矩陣的特征值與特征向量

矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量定義6-1設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個(gè)n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零的n維列向量α，使得Aα=λα

（6-1）則稱數(shù)λ為矩陣A的一個(gè)特征值，并且稱非零向量α為矩陣A屬于特征值λ的一個(gè)特征向量.矩陣的特征向量是非零向量.特征值與特征向量均是對(duì)方陣而言的，本章中如果不特別說(shuō)明，涉及的矩陣均指方陣.提示顯然，一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值，從而特征值由特征向量所唯一決定；但是，特征向量卻不是由特征值唯一決定的.這是因?yàn)椋喝绻蛄喀翞榫仃嘇屬于特征值λ的特征向量，即A，λ，α滿足式（6-1），那么，對(duì)于任意的數(shù)k≠0，由矩陣乘法和數(shù)乘運(yùn)算的規(guī)律，有A(kα)=k(Aα)=k(λα)=(kλ)α=(λk)α=λ(kα)

又因?yàn)閗α≠0，所以kα也是矩陣A屬于特征值λ的特征向量.將式（6-1）中等號(hào)的左端移項(xiàng)到右端，并利用矩陣的運(yùn)算規(guī)律，可得(λE-A)α=0

其中等號(hào)右端的0為n維零向量(0,0,…,0)

T.因此，n階方陣A的特征值就是使得齊次線性方程組(λE-A)X=0（6-2）有非零解的λ.式（6-2）是一個(gè)具有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組，由前面的定理和推論知，式（6-2）有非零解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣的行列式

λE-A=0，

（6-3）根據(jù)行列式的定義，上式左端是一個(gè)以λ為未知數(shù)的一元n次多項(xiàng)式.于是，n階方陣A的特征值就是滿足式（6-3）的數(shù)λ，即多項(xiàng)式λE-A=0的根.定義6-2設(shè)A=(aij)是一個(gè)n階方陣，將以λ為未知數(shù)的多項(xiàng)式稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式，這是一個(gè)一元n次多項(xiàng)式；將式（6-3）代入上式，即有fA(λ)=λE-A=0

稱為矩陣A的特征方程；將矩陣稱為矩陣A的特征矩陣.由上面的討論，n階方陣A的特征值λ就是A的特征多項(xiàng)式的根，也就是A的特征方程的解；反過(guò)來(lái)，如果λ是矩陣A的特征多項(xiàng)式的一個(gè)根，或者說(shuō)是A的特征方程的一個(gè)解，即滿足λE-A=0，那么齊次線性方程組(λE-A)X=0存在非零解α，即α滿足(λE-A)α=0

由此可得Aα=λα.于是λ是A的特征值，向量α即為屬于特征值λ的特征向量.這樣，λ是n階方陣A的特征值的充分必要條件為λ是A的特征多項(xiàng)式f

A(λ)=λE-A的根.當(dāng)λ是矩陣A的特征值時(shí)，屬于特征值λ的特征向量即為齊次線性方程組(λE-A)X=0的非零解.因此，求一個(gè)方陣A的特征值和特征向量，就轉(zhuǎn)化為求A的特征多項(xiàng)式的根λ及λ所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組(λE-A)X=0的非零解的問(wèn)題，具體步驟如下：（1）求出方陣A的特征多項(xiàng)式fA(λ)=λE-A的全部根，即特征方程fA(λ)=0的全部解，這就是A的全部特征值.（2）對(duì)于每個(gè)特征值λ=λ0，求出齊次線性方程組(λ0E-A)X=0

的所有非零解，根據(jù)第四章的討論，只需求出上面方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系

