模型2.一線三等角模型（相似模型）“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等（或利用外角定理也可），從而得到兩個(gè)三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED。證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.證明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的補(bǔ)角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED?！摺?=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，且∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.證明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED?！?，∵C為AB的中點(diǎn)，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.證明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A，∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°，∴△ABC∽△BFC，同理可證：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.證明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°，∵∠AMB=∠NMC（對(duì)頂角相等）∴△ABM∽△NCM.同理可證：△NDE∽△NCM故：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據(jù)題意得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕，如圖②．根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長(zhǎng)是（

）

A．3 B． C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，，，設(shè)，則，利用勾股定理求出，再證明，得，求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

在和中，設(shè)，則，，即：，解得：，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問(wèn)題及矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)并能熟練運(yùn)用勾股定理方程思想是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（不用證明）．

(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論．(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．②若圖1的中，，，并將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過(guò)點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫(xiě)出證明過(guò)程）．【答案】(1)成立，見(jiàn)解析(2)①，見(jiàn)解析；②或【分析】（1）易證，則有，，從而可得；（2）①易證，則有，從而可得，，即可得到；②同①可得，．由于直線在繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離大小關(guān)系會(huì)發(fā)生變化，因此需分情況討論（如圖4、圖，然后只需結(jié)合圖形就可解決問(wèn)題．【詳解】（1）猜想．理由：如圖2，

，．，，．在和中，，，，，；（2）①猜想：．理由：如圖3，，．，，．，，，，，；②或．同①可得：，．如圖4，；如圖5，．【點(diǎn)睛】本題是一道探究題，用到了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角的定義等知識(shí)，考查了探究能力，滲透分類討論的思想以及特殊到一般的思想，是一道好題．例4．（2023·浙江寧波·二模）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，P是內(nèi)部一點(diǎn)，在射線上取點(diǎn)D、E，使得．求證：；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，，，D是上一點(diǎn)，連接BD，在BD上取點(diǎn)E、F，連接，使得．若，求CE的長(zhǎng)；【拓展提高】如圖3，在中，，，D是上一點(diǎn)，連接BD，在BD上取點(diǎn)E，連接CE．若，，求的正切值．

【答案】【基礎(chǔ)鞏固】見(jiàn)解析【嘗試應(yīng)用】【拓展提高】【分析】【基礎(chǔ)鞏固】利用兩角相等的三角形相似證明即可；【嘗試應(yīng)用】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，,再推導(dǎo)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算解題；【拓展提高】如圖所示，在BD上取點(diǎn)F，使，作于點(diǎn)，則可得到，即，，進(jìn)而證明，得到，設(shè)，可以求出解題即可．【詳解】【基礎(chǔ)鞏固】證明：∵,，∴,又∵,,，∴,∴.【嘗試應(yīng)用】解：∵,∴，,即：，又∵，，即：，又.∴,又∵，，∴,∴,∴，∴，故CE的長(zhǎng)為：.【拓展提高】解：如圖所示，在BD上取點(diǎn)F，使，作于點(diǎn)，

