函數(shù)的連續(xù)與間斷

函數(shù)的連續(xù)與間斷一、函數(shù)的連續(xù)性概念下面先引入增量的概念,然后來描述連續(xù)性,并引出函數(shù)的連續(xù)性的定義.函數(shù)的增量1.

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在這個(gè)鄰域內(nèi)從x0(初值)變化到x1(終值)時(shí),終值與初值之差x1-x0叫作自變量的增量,記作Δx=x1-x0，相應(yīng)地,函數(shù)的終值f（x1）與初值f（x0）之差f（x1）-f（x0）=f（x0＋Δx）-f（x0），叫作函數(shù)的增量,記作Δy=f（x0＋Δx）-f（x0）.

這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋是函數(shù)的增量表示當(dāng)自變量從x0變化到x0＋Δx時(shí),曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量，如圖1-39所示．

應(yīng)該注意增量記號(hào)Δx，Δy是不可分割的整體,增量Δx可正、可負(fù)，增量Δy可正、可負(fù)或?yàn)榱?一、函數(shù)的連續(xù)性概念函數(shù)的連續(xù)性2.

下面從函數(shù)圖像上來看函數(shù)在給定點(diǎn)x0處的變化情況.從圖1-39中可以看出,函數(shù)y=f（x）的圖像是連續(xù)不斷的曲線,而在圖1-40中,函數(shù)y=g（x）的圖像在點(diǎn)x=x0處斷開了.因而可以說函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處是連續(xù)的,而函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)x=x0處有間斷.一、函數(shù)的連續(xù)性概念

從圖140中可以看到函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)x=x0到x1=x0＋Δx時(shí),當(dāng)Δx趨于零時(shí),但Δy并不趨于零,而在圖1-39中,當(dāng)Δx趨于零時(shí),Δy相應(yīng)地也趨于零.通過以上分析可知,函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處是連續(xù)的特征是:當(dāng)Δx→0時(shí),Δy→0,即limΔx→0Δy=0.函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)x=x0處斷開的特征是:當(dāng)Δx→0時(shí)，Δy并不趨于零,即limΔx→0Δy≠0.由此得到函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義:一、函數(shù)的連續(xù)性概念定義

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量Δx趨于零時(shí),函數(shù)y=f（x）相應(yīng)的增量Δy=f（x0＋Δx）-f（x0）也趨于零,即limΔx→0Δy=limΔx→0［f（x0＋Δx）-f（x0）］=0那么稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù),其中x0叫作函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn)．一、函數(shù)的連續(xù)性概念在上面定義中,如果記x=x0＋Δx,那么Δy=f（x）-f（x0）.其中Δx→0時(shí),x→x0;Δy→0時(shí),f（x）→f（x0）.于是函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)也可以定義為：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f（x）當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在,且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f（x0）,即limx→x0f（x）=f（x0），那么就稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0連續(xù).一、函數(shù)的連續(xù)性概念由此定義知，函數(shù)在點(diǎn)x0連續(xù)必須滿足下面三個(gè)條件：（1）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義；（2）極限limx→x0f（x）存在；（3）極限limx→x0f（x）的值等于該點(diǎn)的函數(shù)值f（x0）.以后常用這三個(gè)條件來討論函數(shù)f（x）在某點(diǎn)處是否連續(xù).一、函數(shù)的連續(xù)性概念

所以，函數(shù)f（x）在x=3處連續(xù).由函數(shù)的左右極限的定義，相應(yīng)地可以得到函數(shù)左連續(xù)及右連續(xù)的定義.【例1】一、函數(shù)的連續(xù)性概念如果那么稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0左（或右）連續(xù)．顯然，f（x）在x0處連續(xù)的充分必要條件是f（x）在點(diǎn)x0既要左連續(xù)又要右連續(xù)．在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫作在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，如果區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)．連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線．一、函數(shù)的連續(xù)性概念

即函數(shù)在點(diǎn)x=1處是連續(xù)的．【例2】一、函數(shù)的連續(xù)性概念

討論函數(shù)y=sinx在區(qū)間（-∞，＋∞）內(nèi)是否連續(xù)．解y=sinx的圖形如圖1-41所示.容易看出，其圖形在區(qū)間（-∞，＋∞）是一條連續(xù)不間斷的曲線，因而說函數(shù)y=sinx在區(qū)間（-∞，＋∞）內(nèi)是連續(xù)的．【例3】一、函數(shù)的連續(xù)性概念思考

