多元函數(shù)概述

多元函數(shù)概述一、多元函數(shù)的概念預(yù)備知識(shí)1.在上冊我們研究一元函數(shù)的微積分學(xué)時(shí)，其概念、理論和方法都是基于一維空間中（即數(shù)軸上）的點(diǎn)集、兩點(diǎn)間距離、區(qū)間和鄰域等概念，為了將一元函數(shù)的微積分學(xué)推廣到多元函數(shù)的情形，必須將上述概念加以推廣，以供我們研究多元函數(shù)時(shí)使用．一、多元函數(shù)的概念平面點(diǎn)集是指平面上滿足某個(gè)條件P的一切點(diǎn)構(gòu)成的集合．在平面解析幾何中，平面上的點(diǎn)與有序二元實(shí)數(shù)組之間建立了一一對應(yīng)，由此可借助于平面坐標(biāo)來描述平面點(diǎn)集．例如，平面上以原點(diǎn)為中心，以1為半徑的圓的內(nèi)部就是一個(gè)平面點(diǎn)集（見圖8-1），它可表示成1）平面點(diǎn)集和n維空間圖8-1一、多元函數(shù)的概念

E={(x,y)|x2+y2<1}．由平面解析幾何我們還知道，平面上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離公式為在空間解析幾何中，我們同樣建立了空間中的點(diǎn)與有序三元實(shí)數(shù)組之間的一一對應(yīng)關(guān)系，也可用空間坐標(biāo)來描述空間點(diǎn)集．例如，空間中以原點(diǎn)為球心，2為半徑的球面上的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，可表示為一、多元函數(shù)的概念M={(x,y,z)|x2+y2+z2=4}．由空間解析幾何知道，空間中任意兩點(diǎn)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之間的距離公式為一、多元函數(shù)的概念上面我們把一維空間的點(diǎn)集和距離概念推廣到二維空間R2（平面點(diǎn)集）和三維空間R3（空間點(diǎn)集）.類似地，我們可以把這個(gè)概念推廣到n元有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)所組成的集合Rn，稱為n維空間，n維空間中的點(diǎn)P與n元有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，可用n元有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)來表示n維空間中的點(diǎn)P，其中(x1,x2,…,xn)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)．n維空間中任意兩點(diǎn)P1(x1,x2,…,xn),P2(y1,y2,…,yn)之間的距離為

（8-1）下面研究的有關(guān)內(nèi)容均建立在二維空間R2的基礎(chǔ)上，其結(jié)論可推廣到Rn中去．一、多元函數(shù)的概念2）鄰域設(shè)P0(x0,y0)是平面上一點(diǎn)，δ>0，以P0為中心，δ為半徑的圓的內(nèi)部點(diǎn)P(x,y)的全體構(gòu)成的點(diǎn)集，叫作點(diǎn)P0的δ鄰域，記作U(P0,δ)，即在點(diǎn)P0的δ鄰域內(nèi)，如果去掉中心點(diǎn)P0，則稱為點(diǎn)P0的δ去心鄰域，記作U(P0,δ)，即一、多元函數(shù)的概念3）內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)（1）內(nèi)點(diǎn)：設(shè)E是平面點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)都屬于E，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)（見圖8-2）．圖8-2一、多元函數(shù)的概念（2）外點(diǎn)：設(shè)E是平面點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于E，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集E的外點(diǎn)（見圖8-3）．圖8-3一、多元函數(shù)的概念（3）邊界點(diǎn)：設(shè)E是平面點(diǎn)集，P是平面上一點(diǎn)，如果P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，又有不屬于E的點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)（見圖8-4）．E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界．

例如，單位圓內(nèi)的點(diǎn)都是圓的內(nèi)點(diǎn)，單位圓上的點(diǎn)都是圓的邊界點(diǎn)，單位圓外的點(diǎn)都是圓的外點(diǎn)，單位圓周為圓的邊界．圖8-4一、多元函數(shù)的概念思考邊界點(diǎn)可能屬于點(diǎn)集E，也可能不屬于點(diǎn)集E．一、多元函數(shù)的概念4）開集和連通集