∵，∴，.即：，又∵，∴，又，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴令，則∴，又∵∴在中，，∴，由勾股定理可得：，又∵，∴∠，∴，∴，∴，設(shè)，則，.∴，解得：,∴,∴故的正切值為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，三角形上午外角，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，D．若，則【答案】D【分析】由，可確定A項(xiàng)正確；由可得，進(jìn)而由確定點(diǎn)F為的三等分點(diǎn)，可確定B項(xiàng)正確；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，得到為圓的直徑，因?yàn)?，根?jù)垂徑定理得到，故C項(xiàng)正確；因?yàn)镈為的三等分點(diǎn)，即，可得，由此確定D項(xiàng)錯(cuò)誤．【詳解】解：依題意可得，∴，∴，又，∴．故A項(xiàng)正確；如圖，∵，，∴．在與中，，∴，∴，又∵，∴；∵為等腰直角三角形，∴；∴；∵，∴，∴，∴．故B項(xiàng)正確；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，∴是B、C、F、D四點(diǎn)所在圓的直徑，∵，∴，∴，故C項(xiàng)正確；∵，，，∴，∴，，∴，∴；∴．故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應(yīng)用，有一定的難度．對(duì)每一個(gè)結(jié)論，需要仔細(xì)分析，嚴(yán)格論證；注意各結(jié)論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系，需要善加利用．1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點(diǎn)，連接，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)F作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)H，則，證明，則，設(shè)，得到，則，故，同理可求，則，因此．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)H，則，由旋轉(zhuǎn)得，∵四邊形是正方形，∴，，，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，，設(shè)，則，∴，∴，而，∴，∴，∵，∴，同理可求，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確添加輔助線，構(gòu)造“一線三等角全等”是解題的關(guān)鍵．2．（2024·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于，以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，；③當(dāng)為等腰三角形時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到或；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．【詳解】解：①，，，，，故①正確；②為中點(diǎn)，，，，，，，，故②正確；③，，，為等腰三角形，，，，；或?yàn)榈妊切?，，，，，故③錯(cuò)誤；④，，，，，，，，，，故④正確，綜上所述正確的有①②④．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．3．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)，A與關(guān)于y軸對(duì)稱，連結(jié)，現(xiàn)將線段以點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，證明，可得，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)，A與關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，∵將線段以點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：A4．（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知：如圖，等腰直角，，，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，，連接CD，，，BC的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)作于，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，由，，得到，證出，推出，得到，，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，，，于是得到．【詳解】解：過(guò)作于，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，，，，，在與中，，，，，，，設(shè)，，在中，，即：，解得：；（不合題意，舍去）．，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，，，，和都是等腰直角三角形，圖中陰影部分的面積為．【答案】12【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)．過(guò)作于，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，過(guò)作于，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)作于，，，，，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，過(guò)作于，，，，，，，同理，，，，，，，圖中陰影部分的面積的面積，故答案為：12．6．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，為了測(cè)盤(pán)凹檔的寬度，把一塊等腰直角三角板（，）放置在凹槽內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別落在凹槽內(nèi)壁上，若，測(cè)得，，則該凹槽的寬度的長(zhǎng)為．【答案】48【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴故答案為：48．7．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，將平行四邊形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形，使點(diǎn)E落在邊上，且點(diǎn)D巧合是的中點(diǎn)，若則的值為．【答案】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．設(shè)，則，即可得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，即可得到，求出和長(zhǎng)即可解題．【詳解】解：在平行四邊形中，，，∵平行四邊形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形，∴，，，設(shè)，則，∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，，，∴，，∴，∴，即，解得，∴，∴，故答案為：．8．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一張正方形紙片折疊，折痕為，折疊后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)F處，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G．若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，由題意可知，，，證明，，由性質(zhì)即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，由題意可知，，，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴，故答案為：．9．（2024·四川成都·一模）已知等邊的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)M在邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在直線上運(yùn)動(dòng)，將沿著翻折，使點(diǎn)A落在直線上的點(diǎn)處，若，則．【答案】或【分析】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，翻折變換，關(guān)鍵是證明，得到，再利用含的式子表示．此題要分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)A落在線段上時(shí)；②當(dāng)A在的延長(zhǎng)線上時(shí)，首先證明．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再設(shè)，則，然后利用含x的式子表示、，根據(jù)列出方程，解出x的值可得答案．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)A落在如圖1所示的位置時(shí)，是等邊三角形，，，，，．，由折疊知，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，解得，；②當(dāng)A在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，由折疊知，，，，，又，，，，，，，設(shè)，則，，，，，解得：，故答案為：或10．（23-24八年級(jí)下·山東濱州·期末）小明酷愛(ài)數(shù)學(xué)，勤于思考，善于反思，在學(xué)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)之后，他發(fā)現(xiàn)“全等三角形”和“軸對(duì)稱”兩章中許多問(wèn)題有關(guān)聯(lián)，問(wèn)題解決的方法相通．于是他撰寫(xiě)了一篇數(shù)學(xué)作文．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀思考，幫助小明完成相關(guān)內(nèi)容．“一線三垂直”模型的探索與拓展【模型呈現(xiàn)】“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個(gè)等角的度數(shù)均為，且它們的頂點(diǎn)在同一條直線上，所以稱為“一線三垂直模型”．若有—組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角形．例如：如圖1，，過(guò)點(diǎn)C作任意一條直線m，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，則三個(gè)直角的頂點(diǎn)都在同一條直線m上，這就是典型的“一線三垂直”模型；如果，那么由，可得，又因?yàn)?，所以可得．【模型?yīng)用】問(wèn)題1：如圖2，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，求的長(zhǎng)．

