2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率隨機(jī)變量及其分布12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差講義理蘇教

§12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為知識(shí)梳理Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝

為隨機(jī)變量X的均值或

.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的

.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn數(shù)學(xué)期望平均水平(2)方差稱V(X)＝μ＝

＝

－μ2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的

，其算術(shù)平方根σ＝

為隨機(jī)變量X的

.(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn平均偏離程度標(biāo)準(zhǔn)差2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝

.(2)V(aX＋b)＝

.(a，b為常數(shù))3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝

，V(X)＝

.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝

，V(X)＝

.aE(X)＋ba2V(X)p(1－p)pnp(1－p)np思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定.(

)(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.(

)(3)若隨機(jī)變量X的取值中的某個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率增大時(shí)，均值也增大.(

)(4)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān).(

)×√√×考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的概率分布如下：答案解析ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，則y的值為

.0.4可得y＝0.4.2.設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布為P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，則V(ξ)＝

.答案解析83.已知隨機(jī)變量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，則隨機(jī)變量η的均值E(η)及方差V(η)分別是

.答案解析2和2.4設(shè)隨機(jī)變量X的均值及方差分別為E(X)，V(X)，因?yàn)閄～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，V(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，V(η)＝V(8－X)＝V(X)＝2.4.4.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1,2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和方差分別為

.答案解析1＋a,4所以y1，y2，…，y10的均值為1＋a，方差不變?nèi)詾?.5.(教材改編)拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為

.答案解析題型分類深度剖析題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差命題點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的均值、方差例1

(2016·山東)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是

，乙每輪猜對(duì)的概率是

，每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：(1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語的概率；解答記事件A：“甲第一輪猜對(duì)”，記事件B：“乙第一輪猜對(duì)”，記事件C：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件D：“乙第二輪猜對(duì)”，記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語”.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的概率分布和均值E(Χ)．解答由題意，得隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得可得隨機(jī)變量X的概率分布為命題點(diǎn)2已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值例2

(2016·揚(yáng)州模擬)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分.(1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的概率分布；解答由題意得ξ＝2,3,4,5,6，所以ξ的概率分布為(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù).若E(η)＝

，V(η)＝

，求a∶b∶c.解答由題意知η的概率分布為解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差.可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的概率概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值.(3)由已知條件，作出對(duì)兩種方案的判斷.可依據(jù)均值、方差的意義，對(duì)實(shí)際問題作出判斷.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2015·四川)某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；解答因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的概率分布和均值.解答根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3，所以X的概率分布為解答題型二與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值與方差例3某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為

和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為

，求p的值；設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么解答(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的概率分布及均值E(ξ).所以，隨機(jī)變量ξ的概率分布為故隨機(jī)變量ξ的均值解決與二項(xiàng)分布有關(guān)的均值、方差問題關(guān)鍵有二點(diǎn)：一是準(zhǔn)確把握概率模型，確認(rèn)要解決的問題是否屬于二項(xiàng)分布問題.二是正確套用概率公式.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2016·鹽城模擬)甲、乙兩人投籃命中的概率分別為

，各自相互獨(dú)立.現(xiàn)兩人做投籃游戲，共比賽3局，每局每人各投一球.(1)求比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)的概率；解答比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)有以下幾種情況：甲進(jìn)1球，乙進(jìn)0球；甲進(jìn)2球，乙進(jìn)1球；甲進(jìn)3球，乙進(jìn)2球.所以比賽結(jié)束后甲的進(jìn)球數(shù)比乙的進(jìn)球數(shù)多1個(gè)的概率為(2)設(shè)ξ表示比賽結(jié)束后甲、乙兩人進(jìn)球的差的絕對(duì)值，求ξ的概率分布和均值E(ξ).解答ξ的取值為0,1,2,3，所以ξ的概率分布為題型三均值與方差在決策中的應(yīng)用例4

(2016·全國(guó)乙卷)某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).(1)求X的概率分布；解答由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4,0.2,0.2，從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的概率分布為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；解答由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19.(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的均值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？解答記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元).當(dāng)n＝19時(shí)，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040；當(dāng)n＝20時(shí)，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知當(dāng)n＝19時(shí)所需費(fèi)用的均值小于n＝20時(shí)所需費(fèi)用的均值，故應(yīng)選n＝19.隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.思維升華跟蹤訓(xùn)練3某投資公司在2016年年初準(zhǔn)備將1000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為

；項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為 .針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由.解答若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的概率分布為若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的概率分布為X2500－3000P∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)<V(X2)，這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.典例

(16分)在2016年全國(guó)高校自主招生考試中，某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立回答全部問題.規(guī)定：至少正確回答其中2題的便可通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；考生乙每題正確回答的概率都為