如何判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否連續(xù)？函數(shù)在某一點(diǎn)極限存在與函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)之間是什么關(guān)系？一、函數(shù)的連續(xù)性概念二、函數(shù)的間斷點(diǎn)根據(jù)定義，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)的條件是：（1）函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0某個(gè)鄰域內(nèi)有定義；以上三條同時(shí)滿足，則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，如果其中任何一條不滿足，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處間斷，其中x0叫作函數(shù)f（x）的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)．

如果補(bǔ)充定義:令x=2時(shí),f（x）=4,則所給函數(shù)在x=2處連續(xù).所以x=2稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn).【例4】二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

所以點(diǎn)x=1是函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn).如果改變函數(shù)f（x）在x=1處的定義:令f（1）=2,則f（x）在x=1處成為連續(xù).所以x=1稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)【例5】二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

【例6】二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,我們稱x=0是函數(shù)f（x）的跳躍間斷點(diǎn)．如果點(diǎn)x0為間斷點(diǎn)，且limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）都存在，那么點(diǎn)x0為f（x）的第一類間斷點(diǎn)，其余的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)．二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

對(duì)于第一類間斷點(diǎn)x0，如果limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）都存在,且limx→x0-f（x）＝limx→x0＋f（x），通過補(bǔ)充或改變函數(shù)在x0的函數(shù)值,使得函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù),那么稱x0為可去間斷點(diǎn);如果limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）都存在但是它們的值不相等,那么稱x0是跳躍間斷點(diǎn).對(duì)于第二類間斷點(diǎn)x0,limx→x0-f（x）和limx→x0＋f（x）至少有一個(gè)不存在.見下面幾個(gè)例題.二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

【例7】

【例8】二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

函數(shù)y=tanx在x=π/2處的左極限和右極限都不存在,即所以x=π/2是函數(shù)y=tanx的第二類間斷點(diǎn)．【例9】思考

函數(shù)的間斷點(diǎn)有哪幾種類型?二、函數(shù)的間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)第六節(jié)一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理1

若函數(shù)f(x),g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)±g(x),f(x)·g(x),f(x)/g(x)(當(dāng)g(x0)≠0時(shí))也在點(diǎn)x0處連續(xù).

證明只證f(x)±g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，其他情形可類似地證明.因?yàn)閒(x)與g(x)在x0處連續(xù)，所以所以f(x)±g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).例如，sinx，cosx在(－∞,+∞)上連續(xù)，故在其定義域內(nèi)連續(xù).一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理2二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù)，則它的反函數(shù)x=φ(y)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）且連續(xù).證明略.例如，由于y=sinx在閉區(qū)間[－π/2,π/2]上單調(diào)增加且連續(xù)，所以它的反函數(shù)y=arcsinx在對(duì)應(yīng)區(qū)間［－1,1］上也是單調(diào)增加且連續(xù)的.同理可得其他反三角函數(shù)的連續(xù)性.總之,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理3

若limx→x0φ(x)=a,u=φ(x)，函數(shù)f(u)在點(diǎn)a處連續(xù)，則有二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

式（1-2）表明，在定理3的條件下，求復(fù)合函數(shù)f［φ(x)］的極限時(shí)，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)f可以交換次序.式（1-3）表明，在定理3的條件下，若作代換u=φ(x)，則求limx→x0f［φ(x)］就轉(zhuǎn)化為求limu→af(u)，這里limx→x0φ(x)=a.把定理3中的x→x0換成x→∞，可得類似的定理.注意二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