問(wèn)題2：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，．若是以為腰的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【模型遷移】問(wèn)題3：如圖4，已知為等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在三邊上，且，．求證：是等邊三角形．【答案】問(wèn)題1：4；問(wèn)題2：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或；問(wèn)題3：證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】問(wèn)題1：利用等量代換得，證明，可得，，再根據(jù)求解即可；問(wèn)題2：如圖，由題意可得，，分類討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)求解即可；問(wèn)題3：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用等量代換可得，證得，可得，再根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得證．【詳解】解：?jiǎn)栴}1：由題意得，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴；問(wèn)題2：如圖，∵，，∴，，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，同理可證，，∴，，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)F，同理可證，，∴，，∴，∴，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或；

問(wèn)題3：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請(qǐng)根據(jù)以下問(wèn)題，把你的感知填寫(xiě)出來(lái)：①如圖1，是等腰直角三角形，，AE=BD，則_______；②如圖2，為正三角形，，則________；③如圖3，正方形的頂點(diǎn)B在直線l上，分別過(guò)點(diǎn)A、C作于E，于F．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【模型應(yīng)用】（2）如圖4，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．【模型變式】（3）如圖5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的長(zhǎng)．【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm【分析】①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△AED≌△BDF；②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△BDE≌△CFD；③根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性質(zhì)即可求得EF的長(zhǎng)；（2）分別過(guò)A、C作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，根據(jù)正方形的性質(zhì)及和角關(guān)系，可得△COE≌△OAD，從而可求得OE、CE的長(zhǎng)，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）由三個(gè)垂直及等腰直角三角形可證明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)即可求得BE的長(zhǎng)．【詳解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜?∠B=135゜∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜?∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS)答案為：△BDF；②∵△ABC是等邊三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜?∠B=120゜∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜?∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案為：△CFD；③∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜?∠ABC=90゜∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB=90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS)∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3故答案為：3；（2）分別過(guò)A、C作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，如圖所示∵四邊形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜?∠ACO=90゜∵AD⊥x軸，CE⊥x軸∴∠CEO=∠ADO=90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD在△COE和△OAD中∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD∵∴OD=1，∴CE=1，∵點(diǎn)C在第二象限∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為故答案為：；（3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD=90゜∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠CEB=∠ADC=90゜∴∠BCE+∠CBE=90゜∴∠CBE=∠ACD在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS)∴BE=CD，CE=AD=6cm∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)【點(diǎn)睛】本題是三角形全等的綜合，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是關(guān)鍵．12．（2024·黑龍江牡丹江·九年級(jí)期末）平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立(2)AF-BF=2CE【分析】（1）過(guò)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，可證△ACE≌△CBH，通過(guò)線段的等量代換可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，△ACE≌△CBG，通過(guò)線段的等量代換可得答案．（1）解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，