如果集合E中的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E是開集．對于開集E，如果E中的任何兩點(diǎn)，都可以用E中的折線聯(lián)結(jié)起來，則稱E是連通集．一、多元函數(shù)的概念5）區(qū)域和閉區(qū)域

連通的開集E稱為區(qū)域或開區(qū)域．開區(qū)域E連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域．在不混淆的情況下，開區(qū)域和閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域．一、多元函數(shù)的概念6）有界區(qū)域和無界區(qū)域?qū)τ谄矫鎱^(qū)域E，如果存在某一正數(shù)r，使得

其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱區(qū)域E為有界區(qū)域．否則，稱區(qū)域E為無界區(qū)域．例如，區(qū)域E={(x,y)|x2+y2<1}是有界區(qū)域；區(qū)域E={(x,y)|x2+y2≤1}是有界閉區(qū)域；區(qū)域E={(x,y)|x+y<1}是無界區(qū)域；區(qū)域E={(x,y)|x+y≤1}是無界閉區(qū)域．有界閉區(qū)域是我們今后學(xué)習(xí)中常用的．一、多元函數(shù)的概念

本章將以二元函數(shù)為主要對象，可將二元函數(shù)微積分學(xué)的結(jié)論推廣更多元的函數(shù).一、多元函數(shù)的概念二元函數(shù)1.1）實(shí)例引入三角形的面積S和它的底邊長a，底邊上的高h(yuǎn)之間有關(guān)系式

其中S，a，h是三個(gè)變量，當(dāng)變量a，h在一定范圍(a>0,h>0)內(nèi)取定一對數(shù)值(a0,h0)時(shí)，根據(jù)給定的關(guān)系S就有一個(gè)確定的值

與之對應(yīng)．【例1】一、多元函數(shù)的概念設(shè)R是電阻R1，R2并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知識(shí)可知，它們之間具有關(guān)系這里，當(dāng)R1，R2在集合{(R1,R2)|R1>0,R2>0}內(nèi)取定一對值(R1,R2)時(shí)，R的對應(yīng)值就隨之確定．【例2】一、多元函數(shù)的概念設(shè)Z表示居民人均消費(fèi)水平，Y表示國民收入總額，P表示總?cè)丝跀?shù)，則有

，其中S1是消費(fèi)率（國民收入總額中用于消費(fèi)的部分所占的比例），S2是居民消費(fèi)率（消費(fèi)總額中用于居民消費(fèi)的部分所占的比例）．顯然，對于每一個(gè)有序數(shù)組(Y,P)（Y>0,P>0并取整數(shù)），總有唯一確定的實(shí)數(shù)Z與之對應(yīng)，使得以上關(guān)系式成立．此關(guān)系式反映了一個(gè)國家中居民人均消費(fèi)水平依賴國民收入總額和總?cè)丝跀?shù)．【例3】一、多元函數(shù)的概念

拋開上述三個(gè)例題的具體含義，僅從數(shù)量關(guān)系來看，它們具有共同的屬性，抽出這些共性，概括出二元函數(shù)的定義．一、多元函數(shù)的概念2）二元函數(shù)的定義定義1

設(shè)有三個(gè)獨(dú)立的變量x，y，z和非空點(diǎn)集

，如果當(dāng)變量x,y在其給定的范圍D內(nèi)，任取一對數(shù)值(x,y)時(shí)，變量z就按某一確定的對應(yīng)法則f，總有確定的數(shù)值與它們對應(yīng)，那么，變量z就稱為變量x,y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)．其中x,y稱為自變量，函數(shù)z也叫作因變量，自變量x,y的取值范圍D稱為函數(shù)的定義域．二元函數(shù)可記為z=z(x,y)或z=g(x,y)等．類似地，可以給出三元函數(shù)的定義一、多元函數(shù)的概念

n元函數(shù)的定義二元及其以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)．二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)M(x0,y0)所取的函數(shù)值記為一、多元函數(shù)的概念設(shè)，求

解

【例4】一、多元函數(shù)的概念3）二元函數(shù)的定義域同一元函數(shù)一樣，函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是二元函數(shù)的兩個(gè)要素．對于以解析式表示的二元函數(shù)，其定義域就是使該式子有意義的自變量的變化范圍．對于實(shí)際問題，在求定義域時(shí)，除使該式子有意義外，還要符合具體問題的實(shí)際意義．二元函數(shù)的定義域比較復(fù)雜，可以是全平面，可以是一條曲線，也可以是由曲線圍成的部分平面等．二元函數(shù)的定義域的求法同一元函數(shù)，可用不等式組或集合的形式表示．一、多元函數(shù)的概念