η1,η2,…,ηs，從而k1η1+k2η2+…+ksηs（k1,k2,…,ks不同時(shí)為零）即為屬于特征值λ0的所有特征向量.一個(gè)n階方陣A的特征多項(xiàng)式是一個(gè)一元n次多項(xiàng)式，當(dāng)n較大或者矩陣A比較復(fù)雜時(shí)，特征多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式的根一般很難求得，上面的方法就很難進(jìn)行下去.此時(shí)，求一個(gè)矩陣的特征值一般要采用近似計(jì)算的方法，這是計(jì)算數(shù)學(xué)中的一些專門(mén)方法，這里不做介紹.求矩陣的特征值和特征向量.解矩陣A的特征多項(xiàng)式為這個(gè)多項(xiàng)式的根為λ=3，是一個(gè)二重根，即為矩陣A的全部特征值.【例6-1】對(duì)于特征值λ=3，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為(3E-A)X=0，即求得這個(gè)方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為于是kη（k為非零常數(shù)）即為矩陣A屬于特征值λ=3的所有特征向量.求矩陣的特征值和特征向量.解矩陣A的特征多項(xiàng)式為這個(gè)多項(xiàng)式的根為λ1=－1，λ2=1，λ3=6，即為矩陣A的全部特征值.【例6-2】對(duì)于特征值λ1=－1，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為(－E-A)X=0，即對(duì)其系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，有因此，可得方程組(－E-A)X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為從而k1η1（k1為非零常數(shù)）即為矩陣A屬于特征值λ1=－1的所有特征向量.對(duì)于特征值λ2=1，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為(E-A)X=0，即對(duì)其系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，有因此，可得方程組(E-A)X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為從而k2η2（k2為非零常數(shù)）即為矩陣A屬于特征值λ2=1的所有特征向量.對(duì)于特征值λ3=6，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組為(6E-A)X=0，即同樣，對(duì)其系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，并可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為從而k3η3（k3為非零常數(shù)）即為矩陣A屬于特征值λ3=6的所有特征向量.矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)二、首先確定一個(gè)矩陣A的特征多項(xiàng)式f

A(λ)的系數(shù)與其特征值之間的關(guān)系.由代數(shù)學(xué)基本定理，多項(xiàng)式f

A(λ)在復(fù)數(shù)域內(nèi)恒有根，并且根的個(gè)數(shù)為多項(xiàng)式的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.于是，n階方陣在復(fù)數(shù)域中存在n個(gè)特征值.定義6-3設(shè)n階方陣為將A的主對(duì)角線上元素的和稱為方陣A的跡，記為trA.定理6-1設(shè)n階方陣A在復(fù)數(shù)域內(nèi)的n個(gè)特征值，分別為λ1,λ2,…,λn，則有（1）λ1+λ2+…+λn=trA.（2）λ1λ2…λn=|A|.證明設(shè)由于A的特征多項(xiàng)式是一個(gè)以λ為未知數(shù)的一元n次多項(xiàng)式，不妨設(shè)因?yàn)锳的n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn就是特征多項(xiàng)式fA(λ)的n個(gè)根，所以fA(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=λn－(λ1+λ2+…+λn)λn－1+…+(－1)nλ1λ2…λn（6-5）（6-4）因此an－1=－(λ1+λ2+…+λn)，a0=(－1)nλ1λ2…λn觀察式（6-4）右端的行列式|λE-A|，它的展開(kāi)式中存在主對(duì)角線上元素的乘積(λ－a11)(λ－a22)…(λ－ann)=λn－(a11+a22+…+ann)λn－1+…這一項(xiàng)，并且展開(kāi)式中的其余各項(xiàng)（取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積）中最多包含主對(duì)角線上的n－2個(gè)元素，即對(duì)λ的次數(shù)最多為n－2.于是，特征多項(xiàng)式fA(λ)中包含λn和λn－1的項(xiàng)只能出現(xiàn)在主對(duì)角線上元素的乘積中.從而fA(λ)中λn－1的系數(shù)為an－1=－(λ1+λ2+…+λn)=－(a11+a22+…+ann)=－trA

則有λ1+λ2+…+λn=trA.另外，在（6-4）式中，令λ=0，有而在式（6-5）中，令λ=0，有fA(0)=(－λ1)(－λ2)…(－λn)=(－1)nλ1λ2…λn因此λ1λ2…λn=|A|.推論6-1

