換元積分法教學(xué)課件

換元積分法一、第一類換元積分法

運(yùn)用不定積分的線性運(yùn)算法則和基本積分公式，可以求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分．為了求出一些更復(fù)雜函數(shù)的不定積分，我們來(lái)學(xué)習(xí)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對(duì)應(yīng)的積分方法．通常的做法是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將某些比較復(fù)雜的被積函數(shù)變換成符合基本積分表中的形式，從而容易求出積分，這種積分的方法叫換元積分法．不定積分換元積分法通常分為第一類換元積分法和第二類換元積分法兩種．一、第一類換元積分法

例如，上節(jié)思考題中提到的積分：∫2xcosx2dx，觀察被積函數(shù)發(fā)現(xiàn)，不能用直接積分法積出，但被積表達(dá)式中的一部分2xdx如果湊微分變成dx2，再將積分變量換成變量u=x2,這樣被積表達(dá)式就和基本積分公式(7)相同了．因此，本題可這樣求解

上述這種解題方法的關(guān)鍵是將被積函數(shù)的一部分與dx湊微分，然后引入中間變量，把中間變量看成新的積分變量的情況下，被積函數(shù)就符合了基本積分公式的形式，利用積分公式求出結(jié)果，再把中間變量換回原變量即可，即如果不定積分∫g(x)dx不能直接利用基本積分公式求解，但被積函數(shù)g(x)可變形為g(x)=f［φ(x)］φ′(x)．作變量代換u=φ(x)，并將φ′(x)dx湊微分成dφ(x)，則可將關(guān)于變量x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量u的積分，于是有∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．如果∫f(u)du可以求出，那么∫g(x)dx的問(wèn)題也就解決了，這就是第一類換元積分法，又稱為湊微分法．一、第一類換元積分法定理1

(第一類換元積分法)若已知∫f(u)du=F(u)+C，并且u=φ(x)是可微函數(shù)，則有∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．(4-1)證因?yàn)椤襢(u)du=F(u)+C，所以F′(u)=f(u)．根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得因此∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．證畢．一、第一類換元積分法解本題的關(guān)鍵是將2xdx湊微分得dx2，然后令u=x2，則【例1】解先將被積表達(dá)式中的sec2xdx湊微分得dtanx，然后令u=tanx，再積分，即【例2】一、第一類換元積分法【例3】一、第一類換元積分法（1）求不定積分的方法不唯一，不同方法算出的答案也不相同，但它們的導(dǎo)數(shù)都是被積函數(shù)，經(jīng)過(guò)恒等變形后可以互化，其結(jié)果本質(zhì)上只相差一個(gè)常數(shù)．（2）熟練掌握第一類換元積分法的運(yùn)用以后，可以省略寫(xiě)出引進(jìn)變量u的步驟．注意一、第一類換元積分法

下面是常用的湊微分等式，請(qǐng)熟記，對(duì)以后解題大有幫助．一、第一類換元積分法

【例4】【例5】一、第一類換元積分法【例7】一、第一類換元積分法

解

被積函數(shù)中含有正弦函數(shù)且為偶次方，在計(jì)算這種積分時(shí)，往往要運(yùn)用三角恒等式，將被積函數(shù)降冪轉(zhuǎn)化為積分公式表中所列的形式．本題利用半角公式sin2x=1－cos2x/2，將被積函數(shù)降為一次冪后再積分．【例8】一、第一類換元積分法【例9】【例10】一、第一類換元積分法【例11】當(dāng)被積函數(shù)為兩個(gè)三角函數(shù)（正弦函數(shù)和余弦函數(shù)）的一次乘積時(shí)，一般要先積化和差再積分．注意一、第一類換元積分法【例12】一、第一類換元積分法

解凡是分母可以分解因式的分式，一般都需要先將復(fù)雜分式化成幾個(gè)最簡(jiǎn)單的分式，再積分．由于【例13】一、第一類換元積分法【例14】一、第一類換元積分法

解

本題的關(guān)鍵是首先要把被積函數(shù)分母中的前一項(xiàng)變成1，將1/adx湊微分得d(x/a)，而后利用第二節(jié)中基本積分公式(12)．【例15】一、第一類換元積分法【例16】一、第一類換元積分法【例17】一、第一類換元積分法