【例5】求下列函數(shù)的定義域D，并畫出其圖形．一、多元函數(shù)的概念

解（1）因?yàn)橐购瘮?shù)有意義，應(yīng)有所以，函數(shù)的定義域D是以x=±2,y=±3為邊界的矩形閉區(qū)域（見圖8-5）．圖8-5一、多元函數(shù)的概念（2）因?yàn)橐购瘮?shù)

有意義，應(yīng)有即1<x2+y2≤4．所以，函數(shù)的定義域D是以原點(diǎn)為圓心的環(huán)形區(qū)域，是有界區(qū)域（見圖8-6）．圖8-6一、多元函數(shù)的概念（3）要使函數(shù)有意義，則有即1<x+y≤2．所以，函數(shù)的定義域D是一個(gè)條形區(qū)域，是無界區(qū)域（見圖8-7）.圖8-7一、多元函數(shù)的概念4）二元函數(shù)的幾何意義已知一元函數(shù)（即二元方程）一般表示平面上一條曲線．對于二元函數(shù)（即三元方程），由空間解析幾何知識(shí)知道，它在空間直角坐標(biāo)系中一般表示曲面．設(shè)P(x,y)是二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則相應(yīng)的函數(shù)值是z=f(x,y)，于是，有序數(shù)組x,y,z確定了空間一點(diǎn)M(x,y,z)．當(dāng)點(diǎn)P在D內(nèi)變動(dòng)時(shí)，對應(yīng)的點(diǎn)M就在空間變動(dòng)，一般地形成一個(gè)曲面．我們稱之為二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形（見圖8-8）．定義域D就是曲面在xOy面上的投影區(qū)域．一、多元函數(shù)的概念圖8-8一、多元函數(shù)的概念例如，函數(shù)的圖形是球心在原點(diǎn)、半徑為a的上半球面（見圖8-9）．圖8-9二、二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)情況類似，對于二元函數(shù)z=f(x,y)，我們需要考察當(dāng)自變量x,y無限趨近于常數(shù)x0,y0時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)P(x,y)無限逼近于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢，這就是二元函數(shù)的極限問題．顯然，當(dāng)x,y趨向于x0,y0時(shí)，可以看成點(diǎn)P(x,y)趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)，記為P→P0或(x,y)→(x0,y0)．若記ρ=|PP0|，即

，則可用ρ→0來表示P→P0或(x,y)→(x0,y0)．下面給出當(dāng)ρ→0時(shí)，函數(shù)f(x,y)無限逼近于確定的常數(shù)A的極限定義．二、二元函數(shù)的極限定義2

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)P0可以除外），如果對于任意給定的正數(shù)ε，都存在正數(shù)δ，當(dāng)0<ρ=|PP0|<δ時(shí)，恒有|f(P)－A|<ε，則稱常數(shù)A為函數(shù)z=f(x,y)當(dāng)P(x,y)→P0(x0,y0)時(shí)的極限，記為二元函數(shù)的極限運(yùn)算與一元函數(shù)類似，不再重述．下面舉例說明．二、二元函數(shù)的極限

證明：

證任給ε>0，由再由所以，當(dāng)時(shí)，有于是，只要取【例6】二、二元函數(shù)的極限當(dāng)時(shí)，就有恒成立，因此二、二元函數(shù)的極限求

解令u=x2+y2，因?yàn)楫?dāng)x→0,y→0時(shí)u→0，所以本例表明，二元函數(shù)的極限問題有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題來解．【例7】二、二元函數(shù)的極限求

解當(dāng)x→0,y→0時(shí)，x2+y2為無窮小，而為有界變量，故

【例8】二、二元函數(shù)的極限求【例9】分析(x,y)→(0,0)時(shí)，分子、分母的極限均為0，可將分母有理化，消去零因子．二、二元函數(shù)的極限

解二、二元函數(shù)的極限考察函數(shù)當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)的極限是否存在．