設(shè)A是一個(gè)n階方陣，則A是可逆矩陣的充分必要條件是A的特征值均為非零數(shù).證明因?yàn)锳是可逆矩陣的充分必要條件是A的行列式|A|≠0，而A的n個(gè)特征值的乘積λ1λ2…λn=|A|，因此，當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，λ1λ2…λn=|A|≠0，即A的特征值均為非零數(shù)；反之亦成立.定理6-2相似矩陣具有相同的特征值.證明設(shè)方陣A與B相似，即存在可逆矩陣P，使得B=P

－1AP.而根據(jù)方陣的行列式的運(yùn)算性質(zhì)，矩陣B的特征多項(xiàng)式為fB(λ)=|λE-B|=|λE-P－1AP|=|P－1(λE-A)P|=|P－1||λE-A||P|=|λE-A|=fA(λ)

即相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式.又矩陣的特征值就是特征多項(xiàng)式的根，因此，相似矩陣也具有相同的特征值.推論6-2

相似矩陣具有相同的行列式和跡trA.證明結(jié)合定理6-1和定理6-2的結(jié)論，即可得到.定理6-3互為轉(zhuǎn)置的兩個(gè)矩陣具有相同的特征值.證明我們考慮矩陣A及其轉(zhuǎn)置AT的特征值.由于互為轉(zhuǎn)置的兩個(gè)矩陣的行列式相同，且(λE-A)T=(λE)T－AT=λE-AT

因此fAT

(λ)=|λE-AT|=|(λE-A)

T|=|λE-A|=fA(λ)

即A和AT具有相同的特征多項(xiàng)式.從而，A和AT具有相同的特征值.在前面，針對(duì)一個(gè)n階方陣A，我們定義了矩陣的方冪，規(guī)定其中r是一個(gè)正整數(shù).于是，對(duì)一個(gè)n階方陣A，也可以定義矩陣的多項(xiàng)式.設(shè)φ(x)=asxs+as－1xs－1+…+a1x+a0

是一個(gè)以x為未知量的s次多項(xiàng)式，其中a0,a1,…,as為常數(shù)，且as≠0.規(guī)定矩陣A的多項(xiàng)式為φ(A)=asAs+as－1As－1+…+a1A+a0E

顯然，一個(gè)n階方陣A的多項(xiàng)式仍然為一個(gè)n階方陣.定理6-4設(shè)λ是矩陣A的特征值，α是A屬于λ的特征向量，則有（1）對(duì)于任意的常數(shù)k，kλ是kA的特征值，且α是kA屬于kλ的特征向量.（2）對(duì)于任意的正整數(shù)m，λm是Am的特征值，且α是Am屬于λm的特征向量.（3）對(duì)于φ(x)=asxs+as－1xs－1+…+a1x+a0，φ(λ)是φ(A)的特征值，且α是φ(A)屬于φ(λ)的特征向量.（4）當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，λ－1是A－1的特征值，且α是A－1屬于λ－1的特征向量.（1）對(duì)于任意的常數(shù)k，有(kA)α=k(Aα)=k(λα)=(kλ)α故kλ是kA的特征值，且α是kA屬于kλ的特征向量.（2）對(duì)m進(jìn)行歸納.當(dāng)m=1時(shí)，顯然結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)m=k時(shí)，結(jié)論成立，即λk,Ak,α滿足Akα=λkα那么，當(dāng)m=k+1時(shí)，有Ak+1α=(AkA)α=Ak(Aα)=Ak(λα)=λ(Akα)=λ(λkα)=λk+1α于是，任意的正整數(shù)m，λm是Am的特征值，且α是Am屬于λm的特征向量.（3）由前面（1）和（2）的結(jié)論，對(duì)于φ(x)=asxs+as－1xs－1+…+a1x+a0，有φ(A)α=(asAs+as－1As－1+…+a1A+a0E)α

=asAsα+as－1As－1α+…+a1Aα+a0Eα=asλsα+as－1λs－1α+…+a1λα+a0α=(asλs+as－1λs－1+…+a1λ+a0)α=φ(λ)α因此，φ(λ)是φ(A)的特征值，且α是φ(A)屬于φ(λ)的特征向量.（4）當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，由定理6-1的推論知，λ≠0.那么，由Aα=λα可得α=(A－1A)α=A－1(Aα)=A－1(λα)=λ(A－1α)