類似地，有另一方面一、第一類換元積分法【例18】【例19】一、第一類換元積分法（1）使用湊微分法的重點(diǎn)在于如何“湊”出一個(gè)函數(shù)的微分．一方面要求熟悉一些常見(jiàn)函數(shù)的微分形式；另一方面對(duì)那些不常見(jiàn)的，則不妨從被積函數(shù)中拿出一個(gè)表達(dá)式來(lái)，求其導(dǎo)數(shù)，從而決定如何湊微分．（2）把式（4-2）~式（4-9）的結(jié)果擴(kuò)充到本章第二節(jié)的基本積分公式表中，以后可以直接用．總結(jié)如下：注意一、第一類換元積分法

一、第一類換元積分法二、第二類換元積分法

第一類換元積分法(湊微分法)是通過(guò)變量代換u=φ(x)，將φ′(x)dx湊微分得到dφ(x),把∫f［φ(x)］φ′(x)dx轉(zhuǎn)化為∫f(u)du，從而易于積分．湊微分法能解決一部分積分問(wèn)題，但是還有一類不定積分使用湊微分法卻不奏效，如∫11+xd和∫x2－9xd等這些被積函數(shù)含有根號(hào)的無(wú)理函數(shù)的積分問(wèn)題．針對(duì)這些問(wèn)題，如果我們做適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將被積函數(shù)中的根號(hào)去掉，就能順利積分了，這就是第二類換元積分法的思想．詳細(xì)敘述成下面的定理．定理2(第二類換元積分法)若x=φ(t)單調(diào)可微且φ′(t)≠0，f［φ(t)］φ′(t)有原函數(shù)Φ(t)，則∫f(x)dx=∫f［φ(t)］φ′(t)dt=Φ(t)+C=Φ［ψ(x)］+C，即∫f(x)dx=Φ［ψ(x)］+C．（4-10）其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函數(shù)．二、第二類換元積分法證明由假設(shè)知：Φ′(t)=f［φ(t)］φ′(t)，利用復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)求導(dǎo)法則，得下面舉例說(shuō)明如何使用第二類換元積分法．二、第二類換元積分法【例20】二、第二類換元積分法

以上兩例是通過(guò)令nax+b=t

將被積函數(shù)有理化，如果被積函數(shù)中含有根指數(shù)不同的幾個(gè)根式，又該如何將被積函數(shù)有理化呢？請(qǐng)看下面例題．【例21】二、第二類換元積分法

解

被積函數(shù)中所含的兩個(gè)根式的根指數(shù)分別為2和3，最小公倍數(shù)為6，故應(yīng)設(shè)

=t(t>0)，才能把被積函數(shù)中所含的兩個(gè)根式都去掉，則有【例22】二、第二類換元積分法【例23】二、第二類換元積分法

二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法

為了由假設(shè)x=asint方便地求出其他三角函數(shù)值，常作一輔助直角三角形（見(jiàn)圖4-2），由圖容易看出，這樣可以省去許多沒(méi)必要的計(jì)算．

利用三角公式消去根號(hào)的方法通常稱為三角代換法．（1）例20和例23的解答表明，使用第二類換元積分法往往要指明中間變量的取值范圍．只有這樣，才能保證將中間變量換回原變量時(shí)，有確定的函數(shù)關(guān)系．例如，例20中的t=x，例23中的，都是根據(jù)預(yù)先指明的中間變量的取值范圍，確定根號(hào)前的符號(hào)的．（2）第二類換元積分法是針對(duì)被積函數(shù)是無(wú)理數(shù)，即被積函數(shù)含有根式的情況，作變換x=x(t)后，可使被積函數(shù)去掉根式，達(dá)到有理化的目的．常用的變換如下：注意二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法【例24】二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法【例25】二、第二類換元積分法

二、第二類換元積分法【例26】二、第二類換元積分法

二、第二類換元積分法式（4-11）~式（4-13）常常可以當(dāng)公式直接用，所以可以添加到到基本積分公式表中．注意二、第二類換元積分法

求下列不定積分【例27】二、第二類換元積分法一般的，當(dāng)被積函數(shù)為分式，而分子的積分變?cè)獌绱蔚陀诜帜傅姆e分變?cè)獌绱螠p1時(shí)，可采用倒代換．由例27解法可知，我們?cè)趯?shí)際解題時(shí)，除常用的變量代換以外，要具體問(wèn)題具體分析，采取靈活的代換，將被積函數(shù)有理化．二、第二類換元積分法