解當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿x軸趨向于原點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)y=0而x→0時(shí)，有【例10】二、二元函數(shù)的極限而當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿y軸趨向于原點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)x=0而y→0時(shí)，有但是，當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿直線y=kx(k≠0)趨向于原點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)y=kx而x→0時(shí)，有隨著k取值的不同，的值也不同，故極限不存在.二、二元函數(shù)的極限考察函數(shù)當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)的極限是否存在？

解當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿x軸、y軸趨向于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極限都是0．設(shè)y=kx(k≠0)趨向于原點(diǎn)，此時(shí)【例11】二、二元函數(shù)的極限顯然這說明：點(diǎn)(x,y)沿任何直線趨向于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極限均為0.但是，我們?nèi)圆荒軘喽ㄆ錁O限是否存在．因?yàn)檫€不能表明點(diǎn)(x,y)沿任何方式趨向于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極限均為0．事實(shí)上，設(shè)當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿趨向于原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)有二、二元函數(shù)的極限于是由此可見，極限不存在.二、二元函數(shù)的極限在一元函數(shù)y=f(x)的極限定義中，點(diǎn)x只是沿x軸從x0的左右兩側(cè)趨向于點(diǎn)x0，但是，在二元函數(shù)極限的定義中，若極限存在，要求點(diǎn)P(x,y)以任意方式、任意方向無限趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)(可以沿任何直線，也可以沿任何曲線趨于點(diǎn)P0(x0,y0))時(shí)，函數(shù)都無限趨于同一常數(shù)A．如果點(diǎn)P(x,y)只取某些特殊方式（如沿一條定注意二、二元函數(shù)的極限直線或定曲線或無限多方式），但不是任意方式趨于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，即使函數(shù)無限趨于某一確定的常數(shù)A，我們也不能由此斷定函數(shù)的極限一定存在．但是，反過來，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)以不同的方式或不同方向趨于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么，就可以斷定此函數(shù)的極限一定不存在．注意三、二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)的定義1.

有了二元函數(shù)極限的定義，類似于一元函數(shù)的連續(xù)性定義，我們就可以很容易地給出二元函數(shù)連續(xù)的定義．三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y)趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)的極限存在，且等于它在點(diǎn)P0(x0,y0)處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù)，否則，稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處間斷，點(diǎn)P0(x0,y0)稱為該函數(shù)的間斷點(diǎn)．三、二元函數(shù)的連續(xù)性利用函數(shù)全增量的概念，連續(xù)定義可用另一種形式表述．函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x,y分別由x0變到x0+Δx，y0變到y(tǒng)0+Δy時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)有增量稱其為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量，記為Δz，即三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3中，點(diǎn)P(x,y)趨向于點(diǎn)P0(x0,y0)，可用Δx→0,Δy→0來描述，極限式相當(dāng)于于是，連續(xù)的定義又可表述為如下.三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義4

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x,y的增量Δx,Δy趨向于0時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)z=f(x,y)的全增量Δz也趨向于0，即則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù)．如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)．三、二元函數(shù)的連續(xù)性對于閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)，則要求函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)和邊界上都連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)P0(x0,y0)是區(qū)域D的邊界點(diǎn)時(shí)，極限中的P→P0是指P在區(qū)域D內(nèi)所取的路線趨近于點(diǎn)P0(x0,y0)，極限中滿足的點(diǎn)P均指區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)．關(guān)于二元函數(shù)z=f(x,y)的間斷點(diǎn)，同一元函數(shù)類似，由函數(shù)的連續(xù)性定義知,函數(shù)沒有定義的點(diǎn)、極限不存在的點(diǎn)和極限值不等于函數(shù)值的點(diǎn)均為函數(shù)的間斷點(diǎn)．對于二元函數(shù)z=f(x,y)與一元函數(shù)不同的是：它不僅有間斷點(diǎn)，有時(shí)還會(huì)有間斷線．例如，函數(shù)三、二元函數(shù)的連續(xù)性

就有間斷線一元函數(shù)連續(xù)性的運(yùn)算法則和結(jié)論都可以推廣到二元連續(xù)函數(shù)（證明從略）:（1）二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍是連續(xù)函數(shù).