【例1】二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

則可得到下列結(jié)論.【例2】二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理4設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且φ(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=u0處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)f［φ(x)］在點(diǎn)x0處也連續(xù).例如，函數(shù)u=1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)連續(xù).函數(shù)y=sinu在(－∞,+∞)內(nèi)連續(xù)，所以y=sin1/x在(－∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)連續(xù).二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性定理5基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.因初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的，故得到下列重要結(jié)論.定理6—切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在其定義域內(nèi)不一定連續(xù).例如,函數(shù)y=x2(x－1)3的定義域?yàn)閧0}∪［1,+∞),函數(shù)在點(diǎn)x=0的鄰域內(nèi)沒有定義，因而函數(shù)y在x=0處不連續(xù)，但函數(shù)在定義區(qū)間［1,+∞)上連續(xù).注意√三、初等函數(shù)的連續(xù)性

定理6的結(jié)論非常重要,因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)的研究對(duì)象主要是連續(xù)或分段連續(xù)的函數(shù)，而一般應(yīng)用中所遇到的函數(shù)基本上是初等函數(shù)，其連續(xù)性的條件總是滿足的，從而使高等數(shù)學(xué)具有強(qiáng)大的生命力和廣闊的應(yīng)用前景.此外，根據(jù)定理6求初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的極限，只需求初等函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即三、初等函數(shù)的連續(xù)性

解因?yàn)閤=1是函數(shù)y=sin(lnx)的連續(xù)點(diǎn)，所以【例3】三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

下面介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)基本性質(zhì)，由于它們的證明涉及嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論，故略去其嚴(yán)格證明，但可以借助幾何直觀地來理解.先說明最大值和最小值的概念.對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x),如果存在x0∈I，使得對(duì)于任一x∈I都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）.例如，函數(shù)y=cosx在區(qū)間[π/2,π]上有最大值0和最小值－1.函數(shù)y=sgnx在(－∞,+∞)內(nèi)有最大值1和最小值－1.定理7

（最值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.定理7表明，若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)ξ1∈［a,b］，使f(ξ1)是f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最小值；又至少存在一點(diǎn)ξ2∈［a,b］，使f(ξ2)是f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值（見圖1-45）.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)定理7中的“閉區(qū)間上連續(xù)”的條件不滿足時(shí)，定理的結(jié)論可能不成立.例如，函數(shù)在閉區(qū)間［0,1］上有間斷點(diǎn)x=0,x=1.該函數(shù)在閉區(qū)間［0,1］上既無最大值又無最小值（見圖1-46).注意四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理8（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明：若函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)上連續(xù)，且limx→∞f(x)存在，則f(x)在(－∞,+∞)上必有界.另一方面，f(x)在(－∞,+∞)上連續(xù)，所以在閉區(qū)間［－X,X］上連續(xù)，因此當(dāng)x≤X時(shí)，f(x)在［－X,X］上一定有界，即存在M0>0，使|f(x)|≤M0.若取M=maxM0,1+A，則對(duì)于任意的x∈(－∞,+∞)，均有f(x)≤M，即f(x)在(－∞,+∞)上有界.如果f(x0)=0，則稱x0為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).【例4】四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理9

（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（f(a)·f(b)<0），則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少存在一點(diǎn)ξ(a<ξ<b)，使f(ξ)=0.零點(diǎn)定理的幾何意義是：若連續(xù)曲線y=fx在［a,b］的端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，則曲線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，如圖1-47所示.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

證明方程x5－7x+3=0在區(qū)間(0,1)上至少有一個(gè)實(shí)根.證明令f(x)=x5－7x+3,則f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù),又f(0)=3>0,f(1)=－3<0.由零點(diǎn)定理知,在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使f(ξ)=0，即ξ5－7ξ+3=0.因此方程x5－7x+3=0在區(qū)間(0,1)上至少有一個(gè)實(shí)根.【例5】四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理10

（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且在該區(qū)間的端點(diǎn)處有不同的函數(shù)值f(a)=A及f（b）=B，那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C.介值定理的幾何意義是：對(duì)介于f(a)與f(b)之間的任何一個(gè)數(shù)C,直線y=C與連續(xù)曲線y=fx至少有一個(gè)交點(diǎn)，如圖1-48所示.

推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)，任取x1，x2∈(a,b)且x1<x2，證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得證明由于［x1,x2］(a,b),所以函數(shù)f(x)在［x1,x2］上連續(xù),由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的最值定理知,f(x)在［x1,x2］上有最大值M和最小值m,有m≤f(x)≤M