，且每題正確回答與否互不影響.(1)分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數(shù)的概率分布，并計(jì)算其均值；(2)試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩考生的通過能力.離散型隨機(jī)變量的均值與方差問題答題模版系列8規(guī)范解答答題模版解(1)甲正確回答的題目數(shù)ξ可取1,2,3.故其概率分布為ξ123Pη0123P∴V(ξ)<V(η).∴P(ξ≥2)>P(η≥2).從回答對(duì)題數(shù)的均值考查，兩人水平相當(dāng)；從回答對(duì)題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少正確回答2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大.因此可以判斷甲的通過能力較強(qiáng). [16分]返回求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值；第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的概率分布；第四步：求均值和方差；第五步：根據(jù)均值、方差進(jìn)行判斷，并得出結(jié)論；(適用于均值、方差的應(yīng)用問題)第六步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.返回課時(shí)作業(yè)1.(2016·常州一模)某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng)，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X(單位：分)的均值為

.答案解析0.912345678910由題意得X＝0,1,2，則P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.123456789102.(2017·無錫月考)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，則P(X＝1)的值為

.(用式子作答)答案解析3×2－10123456789103.(2016·徐州模擬)隨機(jī)變量ξ的概率分布如下，其中a、b、c為等差數(shù)列，若E(ξ)＝

，則V(ξ)的值為

.答案解析ξ－101Pabc12345678910由概率分布得a＋b＋c＝1，

①由a、b、c為等差數(shù)列得2b＝a＋c，

③123456789104.一射擊測(cè)試中每人射擊三次，每擊中目標(biāo)一次記10分，沒有擊中記0分.某人每次擊中目標(biāo)的概率為

，則此人得分的均值與方差分別為

，

.答案解析2012345678910記此人三次射擊擊中目標(biāo)次數(shù)為X，得分為Y，123456789105.(2016·常州模擬)一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)每一個(gè)球被摸到的可能性是相等的.從袋子中摸出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為X，解析根據(jù)題意知X＝0,1,2，答案則X的均值是

.123456789106.甲袋和乙袋中都裝有大小相同的紅球和白球，已知甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為

，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)若m＝10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)；解答設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為x，12345678910(2)若將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是

，求P2的值；解答12345678910(3)設(shè)P2＝

，若從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次.設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的概率分布和均值.解答12345678910ξ的所有可能值為0,1,2,3.12345678910所以ξ的概率分布為123456789107.乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D.某次測(cè)試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分.對(duì)落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為

，在D上的概率為

；對(duì)落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為

，在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：12345678910(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；解答12345678910記Ai為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i＝0,1,3)，記Bj為事件“小明對(duì)落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為j分”(j＝0,1,3)，記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上”.由題意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)12345678910＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)12345678910(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的概率分布與均值.解答12345678910由題意，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)12345678910P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)可得隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξ012346P12345678910123456789108.(2016·南京模擬)假定某射手射擊一次命中目標(biāo)的概率為.現(xiàn)有4發(fā)子彈，該射手一旦射中目標(biāo)，就停止射擊，否則就一直獨(dú)立地射擊到子彈用完.設(shè)耗用子彈數(shù)為X，求：(1)X的概率分布；解答12345678910耗用子彈數(shù)X的所有可能取值為1,2,3,4.當(dāng)X＝2時(shí)，表示射擊兩次，第一次未中，第二次射中目標(biāo)，當(dāng)X＝3時(shí)，表示射擊三次，第一次、第二次均未擊中，第三次擊中，當(dāng)X＝4時(shí)，表示射擊四次，前三次均未擊中，12345678910故X的概率分布為X1234P12345678910(2)均值E(X).解答123456789109.(2016·宿遷模擬)已知甲箱中裝有3個(gè)紅球、3個(gè)黑球，乙箱中裝有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，設(shè)獎(jiǎng)規(guī)則如下：每次分別從以上兩個(gè)箱中各隨機(jī)摸出2個(gè)球，共4個(gè)球.若摸出4個(gè)球都是紅球，則獲得一等獎(jiǎng)；摸出的球中有3個(gè)紅球，則獲得二等獎(jiǎng)；摸出的球中有2個(gè)紅球，則獲得三等獎(jiǎng)；其他情況不獲獎(jiǎng).每次摸球結(jié)束后將球放回原箱中.(1)求在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)的概率；設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲得二等獎(jiǎng)”為事件A，解答12345678910(2)若連續(xù)摸獎(jiǎng)2次，求獲獎(jiǎng)次數(shù)X的概率分布及均值E(X).解答12345678910設(shè)“在1次摸獎(jiǎng)中，獲獎(jiǎng)”為事件B，由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.12345678910所以X的概率分布是X012P

12345678910*10.為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過模擬兌