兩邊均乘以λ－1，有A－1α=λ－1α所以，λ－1是A－1的特征值，且α是A－1屬于λ－1的特征向量.定理6-5設(shè)λ1,λ2,…,λs是矩陣A的互不相同的s個(gè)特征值，α1,α2,…,αs為分別與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則α1,α2,…,αs線性無(wú)關(guān).換句話說(shuō)，屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān).證明用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)s=1時(shí)，由于特征向量α1≠0，而單個(gè)非零向量組成的向量組是線性無(wú)關(guān)的，因此結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)s=m時(shí)，結(jié)論成立，即屬于m個(gè)不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的.則對(duì)于s=m+1的情形，α1,α2,…,αm+1是屬于互不相同的特征值λ1,λ2,…,λm+1的特征向量.如果存在數(shù)k1,k2,…,km+1，使得k1α1+k2α2+…+km+1αm+1=0（6-6）對(duì)式（6-6）的左右兩端分別用A去左乘，且由α1,α2,…,αm+1是屬于特征值λ1,λ2,…,λm+1的特征向量，得到k1λ1α1+k2λ2α2+…+km+1λm+1αm+1=0（6-7）再對(duì)式（6-6）的左右兩端分別乘以數(shù)λ1，得到k1λ1α1+k2λ1α2+…+km+1λ1αm+1=0（6-8）用式（6-8）減去式（6-7），有k2(λ1－λ2)α2+…+km+1(λ1－λm+1)αm+1

=0

而α2,…,αm+1是屬于互不相同的特征值λ2,…,λm+1的特征向量，由歸納假設(shè)，α2,…,αm+1是線性無(wú)關(guān)的.因此k2(λ1－λ2)=…=km+1(λ1－λm+1)=0

再由λ1,λ2,…,λm+1互不相同，有λ1－λj≠0，j=2,3,…,m+1，得到k2=…=km+1=0

此時(shí)，式（6-6）成為k1α1=0.根據(jù)α1≠0，必有k1=0.于是α1,α2,…,αm+1是線性無(wú)關(guān)的.設(shè)α1和α2為矩陣A屬于不同特征值的特征向量，則α1+α2不是A屬于任何特征值的特征向量.證明設(shè)α1和α2分別為矩陣A屬于不同特征值λ1和λ2的特征向量，即Aα1=λ

1α1，Aα2=λ2α2，且λ1≠λ2下面利用反證法證明.假設(shè)α1+α2是A屬于特征值λ的特征向量.于是A(α1+α2)=λ(α1+α2)=λα1+λα2

另一方面A(α1+α2)=Aα1+Aα2=λ1α1+λ2α2

【例6-5】?jī)墒较鄿p，得到(λ－λ1)α1+(λ－λ2)α2=0

根據(jù)定理6-5，知α1和α2線性無(wú)關(guān).因此λ－λ1=λ－λ2=0

即有λ1=λ2=λ.這與λ1≠λ2矛盾.于是假設(shè)不成立.故α1+α2不是A屬于任何特征值的特征向量.下面給出矩陣的特征多項(xiàng)式的一個(gè)重要性質(zhì).定理6-6（哈密爾頓凱萊定理）設(shè)A=(aij)是一個(gè)n階方陣，fA(λ)=λE-A是A的特征多項(xiàng)式，則有fA(A)=O

右端的O為n階零矩陣，即為An－(a11+a22+…+ann)An－1+…+(－1)n|A|E=O證明設(shè)(λE-A)*為A的特征矩陣λE-A的伴隨矩陣.由伴隨矩陣的性質(zhì)，有(λE-A)*(λE-A)=λE-AE=fA(λ)E根據(jù)伴隨矩陣的定義，(λE-A)*是以λE-A的元素的代數(shù)余子式為元素的矩陣，而λE-A的元素的代數(shù)余子式是以λ為未知量，但是次數(shù)不超過(guò)n－1.于是，(λE-A)*可以寫(xiě)成如下形式(λE-A)*=λn－1An－1+