證明：如圖，過(guò)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．（2）解：不成立，線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：AF-BF=2CE證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG，又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)題意正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2024·浙江·校考一模）（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，垂足分別為D、E．求證：．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線繞P點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點(diǎn)R．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）；（3）R（，0）【分析】（1）先判斷出∠ACB=∠ADC，再判斷出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)M作MF⊥y軸，垂足為F，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥MF，判斷出MF=NG，OF=MG，設(shè)M（m，n）列方程組求解，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥PQ，交PR于S，過(guò)點(diǎn)S作SH⊥x軸于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，進(jìn)而得出Q（1，0），OQ=1，再判斷出PQ=SQ，即可判斷出OH=5，SH=OQ=1，進(jìn)而求出直線PR的解析式，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，∴∠ACB＝∠ADC．∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥y軸，垂足為F，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥MF，交FM的延長(zhǎng)線于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，∴由（1）得△OFM≌△MGN，∴MF＝NG，OF＝MG，設(shè)M（m，n），∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，NG＝m，∵點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，2）∴解得∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥PQ，交PR于S，過(guò)點(diǎn)S作SH⊥x軸于H，對(duì)于直線y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4，∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP．∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．∴S（5，1），設(shè)直線PR為y＝kx+b，則，解得．∴直線PR為y＝x+4．由y＝0得，x＝，∴R（，0）．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．14．（2024·北京?？肌ひ荒＃┮阎菪沃?，∥，且，，．⑴如圖，P為上的一點(diǎn)，滿足∠BPC=∠A，求AP的長(zhǎng)；⑵如果點(diǎn)P在邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)不重合），且滿足∠BPE=∠A，交直線于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)，CQ=y，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；②寫(xiě)CE=1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)解答過(guò)程）【答案】⑴的長(zhǎng)1或4;⑵①;②或3-【分析】（1）當(dāng)∠BPC=∠A時(shí)，∠A+∠APB+∠ABP=180°，而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°，因此∠ABP=∠DPC，此時(shí)三角形APB與三角形DPC相似，那么可得出關(guān)于AP，PD，AB，CD的比例關(guān)系式，AB，CD的值題中已經(jīng)告訴，可以先用AP表示出PD，然后代入上面得出的比例關(guān)系式中求出AP的長(zhǎng)．（2）①與（1）的方法類似，只不過(guò)把DC換成了DQ，那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了．然后按得出的關(guān)于AB，AP，PD，DQ的比例關(guān)系式，得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．②和①的方法類似，但是要多一步，要先通過(guò)平行得出三角形PDQ和CEQ相似，根據(jù)CE的長(zhǎng)，用AP表示出PD，然后根據(jù)PD，DQ，QC，CE的比例關(guān)系用AP表示出DQ，然后按①的步驟進(jìn)行求解即可．【詳解】解：⑴，，，又梯形中，，，，，設(shè)，，，解得，，的長(zhǎng)1或4;⑵①由⑴易得（如圖），，即，②當(dāng)CE=1時(shí)，∵△PDQ∽△ECQ，∴,或，，解得：AP=2或3?.【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用相似三角形得出線段間的比例關(guān)系是求解的關(guān)鍵．15．（2024·湖北·中考真題）如圖，矩形中，分別在上，將四邊形沿翻折，使的對(duì)稱點(diǎn)落在上，的對(duì)稱點(diǎn)為交于．(1)求證：．(2)若為中點(diǎn)，且，求長(zhǎng)．(3)連接，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，探究與大小關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由折疊得出，得出，即可證明；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及線段中點(diǎn)，得出，根據(jù)代入數(shù)值得，進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合，則，代入數(shù)值，得，所以；（3）由折疊性質(zhì)，得直線，，是等腰三角形，則，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，，所以，則，所以，則，即可作答．【詳解】（1）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對(duì)稱點(diǎn)落在上，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖：∵四邊形是矩形，∴，，∵為中點(diǎn)，∴，設(shè)，∴，在中，，即，解得，∴，∴，∵，∴，∴，解得，∵，∴；（3）解：如圖：延長(zhǎng)交于一點(diǎn)M，連接∵分別在上，將四邊形沿翻折，使的對(duì)稱點(diǎn)落在上，∴直線，，∴是等腰三角形，∴，∵為中點(diǎn)，∴設(shè)，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．16．（2023年安徽省九年級(jí)數(shù)學(xué)一模試卷）如圖，在中，，，是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)，連接(1)求證：(2)若是的中點(diǎn)，求的值．(3)若，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)的值為12【分析】（1）先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明．（2）先證明，求出，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．（3）利用全等和相似進(jìn)行線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化，先求出，再求出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴，∵，∴，（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